Title Absolute Convergence of Fourier Series with a Gap Condition Author(s) Matsuyama, Noboru Citation The science reports of the Kanazawa University=金沢大学理科報告, 10(02): 63-67 Issue Date 1965-12 Type Departmental Bulletin Paper Text version publisher URL http://hdl.handle.net/2297/33866 Right *KURAに登録されているコンテンツの著作権は,執筆者,出版社(学協会)などが有します。 *KURAに登録されているコンテンツの利用については,著作権法に規定されている私的使用や引用などの範囲内で行ってください。 *著作権法に規定されている私的使用や引用などの範囲を超える利用を行う場合には,著作権者の許諾を得てください。ただし,著作権者 から著作権等管理事業者(学術著作権協会,日本著作出版権管理システムなど)に権利委託されているコンテンツの利用手続については ,各著作権等管理事業者に確認してください。 http://dspace.lib.kanazawa-u.ac.jp/dspace/ S ci .R e p .KanazawaU n I v ., Vol .1 0,No 2,p p .6 3 6 7 D e c e m b e r1 9 6 5 四 Absolute convergence of Fourier series with a gap condition by . A NoboruMATSUYAM D e t a r t m e n to fi V l a t h e r n a t i c s,F a c u l t yo fS c i e n c e,K a n a z a w aU n i v e r s i t y ( R e c e i v 巴d 2 1Sep t e m b e r1 9 6 5 ) 1 . Letth巴 L integrablefunctionf(x),withperiod2 , n h旦v et h eF o u r i e rs e r i e s 司 1J I ' ' ' l l 、 、 町 -- ~ao 十 2::: ( a p c o spx+bpsinpx), p=l where ap=bp= 0,f o r1 り ヂ nb ( 1 .2 ) p=O, 1 , 2, . .• J 江主可弘∞,ル C o n c e r i n gt h eo r d e ro ft h eF o u r i e rc o e f f i c i e n t so ff (x)andt h ea b s o l u t 巴c o n v e r g e n c e o ft h eF o u r i e rs e r i e so ff(的 , N.E.Noble(1J,P .B . Kεnnedy ( 2, 3 ),M. Tomie[ 4 J andS .M.Mazhar( 5 Jprovedveryi n t e r e s t i o gr e s u l t s . On 巴 o ft h eN o b l e ' sa s s e r t i o n si s a sf o l l o w s : SUl ゆo s e( 1 . 1 ) and ( 1 .2 ),andf( x )s a t i s f i e saL i J り s c h i t zc o n d i t i o n of o r d e r a, Oく αく 1,i nsomei n t e r v a lI x-X oI ~三 ò , thenforß くぴ 問。_:1 2ρμ 百(l a p l十 九 1)<∞ P=l 1 nt h ep r e s e n tp a p e rwehavet r i e dt oo b t a i nak i n do fa n a l o g o u sm o d i f i c a t i o no f t h ef o l l o w i n gw e l lknownWiener'st h e o r e m . L e tF(x) b eL e b e s g u ei n t e g r a b l ei nt h ei n t e r v a l (π , π) w ith jうe r i o d 2n .1 fa t e v e r yp o i n iy ont h ec l o s e di n t e r v a l(π , πJ t h e r ee x i s tαf u n c t i o nGy(x)andao>0 s u c ht h a t( i ) Gy ( 川 口 F(x)f or Ix-ylく o,and( i i )t h eFourier s e r i e sofG ν( x )i s h e nt h eF o u r i e rs e r i e sofF(x) i sa b s o l u t e ! yc o n v e r g e n t . a b s o l u t e l yc o n v e r g e n t,t Wes h a l lshowt h a tt h ef o l l o w i n gtheoremw i l lb ee s t a b l i s h e d . lJ ノ /fE¥ 1 ・ 、 、 ・ 1 Theorem. Letf(x) s a t i s f y( 1 . 