機械数学演習 変分法 (2) 高畑 智之 2015 年 1 月 5 日の演習のための予習資料 演習の前半に小テストを実施するので,以下を予習しておくこと. 二階の微分を含む変分問題 ✓ ✏ ∫ I[f ] = b F (x, f (x), f ′ (x), f ′′ (x))dx a のとき,オイラー・ラグランジュの方程式は次式になる. ∂F d ∂F d2 ∂F − + 2 ′′ = 0 ′ ∂f dx ∂f dx ∂f ただし,端では関数 f と f ′ が変化しないという固定端の条件を用いる. ✒ ✑ 例題 1. 次の汎関数の停留条件を求めよ.ただし,積分定数 C1 ,C2 ,C3 ,C4 を用いてよい. ∫ x1 [16f 2 − (f ′′ )2 + x2 ]dx I[f ] = x0 解:f (x) = C1 e2x + C2 e−2x + C3 sin 2x + C4 cos 2x 未知関数が複数の場合の変分問題 ✓ ✏ ∫ I[f1 , . . . , fn ] = b F (x, f1 (x), f1′ (x), f1 (x), f2′ (x), . . . , fn (x), fn′ (x))dx a のとき,オイラー・ラグランジュの方程式は次の n 個の方程式になる. d ∂F ∂F − = 0 (i = 1, · · · , n) ∂fi dx ∂fi′ ただし,端では関数 fi と fi′ が変化しないという固定端の条件を用いる. ✒ 例題 1. 次の汎関数の停留条件を求めよ.ただし,g を定数とし,x(0) = y(0) = 0 , x(1) = a , y(1) = 0 とする. ∫ 1 (x˙ 2 + y˙ 2 − 2gy)dt 0 ✑ ここで,x˙ = る. dx dy ,y˙ = である.これは,投射体を 1 秒後に距離 a だけ離れた目標に命中させる問題であ dt dt 1 1 解:x(t) = C1 t + C2 , y(t) = − gt2 + C3 t + C4 となり,境界条件を考えると,x(t) = at , y(t) = − g(t2 − t) 2 2 自然境界条件 ✓ ✏ ∫ b I[f ] = F (x, f (x), f ′ (x))dx a について,固定端の条件を課さないとき,オイラー・ラグランジュの方程式 ∂F d ∂F − =0 ∂f dx ∂f ′ に加えて, ∂F ∂f ′ =0, x=a ∂F ∂f ′ =0 x=b を満たさなければならない. ✒ ✑ 例題 1. 原点 A(0, 0) と直線 x = x1 上の点 B を結ぶ曲線のうち,質点が重力により摩擦なく滑り落ちる際に要する 時間が最短のものを求めよ.ただし,重力加速度の方向に y 軸の正方向をとるものとする. x1 x1 解:x = (θ − sin θ) , y = (1 − cos θ) π π ∂F = 0 より定数を決める. ヒント:前回の予習資料に記載した問題の解答に対して, ′ ∂y x=x1 横断性の条件 ✓ ✏ ∫ I[f ] = b F (x, f (x), f ′ (x))dx a について,x = a を固定端とし,x = b は曲線 y = A(x) に拘束された可動端とする.このとき,オイラー・ ラグランジュの方程式 ∂F d ∂F − =0 ∂f dx ∂f ′ に加えて,次式を満たさなければならない. } { ∂F ′ ′ (A − f ) F+ ∂f ′ ✒ =0 x=b ✑ 例題 1. 曲線 C1 を y = g(x) とし,曲線 C1 上に点 A(x1 , y1 ) をとる.原点 O(0, 0) と点 A を結ぶ曲線 C2 を y = f (x) とする.点 O から点 A に至る曲線 C2 の長さが最小になるのは,曲線 C1 と垂直に交わる直線となることを 示せ. 解:最短距離を与える曲線 C1 は,曲線 C2 と垂直に交わる直線となる. ヒント:C2 が直線であることと,f ′ (x1 )g ′ (x1 ) = −1 を示したい. 2 参考文献 [1] 初貝安弘, “物理学のための応用解析,” サイエンス社, 2003. [2] 原島鮮, “力学 II —解析力学—,” 裳華房, 1973. 3
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