2学期演習その2

中学２年代数２学期演習その２
中学 2 年
1
組
番氏名
次の性質を満たす１次関数を求めよ．
(1) 点 (2，5) を通り，傾きが 3 の直線をグラフにもつ１次関数．
(2) ２点 (−1，4)，(3，2) を通る直線をグラフにもつ１次関数．
(3) 定義域が −2 5 x 5 6 で値域が −4 5 y 5 8 であるような１次関数．
2
２つの直線 2x − y + 3 = 0 と 3x + 2y − 1 = 0 の交点の座標を求めよ．
3
３つの直線 y = −3x + 5 · · · °
1 ，y = 2x + 1 · · · °
2 ，y = ax · · · °
3 によって三角形ができない
とき，定数 a の値を求めよ．
4
次の関数のグラフをかけ．(1) と (2) は同じ座標平面上にかいてもよいが，(3) は別の座標平面
上にかくこと（煩雑さを避けるため）．
(1) y = |x − 2|
(2) y = |x − 1| + |x + 2|
¯
¯
(3) y = ¯2|x − 1| − |x + 3| − 2¯
5
xy 平面上の２つの直線 ax − 7y + 4 = 0 と 5x − 3y + 2a = 0 が点 (2，b) で交わるとき，a と b
の値を求めよ．
6
座標平面上に，３点 A(0，12)，B(6，0)，C(0，3) がある．点 C を通り，辺 AB を横切る直線 `
が 4AOB の面積を 2 等分する．ここで，O は座標平面の原点である．直線 ` の方程式を求めよ．
7 ∗ 方程式 |x − 2| + |x + 1| = kx が解を１つだけもつとき，k の取り得る値の範囲を求めよ．
（ヒント：解を１つだけもつということは，y = |x − 2| + |x + 1| と y = kx のグラフはどのように
なっているのか考えよ）
8 ∗ 方程式 |x| + |y| = 1 の表す図形をかけ．
中学２年代数２学期演習その２解答
1
次の性質を満たす１次関数を求めよ．
(1) 点 (2，5) を通り，傾きが 3 の直線をグラフにもつ１次関数．
y
=
3(x − 2) + 5
=
3x − 1
よって求める１次関数は，y = 3x − 1
(2) ２点 (−1，4)，(3，2) を通る直線をグラフにもつ１次関数．
2 − 4 = −1
2
3 − (−1)
1
y = − 2 (x − 3) + 2
= − 21 x + 7
2
7
よって求める１次関数は，y = − 1
2x + 2
傾きは
(3) 定義域が −2 5 x 5 6 で値域が −4 5 y 5 8 であるような１次関数．
(i) 傾きが正の場合，２点 (−2，− 4)，(6，8) を通る直線をグラフにもつ．
6 − (−2)
傾きは
= 32 なので，
8 − (−4)
y = 23 (x − 6) + 8
= 32 x − 1
3x − 1
よって求める１次関数は，y = 2
(ii) 傾きが負の場合，２点 (−2，8)，(6，− 4) を通る直線をグラフにもつ．
傾きは −4 − 8 = − 3
2 なので，
6 − (−2)
y = − 23 (x − 6) − 4
= − 32 x + 5
よって求める１次関数は，y = − 3
2x + 5
２つの直線 2x − y + 3 = 0 と 3x + 2y − 1 = 0 の交点の座標を求めよ．

 2x − y = −3 · · · °
1
を解く．
 3x + 2y = 1 · · · °
2
2
°
1 ×2+°
2 より，7x = −5． ∴ x = − 5
7
10
11
°
に代入して，
−
−
y
=
−3
．
∴
y
=
1
7
7
³
´
11
よって求める交点の座標は， − 5
，
7 7
3
３つの直線 y = −3x + 5 · · · °
1 ，y = 2x + 1 · · · °
2 ，y = ax · · · °
3 によって三角形ができない
とき，定数 a の値を求めよ．
三角形ができないのは，
(i) °
1 と°
3 が平行なとき，(ii) °
2 と°
3 が平行なとき，(iii) °
1 と°
2 の交点を °
3 が通るとき
のいずれかである．
(i) のときは，a = −3
(ii) のときは，a = 2
(iii) のとき