1 ) and ( 1 .2 ) .I ft h e r ee x i s tani n t e r v a l Ix-xol<o andaf u n c t i o ng(x) sucht h a t ( i ) g(x) = f(x) f o rI x-xolく 3 g(x) - ! ao+2 : :(apCOS px+spsinρx ) - 63- N o b o r uI ' ilATSUYAMA 6 4 /ft¥ . ー -1 、・1司ノA I . : (japj+Ispl )ω( p )く , CO P=l whereω(的 i saf u n c t i o nd e f i n e don 1~玉おく∞, ands a t i s f yf o ranyy ミ 1 ,andabso~ l u t ec o n s t a n t sC,Cl andC2 寸 ム fu く /与一 一 旬 h d く一二手一 Z 一広 く 一 一 一 く ニ ヱy ω 由一 t h e n z 一広 戊一n E 一-m 一日 ( 1 .3 ) Oく 臼 (x)豆C2XC I . :( j a p j十 j bpj ) ω (t) く∞ Asas p e c i a lc a s e,i fwet a k eω(t) 1,fort=1, 2, .・ ・ , t h e nweo b t a i nt h eabove mentionedN o b l e ' st y p etheoremo fV V i e n e r ' so n e . Moreoveri f wet a k e,onCー π,7 C ) ニ g(x) εLipα9iく á~三 1 andω ( ρ )=1,t =, 12, . .。 g(x) E L i p α ,。く d豆 1andg(x) E BVandω(t)=l,t=1, 2, . .。 • 1 g(x) E Lipa ,0く d三 1and臼(jう )=t1n j " sく a ,t =, 12, ・ 因 。 g(x) E L ipa ,0< a三 1andg(x)EBV,ω(ρ)ニ tsJ2,sく a,t=1, 2, . t h e nfrom o u rt h e o r 巴m,we o b t a i n Theorem 3,Theorem5and T h e o r e r n 4( i i )o f N o b l e ' sp a p e r,r e s p e c t i v e l y。 2 . Wesuppose,withoutany1 0 s so f to n ε nk s u c ht h a t e x i s t sa tl e乱s ( 2 . 1 ) 2川 三 三 1, 2, . , . t h e r e t h a tf o reach附 =0, 2tn+2 nkく I fotherwise,wer n a k e2m+1 at e r r no ft h es e q u e n c e{的}. Moreoverwe maya s s u r n e t h a txo=0. P u t t i n gf o rε a c hh=1, 2, . ・ ・ fk(X) = f(x 十寸宅~. )-f ム ( 2 . 2 ) 抑 っ主ァ), 白 ι 的 )= g(x十 寸 )-g(x- k e山 san 同 ,,~" k , ) LJ u ' t J : JJ ' l . t h e n伽 k 抑 e rk o (=k o (o ) )s ucht h a tf o r凶 く十 oa nd j x J (2.3) andt h eF o u r i e rs e r i e so ffk(X) and a r e,r e s p e c t i v e l y, fμ)~~ 三 2 ( s i n-!:~ p = o ( 2 . 4 ) 白 川k ) tX), gk(X)- 呈 2( s i nっ壁一) (spCosμαρsin p = o Nowi fwep u tf o ri kJ n'k 1, 2, ・ ・ ・ Mi -1, t h e nt h es e q u ε n c eo fi n t e g r a lnumb 色r s{I , 4 ! Js a t i s f i e s A b s o l u t ec o n v e r g e 叫c eo fF o u r i e rs e r i e s討 i t h{j gapc o n d i t i o 叫 M, <n ルポ ( 2 . 