機械数学演習変分法 (1) 高畑智之 2014 年 12 月 22 日の演習のための予習資料演習の前半に小テストを実施するので，以下を予習しておくこと．基本の変分問題 ✓ ✏ 汎関数 ∫ I[f ] = b F (x, f (x), f ′ (x))dx a が停留値をとる関数 f (x) を求める問題を，変分問題という．ただし，端では関数 f が変化しないという固定端の条件を用いる．この汎関数の停留条件は，オイラー・ラグランジュの方程式 ∂F d ∂F − =0 ∂f dx ∂f ′ により与えられる． ✒ ✑ 例題 1. 次の汎関数の停留条件を求めよ．ただし，f (0) = 0 , f (1) = 1 とする． ∫ I[f ] = 1 (f ′2 + 12xf )dx 0 解：微分方程式を解くと f (x) = x3 + C1 x + C2 となり，境界条件を考えると，f (x) = x3 2. 次の汎関数の停留条件を求めよ．ただし，f (0) = 0, f (a) = 1 とする． ∫ a I[f ] = (f ′2 + 2f f ′ + 4f 2 )dx 0 解：微分方程式を解くと f (x) = C1 e2x +C2 e−2x となり，境界条件を考えると，f (x) = sinh 2x e2x − e−2x = e2a − e−2a sinh 2a f を含まない変分問題 ✓ ✏ F (x, f (x), f ′ (x)) が，f を含まないとき，オイラー・ラグランジュの方程式から次の式が導かれる．ただし， C は定数である． ∂F =C ∂f ′ ✒ ✑ 例題 1. 次の汎関数の停留条件を求めよ．ただし，f (0) = 0 , f (a) = b とする． ∫ a I[f ] = (f ′2 + x2 )dx 0 解：微分方程式を解くと f (x) = C1 x + C2 となり，境界条件を考えると，f (x) = b x a 2. xy 平面上の 2 点 A(a, c)，B(b, d) を結ぶ任意の線のうち長さが最短となるものを，変分法を用いて求めよ． y−b x−a 解： = （すなわち，線分 AB である．） d−b c−a x を含まない変分問題 ✓ ✏ ′ F (x, f (x), f (x)) が，x を含まないとき，オイラー・ラグランジュの方程式から次の式が導かれる．ただし， C は定数である． ∂F F − f′ ′ = C ∂f ✒ ✑ 例題 1. 2 点 A(0, 0) と B(x1 , y1 ) を結ぶ曲線を考える．質点が A から B まで，重力により摩擦なく滑り落ちるのに要する時間が最短となるものを求めよ．ただし，x 軸を水平方向，y 軸を鉛直下向きにとるものとして，曲線の方程式を y = y(x) とおくこと．x1 > 0 かつ y1 > 0 とする．解：定数 c を用いて，x = c(θ − sin θ), y = c(1 − cos θ) と表されるサイクロイドになる． 1 ヒント：途中で，y = (1 − cos θ) と置くとよい． 2C 2 （教科書には鉛直方向の取り方が異なる問題が載っている．）参考文献 [1] 初貝安弘, “物理学のための応用解析,” サイエンス社, 2003. [2] 原島鮮, “力学 II —解析力学—,” 裳華房, 1973. 2