例 6.1.1 (1) Rn の演算を抽象化して線形空間を定義したので当たり前なのだが，Rn は           x1 y1 x1 + y1 x1 kx1   .  .   .   .  ..  .  .  .   .  加法  スカラー倍 k  .  . + . =   . = .  xn yn xn + yn xn kxn 第 6 章線形空間と線形写像によって，今定義した意味での線形空間である． (2) 零ベクトル 0 のみからなる集合 {0} は加法 0 + 0 = 0, スカラー倍 k0 = 0 によって線形空間となる．線形空間 6.1 6.1.1 線形空間の定義 (3) n 次以下の多項式全体の集合これまでベクトルといえば幾何ベクトル（有向線分）または数ベクトルのみを扱ってきた．ここ Pn = {a0 + a1 x + · · · + an xn | a0 , . . . , an ∈ R} ではもっと抽象的に，これらのベクトルと同じ演算法則を満たすものを全て一括して扱うことを考は多項式の加法と定数倍により線形空間となる．える． Rn の数ベクトルや幾何ベクトルには，スカラー倍と加法について次のような演算法則があった． (V 1) u + (v + w) = (u + v) + w （結合法則） (V 2) u+v =v+u （交換法則） (V 3) 零ベクトル 0 が存在して，カラー倍によりベクトル空間となる． (5) 区間 [0, 1] 上の連続関数全体の集合 C[0, 1] は，関数の加法 f (x) + g(x) を和とし，定数倍 kf (x) をスカラー倍とする線形空間である．任意のベクトル v に対し， v + 0 = v が成り立つ． (V 4) (4) 実数を成分とするような m × n 行列全体の集合を Mm,n (R) と書くと，これは行列の和とス（零ベクトルの存在） 6.1.2 任意のベクトル v に対し，逆ベクトル −v が存在して v + (−v) = 0 が成り立つ．（逆ベクトルの存在） (V 5) k(u + v) = ku + kv （分配法則） (V 6) (k + l)v = kv + lv （分配法則） (V 7) (kl)v = k(lv) （結合法則） (V 8) 1v = v （１の作用）部分空間線形空間 V の空ではない部分集合 W が (S1) 任意の u, v ∈ W に対し u + v ∈ W が必ず成り立つ (S2) 任意の v ∈ W と任意のスカラー k に対し kv ∈ W が必ず成り立つという二つの性質を満たすなら，W 自身も先ほど定義したベクトル空間となる．このとき W は V の線形部分空間あるいは単に部分空間であるという．部分空間は必ず零ベクトルを含む．そこで部分空間の満たすべき条件として，「空ではない」の代わりに内積に関係するものを除けば，ベクトルの性質はこれらの規則から導かれる．そこで逆にこれらの演算法則を満たすものをベクトルと呼ぶことにする．即ち，集合 V に (S0) 加法 (u, v ∈ V ) u+v スカラー倍 kv 0∈W を採用してもよい． (v ∈ V, k ∈ R) 例 6.1.2 (1) 全ての線形空間 V は，最小の部分空間として {0} を含む．また V 自身は V の最という二つの演算が定義され，(V1)–(V8) の性質が成り立つとき，V を（実）線形空間（または大の部分空間である．線形空間）といい，集合 V の元をベクトルと呼ぶ．ここではスカラーとして実数を考えているが，複素数で考えることもある．それを強調するときは複素線形空間という． (2) 先ほどの記号を使うと，n ≤ m であるとき，n 次以下の多項式全体の集合 Pn は Pm の部分空間である． (3) R2 の原点を通る直線 αx + βy = 0 は R2 の部分空間である．また，R3 の原点を通る直線 y z x = = や原点を通る平面 αx + βy + γz = 0 は R3 の部分空間である． a b c 35 練習問題 19 (4) 放物線 y = x2 は R2 の部分集合であるが，R2 のベクトル演算を y = x2 上に制限しても (S1), (S2) が成り立たないので，これは R2 の部分空間ではない． 19-1. 次の式で表される R3 の部分集合は R3 の部分空間であるか．理由を述べた上で答えよ． (5) A を m × n 行列とするとき，斉次連立 1 次方程式 (1) 2x − y + z = 0 Ax = 0 (2) x + 2y + 3z = 3    1 1     19-2. u =  1  , v = 0 とする．R3 の部分空間 Span⟨u⟩ と Span⟨u, v⟩ はどのような図形か． −1 1 その (x, y, z の関係式としての) 方程式を求めよ．  の解全体のなす集合 {x ∈ Rn | Ax = 0} は Rn の部分空間である（問題 19-3.）．このように，「部分空間」とは，平面や空間における原点を通る直線・平面を抽象化した概念であ 19-3. A を m × n 行列とするとき，斉次連立一次方程式る，と思うとよい． Ax = 0 直線や平面には，上に書いたような座標の関係式としての方程式の他に，パラメータを用いて表すベクトル方程式があった：の解全体のなす集合直線 x = tu (t ∈ R) 平面 x = su + tv (s, t ∈ R) {x ∈ Rn | Ax = 0} は Rn の部分空間であることを確かめよ．注. これは重ね合わせの原理と呼ばれ，前期既に出てきている．逆に考えると，このような形のベクトルを全て持ってくれば部分空間ができる．もっと正確に言えば次のようになる．線形空間 V のベクトルの組 v 1 , . . . , v n に対し， k1 v 1 + · · · + kn v n (3) xy + yz 2 = 0 (k1 , . . . , kn ∈ R) という形のベクトルを v 1 , . . . , v n の線形結合という（前期 10 回目の講義に出てきたものと定義は同じ）． S を線形空間 V の部分集合とする．S の有限個の元の線形結合全体からなる集合 { n } ∑ ki ai n ≥ 1, k1 , . . . , kn ∈ R, v 1 , . . . , v n ∈ S i=1 は V の部分空間になる．それを S によって生成される（または張られる）部分空間といい，この講義では Span⟨S⟩ で表す．特に S が有限集合 {v 1 , . . . , v n } であるとき， { n } ∑ ki ai k1 , . . . , kn ∈ R i=1 を Span⟨v 1 , . . . , v n ⟩ で表す． 36