5 ) 町 け 一 6 5 一 lim , _ Ni → ∞ lOg ni Wec o n s i d 巴rt h es e q u e n c eo ft r i g o n o m e t r i cp o l y n o m i a l s{T"(x)},which' N a sd e f i n e d byNoble C1Jandhast h ef o l l o w i n gp r o p e r t i e s, 且f TM(ぉ : S dpcostx, do p = o ( i ) ー ト ITM(x)1豆 A1 tFf /{¥ ・ 、 、 . - ( 2 . 6 ) JJ f--¥ I ・ , 、 ・ 1 │九州孟 whereA1,A2 and 1, f o r 1xlく十, Az叫 (-A3oM) ミ ト f o r七 " 1 a I巴 somea b s o l u t eCOl1s t a n t s . h ef r e q u e n c yo f巴achterms o fTMi(x) c o sniX l i e si nt h ei n t e r v a l By ( 2 . 6 ) ( i ),t (n, - M ni+M ),and i け , ni-Mi:>rti-Niミni-(ni-n1)ニ n i l ( 2 . 7 ) J li 十 1 1 1 1 , く 叫 十 N i二 -( n,十 l-Jli )=Jl, +1 五 F ム1 By ( 1. 1 ),( 1 . 2 ),( 2 . 4 ) and ( 2 . 7 ),wehave m 」今 一1-¥ , , !(x)cos nk 2ム π J- ん 土1: ¥!k(x)T"L(川 cos仰 1 J lιx dx= 向 一π 一π =十いん (X)TMi(的 cosnバ 山 一 卜 十 1(!k(X)-gk(X))TMi(x) cosn.xdx 一π n =t. , 十q ; . By ( 2 . 3 ),( 2 . 6 )a n c l( 2 . 2 ) │ 山 +¥ , , !(x)1+1 山)!)A2 叫 x( 1 I x l迄 五 (-A刈 )dx π 話 A 2 位 p( -A3o M, ) ~ 2(1!(x)1十 Ig(x)l) dx 豆 ん 叫 (-A M;) 3o 一π Ont h eo t h e rhand1 うi,i =1 , 2, • • • ,i smorec o m p l i c a t e d . Byr ε a s o no f( 2 . 4 ),( 2 . 6 ), ( 2 . 5 ) and ( 2 . 7 ) π ム=十三 2( s i n :~) p = o k L . tJ ' t . ¥( ん cosμ - ap sin抑 )TMi(x) cos仰 の 7 c ∞ . πP¥rQ : : 8( s i n五::-) (sp・-二- ¥ TM,(x) 2c o spxc o sn;x dx p = o k . t . t J'b μ π ー α p @ ÷ iTEz(山 -iC i n仰 c o s仰 向 ) N o b o r uMATSUYAMA 6 6 き(sin子与).ßp ・-ι~ TM,切 )cos(ρ ゅ dx p=o ~ " " k ・ 一π L : :, _ ._( s i n2 :~nk/ ) ・t pd L : :, __( s i n竺主).spdn, p p 一%十 ; : ", p~p-ni . o~ni _P 三 ; :M ,~... 2n , , O三 五ρni三 M ,~... S i n c eby( 2 . 6 )wehave,f d p l~玉 A5 f o rt=O, 1, 2, . . . Mi' uniformlyi ni , │あ│主主4.5 L : : 的 -1<ρく ,n i +1 I spI andf o rk~玉 ko 我i 話 A4 2h i n n is 1 位 p (-AadMi )+ A5 L : : I s p l 的 -1<ρく 的 +1 Byt h es alUer e a s o nweo b t a i n ,f o rk~ko , 12dnzSinFL│話 A4叫 ん 四k (-AadMi)+ A5 I 均一 L : : 同│ l<P く 的+1 Thusweo b t a i n ( 2 . 8 ) (Ian 十九 i1 )孟A6exp(-AaoMi)+A5 L : : (lapl+Ispj ) iI ni-1< ρく 的+1 三三 P汁 Q i, p r o v i d e dt h a t ( 2 . 9 ) h ミ~ko , ÷ n k く n i ; ; ; ; ' n k I fwed e n o t et h el a r g e s tk s u c ha s 2m-1<叫 壬 2 by k'=k'(m) a n ds u c ha s 隅 べ nk く さ .nk1,byk"=k m),thenby( 2 . 