練習問題その8(解答）

練習問題その８ (解答）
問題 1. 系 3 より、

Er
Or,n−r


XA Y = 
Om−r,r Om−r,n−r
となるような可逆行列 X と Y が存在する。ゆえに、
 

t
E
O
E
O
r
r,n−r
r,m−r
t
= r

Y tA tX = t(XA Y ) = 
Om−r,r Om−r,n−r
On−r,r On−r,m−r
が分かる。よって、系 3 より、rank(tA) = r が成り立つ。
問題 2. 行基本変形と列基本変形を用いて、


1 0 0

E1,2 (−2)P2 (− 13 )E2,1 (−4)AE1,3 (1)E2,3 (−2) = 
0 1 0
を得る。よって、

−5
X = E1,2 (−2)P2 (− 13 )E2,1 (−4) =  3
4
3

1


Y = E1,3 (1)E2,3 (−2) = 0

0

2
3
− 31

0
1


1 −2

0
1
とすればよい。
問題 3. A、X と Y をそれぞれ問題 2 で定めた行列とする。このとき、A′ = tA ため、X ′ = t Y
と Y ′ = t X とすると、




1 0
t


1 0 0


′ ′ ′
t
t t
t


X A Y = Y A X = (XA Y ) =
= 0 1


0 1 0
0 0
が成り立つ。
1

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