一般相対論補遺と演習その９（横山） 2013 年 6 月 18 日配布・6 月 25 日提出締切・解答公開予定 http://www.resceu.s.u-tokyo.ac.jp/˜ yokoyama/G13.html I スピン接続係数と曲率形式 ✄ (i) ✂演習 ✁その４ III で定義したテトラード eaµ を用いて表した正規直交基底 ea = eaµ dxµ ✄ は、 ✂演習 ✁その８ III の微分形式の言葉でいうと 1 形式になっている。ea の外微分 dea を dxα を用いて表せ。 (ii) 前問の dea に対し、スピン接続係数 ω ab を dea = −ω ab ∧ eb (1) によって定義する。ω ab も 1 形式である。 ω ab = −eaµ;ν wbµ dxν ≡ ω abν dxν (2) と表せることを示せ。 (iii) 前問の共変微分を取る際、a はただのラベルに過ぎないことに注意して、 ∂µ ω abν − ∂ν ω abµ + ω acµ ω cbν − ω acν ω cbµ = eaλ wbα Rλαµν (3) となることを示せ。 ✄ (iv) ✂演習 ✁その７ I(ii) およびその８ III(ii) に留意して、(3) は微分形式を用いて 1 dω ab + ω ac ∧ ω cb = Rabcd ec ∧ ed ≡ Rab 2 (4) と表すことができることを示せ。これを曲率２形式という。ここで、 Rabcd = eaλ wbα Rλαµν wcµ wdν = eaλ eαb eµc eνd Rλαµν ✄ (5) である。 ✂演習 ✁その４ III で述べたように、eaλ と wbα ≡ eαb は、ラテン文字の添え字とギリシァ文字の添え字を結ぶ変換行列、つまり直交基底と座標基底を結ぶ変換行列であることに再び注意しよう。したがって、(5) が求まれば、そこから Rλαµν を計算することは容易にできる。 ✄ ✂演習 ✁その１０で見るように、以上はリーマンテンソルの零でない成分を計算する便法を与えます。詳細は、Misner, Thorne, and Wheeler “Gravitation”（黒くて厚い本）の §14.5 や、Eguchi, Gilkey, and Hanson, Physics ✄Reports 66(1980)213 を勉強してみてください。なお、そこに出てくる捩率形式を本 ✂演習 ✁では、はじめから零としているので、スピン接続係数は (1) のように定義されることになっています。裏面へ続く 1 II 重力レンズ以下の空欄を埋めながら説明を読んで問に答えよ。図 1 のように質量 M の質点から成るレンズ天体 L による重力レンズ現象を考察する。光源と観測者は共にレンズ天体から十分に離れており、dL ≫ b, dLS ≫ b が成り立ち、光の屈折はレンズ天体近くの点 D で瞬間的に起こるものと近似しよう。屈折角 ✄ イ α は十分小さく、 ✂講義 ✁で述べたように、α = と表すことができる。図に現れる角度はいずれも微小であるとし、DL も IS も光線に近似的に垂直であると考えると、 IS= ロ α = dS ハ , 及び b = ニ θ という式が成り立つので、これらより、 α02 ホ , α02 ≡ (6) θ という式が成り立つ。これをレンズ方程式, α0 をアインシュタインリング半径という。 ϕ=θ− (i) (6) を θ について解き、ϕ のさまざまな値に対してその意味を論ぜよ。 (ii) ϕ ̸= 0 のとき、増光率を求めよ。ただし増光率は、レンズ天体があるときに観測者が見込む像 I(一つとは限らない) の (無限小) 立体角と、レンズ天体がないときに観測者が見込む光源の (無限小) 立体角の比で与えられる。 I D α S θ O φ L dL d LS dS Figure 1: 光源を S、レンズ天体を L、観測者を O とし、観測者から見える光源の見かけの位置を I とする。光は太線 SDO を進むものとし、レンズ天体に対する衝突径数 DL の長さを b とする。 III 完全流体 Tµν = (ρ + P/c2 )uµ uν + P gµν , (uµ uµ = −c2 ) からなる静的球対称な天体の外部時空はシュバルツシルト計量で表されるが、その天体の質量とシュバルツシルト計量の質量パラメタとの関係を調べよう。 ✄ (i) 計量をその７ II ✂講義 ✁(5.2) 式のように取るとして、T00 = ρ(r)c2 eν(r) と書けることを示し、アインシュタイン方程式の 00 成分を λ(r) について解くことにより、 ( )−1 ∫ r 2GM (r) λ(r) , M (r) ≡ ρ(r) × 4πr2 dr (7) e = 1− c2 r 0 を示せ。M (r) を重力質量という。これを星の表面 r∗ まで求めればよいのである。 √ (ii) 密度を空間の固有体積要素 ( detgij の掛かったもの) で積分することによって得られる固有質量 ∫ r Mp (r) ≡ ρ(r) × 4πeλ(r)/2 r2 dr 0 と重力質量の差をニュートン（弱重力）極限で考察することにより、重力質量の物理的意味を説明せよ。 2