8 )wehave 51(iail+lbi│)曲 ( n $ ) z E 7 z (lah│+lb l)の (ni)+A7 =1 2 4 く均三玉 2m i = l 包 叫 刑 。 。 n i )+ 豆 i i z p $ ω( m=l 2 -1く均三五 2 冊 隅 n i )十 A7 Qiω( : : : t •L =1 2 1 < 均三五 2m 隅 冊一 Qiw(ni)+A7 i : ; ω(ni)P汁 : ; L : : L : : = A6 i m=l量的'くntく n m=lき k ' 的< nk' nk'< ==P+Q+A7 ) 2 . 5 )and( 1 .3 e e,by( yt os s回 s I ti 。 五 z 一元一く∞ x p (-AaoMi )く呈」玄 三 P = 2AAω ( n i )e , i = l , i = l " i = l ' i ( 2 . 1 0 ) 2 . 8 ) t h e rhandby( h eo Ont ω( C l a p l+I ん1) n i ) L : : Q =L : : : :_ L 1き 岳町, ¥ nk'<n 均一1<ρ話的 棚田 }Ltl F 伺 何Mg ρur 、、,,, 十 ft¥ ,L: nく ρ <向 +1 d +ω ( n i ) f l b s o l u l ec O N v e r g e n c eo fF凶 r i e rs e r i e sw i t hagゆ c o n d i t i o n t t/ E . 67 , , , "./h?:-11', "( 什 ! 同 仇 μ d 内 川 内 M , 州 バ p 小 l 1 什 川 1 凶 1 凶 p 恥 凶 凶 州 バ p1 )川 ω Z 丸 ι 川 J ) 1 叫n h 川 紙什川十刊 1 ) η) 占 ηk ' く舟判 く 't , b 海?却町よ Jl nk"く β三 1'tk " 吐 = 2 I : : 同 1 i=1 = nk' くlう~tlkl十 1 : 8 ( 1向 い1s p l)(w(nJイ 臼 (ni十 1)) : z . = ω(n;)十臼 ( n ;ぽ 〉 一一一 一一一一一一 min(w(p);n;くp~玉 n; +1) n iく ρ 三1 Zi ト1 ∞ 2 : E エ 3 叶 (α i 的p [+[spj)臼 (nk +1) 一 斗 ト 戸 ← 斗 ト b 卜い川一+什一 ",,, n i く戸手持什 1 υ │ α p バ l← ト 叶1 sp[ ) G 臼 ρt ベ 》 (n ω k μ 1 )~ ( [ a p j+I ん1)臼 (ρ) As : 8( 1 αp l+Ispl)臼 ( p ) This l a s t fonnular follows from (1.3) 旦nd ( 2 . 1 ) .F r o 1 1 1t h i sand (2.10) weobtain I : :( 1apI 十│んj)臼 (ρ) 三 A9 I : :C l a p lト│ん │ω(ρ)く ∞ p Refenmces (1J M.E .Noble, C o e f f i c i 邑n tp r o p e r t i e so fF o u r i e rs e r i e sw i t hagapc o n d i t i o n, Math.Annalen, 1 2 8( 1 ヲ5 4 ), 5 5 6 2 . 【2J P .B .Kennedy, F o u r i e rs e r i e sw i t hg a p s, Quart .Jour .Math., 7( 1 9 5 6 ), 2 2 4 2 3 0 . (3) (4) 】 一 一 一 一 一 一 _ , NoteonFourier series with l Iadamard g aps,J o u r . Lond. Math. S o c .,3 9 ( 1 9 6 4 ), 1 1 5 1 1 6 . M.Tomi ふ Ont h eo r d e ro fmagnitudeo fF o u r i e rc o 巴f f i c i e n t sw i t hl I adamard'sg a p s, J o u r . Lond.Math.S o c .,3 7 ( 1 9 6 2 ),1 1 7 1 2 0 . (5J S .M.Mazhar, Ont h ea b s o l u t 邑 c o n v e r g e n c eo faF o u r i e rs e r i e sw i t hg a p s, P r o c .N a t .I n s t . S c i .I n d i a,2 6 ( 1 ヲ6 0 ),1 0 4 1 0 9 .
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