基礎 数理 D試 験問題
1・
(X,F)を 可測空間、∫(χ )を χ 上の実数値関数 とする。次の (1),(2),(3)は 同値であることを
示せ。
(1)任 意の実数αに対して{%∈ χ l∫ (χ )>α }∈ F.
(2)α <ろ を満たす任意の実数α
対して{"∈ χ
,♭ に
lα
≦∫(κ )≦
(3)Rの 任意の開集合σに対して、{″ ∈χ lノ (χ )∈ σ}∈ F.
2ス バづ=1,2,…
とを示せ
b}∈ F.
.)を 測度空間 (χ ,F,772)の 測度ゼロの集合とする。∪
胆1ス をの測度も0に なるこ
.
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4.ス を R2の 測度有 限なル ベ ー グ可浪1集 合 とす る。 ∫ )=鶴 ん(ス ι
)(ι ∈R)と 定める.た だし
mLは ル ベ ー グ測度 を表 し
(ι
,
,
スt=И ∩{(χ ,ν )￨ ″≦t}
である.次 の問いに答えよ。
は単調増加関数であることを示せ
(2)limt→ _∞ ノ(ι )=0,limι →∞∫(ι )=77LL(ス )
(1)∫
.
(3)∫ (ι )は 連続関数であることを示せ
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