309 09 数学Ⅱ 〔追試〕

309_2009 年大学入試センター追試験問題
数学Ⅱ
2009 大学入試センター追試験問題
数学Ⅱ（60 分）（全問必答）
第１問（配点 30）
〔1〕
実数 x の関数
y = 4 ⋅ 8 x − 24 ⋅ 4 x + 57 ⋅ 2 x − 73 + 57 ⋅ 2− x − 24 ⋅ 4− x + 4 ⋅ 8− x
の最小値を求めよう．
t = 2 x + 2− x とおくと t の最小値はアであり，t はア以上のすべての実数を
とり得る．
y を t で表すと
y = イ t 3 − ウエ t 2 + オカ t − キク
となる．これを因数分解して
(
y= t− ケ
)(
シ
となるのは x =
ス
〔2〕 0 ( x <
π
2
)
2
であるから，y は t =
が得られる． t ) ア
t=
コ t− サ
, 0( y <
π
2
シ
のとき最小値
ス
ソまたは x = − ソのときである．
の範囲にある x，y に対して，u = cos x , v = cos y とおく．
u，v が関係式
log 1 (2u 2 ) + log 2 v = 1
2
を満たすとき， J = −2 cos x +
まず，式（＊）より， u =
2
…………………（＊）
1 − cos 2 x + 3 cos y のとり得る値の範囲を求めよう．
2
4
タ
チ
v が成り立つ．
u のとり得る値の範囲は，ツ < u (
テ
ト
である．また
cos 2 x = ナ u 2 − ニ , cos y = ヌ u 2
であるから
J = ネ u2 − ノ u + ハ
となる．したがって，J のとり得る値の範囲は
ヒ
フ
(J <
セをとる．
ヘ
である．
－1－
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第２問（配点 30）
関数 f ( x) を
x1
⎮ u (u − 2)du
f ( x) = ⌠
⌡2
1
1
で定める．
f ( x) を計算すると
f ( x) =
(x +
1
ア
イ
)( x −
ウ
)
2
となる．
f ( x) < 0 となる x の値の範囲は x < エオである． f ( x) は x = カで極大値
キ
ク
をとり， x =
ケで極小値コをとる．
y = f ( x) のグラフを C とする．C 上の点 P (t , f (t )) における C の接線 A と C の共有
サシ t + スである．したがって，C と A が 1 点だけを共有
点の x 座標は，t および
するのは，t =
セのときである．また，C と A のすべての共有点の y 座標が正となるの
は，ソタ < t <
チかつ t '
ツ
テ
のときである．
t ' セとし， s = t − セとおく．接線 A の傾きは， s 2 − トである．C と A の二
つの共有点のうち P と異なるものを Q とする．点 Q における C の接線を m とすると，m
の傾きは，
π
ナ s 2 − ニである．直線 A と m のなす角を θ ⎛⎜ 0 < θ < ⎞⎟ とすると
⎝
1 =
tan θ
⎛
⎜ ネ s2 +
ヌ ⎝
1
ノ
s2
⎞
− ハ ⎟
⎠
である．したがって，相加平均と相乗平均の関係により
1
t= セ ±
4
ヒ
のとき， tan θ は最大となる．このとき， θ も最大となる．
－2－
2⎠
309_2009 年大学入試センター追試験問題
数学Ⅱ
第３問（配点 20）
座標平面において，原点 O を中心とする半径 1 の円を C1 ，原点 O を中心とする半径 2
の円を C2 とする．また，同じ座標平面上に正三角形 PQR があり，次の条件(a)～(c)を満た
しているとする．
(a) 直線 QR は点 (0 , − 1) において円 C1 に接する．
(b)
直線 RP は第 1 象限の点において円 C1 に接する．
(c) 直線 PQ は円 C2 に接する．
直線 RP と円 C1 との接点を S とし，直線 RP と x 軸の交点を T とする．
(1)
円 C2 の方程式は x + y =
2
⎛
であり，点 S の座標は ⎜
⎜
⎝
2
アである．∠OTS＝
,
直線 RP の方程式は y = −
(
ケ
,
ただし，シ
0
内
部
コサ
カ ⎞⎟
である．
オ ⎟⎠
エ
オ
1 π であるから∠TOS＝イ π
3
ウ
x+ ク
キ
) であり，この点は円 C の
2
である．また，点 R の座標は
シにある．
については，当てはまるものを，次の0～2のうちから一つ選べ．
1
周
また，直線 PQ の方程式は y =
2
上
ス
外
x + セである．
－3－
部
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(2)
領域 D を，次の三つの領域 D1 , D2 , D3 の共通部分とする．
D1 ：円 C1 の外部および周
D2 ：円 C2 の内部および周
D3 ：正三角形 PQR の内部および周
このとき，領域 D3 は連立不等式
⎧ ソ
⎪
⎪
⎨ タ
⎪
⎪⎩ チ
によって表される．ソ～チ
に当てはまるものを，それぞれ下の0～9のうちか
ら一つずつ選べ．ただし，ソ～チ
は解答の順序を問わない．
さらに，領域 D は連立不等式
⎧ ツ
⎪
⎪ テ
⎪
⎨
⎪ ト
⎪
⎪⎩ ナ
によって表される．ツ～
ナ
に当てはまるものを，それぞれ下の0～9のうち
から一つずつ選べ．ただし，ツ～
ナ
0 x 2 + y 2 )1
2 x2 + y 2 ) ア
4 y )−1
1 x 2 + y 2 (1
3 x2 + y 2 ( ア
5 y (−1
6 y )−
8 y)
キ
ス
x+ ク
x+ セ
は解答の順序を問わない．
7 y(−
9 y(
－4－
キ
ス
x+ ク
x+ セ
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数学Ⅱ
第４問（配点 20）
実数 a，b，c は a + b + c = −1 を満たすとする． P ( x) = x + ax + bx + c とおく．
3
(1)
P ( x) は
(
P ( x) = x − ア
){x + (
2
)
イ +1 x − ウ
2
}
のように表される．
(2)
方程式 P ( x) = 0 の解が複素数の範囲でア
だけであるのは
a = エオ , b = カ , c = キク
のときである．また，方程式 P ( x) = 0 の解がア
と 2 だけであるのは
a = ケコ , b = サ , c = シス
または
a = セソ , b = 8 , c = タチ
のときである．
(3)
方程式 P ( x) = 0 が異なる三つの実数解をもち，そのうち二つの実数解が 1 よりも小さ
くなるための条件は，a と c が次の三つの不等式
(
)
⎧ a+ ツ 2 + テ c>0
⎪
⎪
⎨ a > トナ
⎪
⎪ a+ ニ >c
⎩
を満たすことである．
(4)
方程式 P ( x) = 0 が虚数解 α ,
β
β をもつとき， α + は実数である．すべての虚数解
β α
β
α , β に対して α + < p となるような実数 p のうちで最小のものは p = ヌであ
β α
る．
また， α = u + vi （u，v は実数）と表すとき， u + v =
2
－5－
2
ネノである．

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