 y = −3x + 5 · · · °
1
まず
を解いて交点の座標を求める．
 y = 2x + 1 · · · °
2
°
1 ，°
2 より y を消去して，2x + 1 = −3x + 5 ∴ x = 45
これを °
2 に代入して，y = 13
5
´
³
4
4
13
したがって，交点の座標は 5 ，13
3 が通るので， 13
5 ．この点を °
5 = 5a ∴ a = 4
(i) ∼ (iii) より，a = −3，2， 13
4
4
次の関数のグラフをかけ．(1) と (2) は同じ座標平面上にかいてもよいが，(3) は別の座標平面
上にかくこと（煩雑さを避けるため）．
(1) y = |x − 2|
¯
¯
(3) y = ¯2|x − 1| − |x + 3| − 2¯
(2) y = |x − 1| + |x + 2|
(1) 
 x − 2 (x = 2)
y =
 −x + 2 (x < 2)
(2) 


2x + 1 (x = 1)


y =
2 (−2 5 x < 1)



 −2x − 1 (x < −2)
(3) 










y =










y
3
(1)
2
−2
x − 7 (x = 7)
−x + 7 (1 5 x < 7)
3x + 3 (−1 5 x < 1)
−3x − 3 (−2 5 x < −1)
(2)
4
O
1
− 52
2
4 x
3
2
(3)
y
−x + 3 (x < −2)
8
6
y = 2|x − 1| − |x + 3| − 2 のグラフを
かき，x 軸より下にある部分を折り返す
¯
¯
ことで，y = ¯2|x − 1| − |x + 3| − 2¯ の
3
1
グラフをかいてもよい．
−5
−3
−1O
−2
1
7 8 x
5
xy 平面上の２つの直線 ax − 7y + 4 = 0 と 5x − 3y + 2a = 0 が点 (2，b) で交わるとき，a と b
の値を求めよ．
２つの直線がともに点 (2，b) を通るので，


 2a − 7b + 4 = 0
 2a − 7b = −4
∴
 10 − 3b + 2a = 0
 2a − 3b = −10

 a = − 29
4
これを解くと，

3
b = −2
6
座標平面上に，３点 A(0，12)，B(6，0)，C(0，3) がある．点 C を通り，辺 AB を横切る直線 `
が 4AOB の面積を 2 等分する．ここで，O は座標平面の原点である．直線 ` の方程式を求めよ．
直線 ` と辺 AB との交点を D とし，D の x 座標を p (p > 0)
y
とすると，
（4ACD の面積） =
=
1
·9·p
2
9
p，
2
A
12
1
· 6 · 12
2
= 36
（4AOB の面積） =
4ACD の面積の 2 倍が 4AOB の面積に等しいから，9p = 36．
∴ p = 4．よって，D(4，4)
3
1
1
` の傾きは 44 −
− 0 = 4 なので，` の方程式は，y = 4 x + 3
`
D
C
3
O
6
B
x
7 ∗ 方程式 |x − 2| + |x + 1| = kx が解を１つだけもつと
き，k の取り得る値の範囲を求めよ．
y = |x − 2| + |x + 1| · · · °
1 と y = kx · · · °
2
の交点がただ１つになるときの k の値を考えれ
y = |x − 2| + |x + 1|
y
ばよい．°
1 は



2x − 1 (x = 2)


y=
3
(−1 5 x < 2)



 −2x + 1 (x < −1)
y = kx
3
である．
y = 2x − 1 (x = 2) の部分と °
2 が交点をも
3 5 k < 2 のときである．
−1 O
2
つのは， 2
y = 3 (−1 5 x < 2) の部分と °
2 が交点をも
つのは，k 5 −3，3
2 < k のときである．
y = −2x + 1 (x < −1) の部分と °
2 が交点をもつのは，−3 < k < −2 のときである．
x
（以上のことは，k の値を変化させることで °
2 の直線がどのように動くのかをイメージして考
えよ．
）
これらの事実から交点がただ１つとなるのは，k = 2，k = 3
2 ，k < −2 のときである．
よって k の取り得る値の範囲は，k = 2，k = 3
2 ，k < −2．
8 ∗ 方程式 |x| + |y| = 1 の表す図形をかけ．
y = 0 のとき，y = −|x| + 1
y
y < 0 のとき，y = |x| − 1
1
−1
O
1
−1
x

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