10 勾配・発散・回転に関する諸公式

神戸大学海事科学部 2014 年度後期応用数学 4 講義ノート
10 勾配・発散・回転に関する諸公式
命題 10.1. スカラー場 φ, ψ とベクトル場 A, B に対し，以下が成立する．
(i) grad(φψ) = ψ∇φ + φ∇ψ.
(ii) div(φA) = (∇φ) · A + φ(∇ · A).
(iii) rot(φA) = (∇φ) × A + φ(∇ × A).
(iv) grad(A · B) = (B · ∇)A + (A · ∇)B + A × (∇ × B) + B × (∇ × A).
(v) div(A × B) = B · (∇ × A) − A · (∇ × B).
(vi) rot(A × B) = (B · ∇)A − (A · ∇)B + (∇ · B)A − (∇ · A)B.
証明. (i), (iii), (v) のみ証明を与える．
(i)
∂
∂
∂
(φψ)i +
(φψ)j +
(φψ)k
∂x
∂y
∂z
(
)
(
)
(
)
∂φ
∂ψ
∂φ
∂ψ
∂φ
∂ψ
=
ψ+φ
i+
ψ+φ
j+
ψ+φ
k
∂x
∂x
∂y
∂y
∂z
∂z
(
)
(
)
∂φ
∂φ
∂φ
∂ψ
∂ψ
∂ψ
=ψ
i+
j+
k +φ
i+
j+
k
∂x
∂y
∂z
∂x
∂y
∂z
= ψ∇φ + φ∇ψ.
grad(φψ) =
(iii)
(
)
(
)
(
)
∂
∂
∂
∂
∂
∂
(φAz ) −
(φAy ) i +
(φAx ) −
(φAz ) j +
(φAy ) −
(φAx ) k
∂y
∂z
∂z
∂x
∂x
∂y
(
)
(
) (
)
∂φ
∂φ
∂φ
∂φ
∂φ
∂φ
=
Az −
Ay i +
Ax −
Az j
Ay −
Ax k
∂y
∂z
∂z
∂x
∂x
∂y
[(
)
(
)
(
) ]
∂Az
∂Ay
∂Ax
∂Az
∂Ay
∂Ax
+φ
−
i+
−
j+
−
k
∂y
∂z
∂z
∂x
∂x
∂y
= (∇φ) × A + φ(∇ × A).
rot(φA) =
1
(v)
∂
∂
∂
(A × B)x +
(A × B)y +
(A × B)z
∂x
∂y
∂z
∂
∂
∂
=
(Ay Bz − Az By ) +
(Az Bx − Ax Bz ) +
(Ax By − Ay Bx )
∂x
∂y
∂z
∂Az
∂Az
∂Ax
∂Ax
∂Ay
∂Ay
Bz −
By +
Bx −
Bz +
By −
Bx
=
∂x
∂x
∂y
∂y
∂z
∂z
∂Bz
∂By
∂Bx
∂Bz
∂By
∂Bx
+ Ay
− Az
+ Az
− Ax
+ Ax
− Ay
∂x
∂x
∂y
∂y
∂z
∂z
(
)
(
)
(
)
∂Az
∂Ay
∂Az
∂Ax
∂Ax
∂Ay
=
−
−
−
Bx +
By +
Bz
∂y
∂z
∂z
∂x
∂x
∂y
[ (
)
(
)
(
)]
∂By
∂Bz
∂Bx
∂Bx
∂By
∂Bz
−
−
−
+ Ay
+ Az
− Ax
∂y
∂z
∂z
∂x
∂x
∂y
= B · (∇ × A) − A · (∇ × B).
div(A × B) =
命題 10.2. スカラー場 φ とベクトル場 A に対し，
(i) rot(grad φ) = 0.
(ii) div(rot A) = 0.
(iii) rot(rot A) = ∇(∇ · A) − ∆A.
証明. (i)
∂
(rot(grad φ))x =
∂y
(
∂φ
∂z
)
∂
−
∂z
(
∂φ
∂y
)
=
∂2φ
∂2φ
−
= 0.
∂y∂z
∂z∂y
同様にして (rot(grad φ))y = (rot(grad φ))z = 0 も分かる．
(ii)
(
)
(
)
(
)
∂ ∂Az
∂Ay
∂ ∂Ax
∂Az
∂ ∂Ay
∂Ax
div(rot A) =
−
+
−
+
−
∂x ∂y
∂z
∂y
∂z
∂x
∂z
∂x
∂y
∂ 2 Az
∂ 2 Ay
∂ 2 Ax
∂ 2 Az
∂ 2 Ay
∂ 2 Ax
=
−
+
−
+
−
∂x∂y
∂x∂z
∂y∂z
∂y∂x ∂z∂x
∂z∂y
= 0.
(iii)
∂
∂
(rot A)z −
(rot A)y
∂y
∂z
(
)
(
)
∂ ∂Ay
∂Ax
∂ ∂Ax
∂Az
=
−
−
−
∂y
∂x
∂y
∂z
∂z
∂x
( 2
)
∂ 2 Ax
∂ 2 Ax
∂ 2 Az
∂ Ax
∂ 2 Ax
∂ 2 Ay
−
−
+
+
−
+
=
∂y∂x
∂y 2
∂z 2
∂z∂x
∂x2
∂x2
(
) ( 2
)
∂Ay
∂Az
∂ Ax
∂ 2 Ax
∂ 2 Ax
∂ ∂Ax
+
+
−
+
+
=
∂x ∂x
∂y
∂z
∂x2
∂y 2
∂z 2
= (grad(div A))x − (∆A)x .
(rot(rot A))x =
同様にして，y, z 成分についても求める等式を得る．
2
命題 10.3. ベクトル場 A に対して，
(i) A のスカラーポテンシャル φ が存在するとき，rot A = 0.
(ii) A のベクトルポテンシャル p が存在するとき，div A = 0.
証明. (i) rot A = rot(− grad φ) = 0.
(ii) div A = div(rot p) = 0.
3

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