第二回中心力と角運動量保存則物理学講義 I 2013 年 4 月 23 日 ✓ 前回のポイント ✏ • ある点の位置ベクトルとそこに働く力のベクトル積を力のモーメントといい、物体を回転させる能力を現す。 ✒ 1 • 運動量のモーメントを角運動量といい、回転運動の勢いを現す。 ✑ 回転運動の法則角運動量 L の成分、 Lx = m(yvz − zvy ) (1) Ly = m(zvx − xvz ) (2) Lz = m(xvy − yvx ) (3) のうち、Lz を時間微分してみよう。 dLz dt d (xvy − yvx ) dt dx dvy dy dvx = m( vy + x − vx − y ) dt dt dt dt = m(vx vy + xay − vy vx − yax ) = m (4) (5) (6) = x(may ) − y(max ) (7) = xFy − yFx = Nz (8) このように、Lz の時間微分は力のモーメントの z 成分 Nz に等しいことがわかる。同様にして、 Lx 、Ly の時間微分もそれぞれ力のモーメントの x、y 成分に等しいことが示される。これらをまとめて書くと     Lx Nx d     (9) Ly  = Ny  dt Lz Nz ⇒ dL dt = N (10) となる。このように、力のモーメントは角運動量の時間変化に等しいことがわかる。これを回転運動の法則という。 1 ✓ ✏ 回転運動の法則 dL =N dt ✒ (11) ✑ 例題：単振り子の運動方程式を回転運動の法則から求めよ。 O θ l S F -mg 図 1: 点 O まわりにふれる振り子。図 1 のおもり（質量 m）に働く力は、おもりに働く重力 −mg と糸の張力 S の合力 F であり、その大きさは F = −mg sin θ である。よってこの力の点 O まわりのモーメントは、N = −mgl sin θ となる。おもりの角運動量 L は、角速度 ω(= dθ/dt) を用いて、 L = mlv = ml2 ω = ml2 dθ dt (12) となる。よって回転運動の法則から、 dL dt d2 θ ∴ 2 dt d2 θ = −mgl sin θ dt2 g g = − sin θ − θ l l = N ⇒ ml2 (13) (14) となる。ここで θ は微小な角度として近似を行った。 2 中心力ある物体に作用する力の作用線が、常に一定の点 O と物体を結ぶ直線上にあり、その強さが点 O と物体の距離 r だけで決まるとき、この力のことを中心力という。例えば、距離 r を隔てて空間におかれた電荷 qA と qB の間には 1 qA qB ˆr (15) f= 4π 0 r2 という力（クーロン力）が働く。ここで 0 は真空の誘電率、ˆ r は電荷 qA から qB に向かう単位ベ 2 qA r qB 図 2: クーロン力は中心力である。クトルである。式（15）の形を見てもわかるように、クーロン力は電荷 qA と qB を結ぶ直線上に働き、さらにその大きさは電荷の大きさが決まっているならば距離 r のみに依存して決まる。従ってクーロン力は中心力と言える。他にも万有引力や図 1 のおもりの糸の張力も中心力である。この中心力の性質について調べてみよう。 3 角運動量保存則回転の中心 O の周りに等速円運動している質点を考えよう。このとき質点には中心力 S が働いており、この中心力 S の力のモーメントは 0 になることがすぐにわかる。なぜなら、中心力 S の力の作用線は回転の中心 O と質点を通るため、回転の中心 O から力の作用線までの距離が 0 になるからである。よって、式（11）から dL =N dt ∴ L = const. (16) (17) となる。つまり、物体が中心力の作用を受けて運動する場合には、力の中心の周りの角運動量は一定と言える。これを角運動量保存則という。これは中心力の持つ重要な性質の一つである。 L O p=mv r m 図 3: 中心力を受けて運動する質点。次に、中心力の作用のみで運動する質点は、力の中心を含む平面上で運動することを明らかにしよう。図 3 のように点 O まわりを中心力のみを受けて回転する質点（質量 m）を考える。角運動量の方向は、速度を v とすると、運動量 p = mv と位置 r で張られる平行四辺形に垂直な方向を向いている。回転運動の法則より、 dL =N (18) dt となり、N = 0 であるから、dL/dt = 0 となる。すなわち角運動量の大きさも方向も変化しないということになり、質点は角運動量 L に垂直な平面上を運動することになる。 3 ✓ 練習問題 ✏ 1. 力 F(r) = −kr の作用を受ける物体（質量 m）の運動を考える。次のことを示せ。 (a) この物体の軌道が楕円になること。 (b) 角運動量が一定であること。 2. 速度 v = (5.0m/s)i − (6.0m/s)k で運動している 3.0kg の粒子が x = 3.0m、y = 8.0m の位置にある。i, k はそれぞれ x, y 方向の単位ベクトルである。このとき、(a) この粒子の原点まわりの角運動量はいくらか。次にこの粒子を −(7.0N )i の力で引っ張るとき、(b) この粒子に働く原点まわりのトルクの大きさと方向を求めよ。また、(c) この粒子の角運動量の時間変化率はいくらになるか。 ✒ 4 ✑ 面積速度 P’ v∆t d P S F O 図 4: 中心力を受けて運動する質点の面積速度は一定。図 4 のように、質点が点 O からの中心力のみを受けて運動している状況を考える。とある時刻での質点の位置と速度をそれぞれ P 、v とし、時間 ∆t 後に質点の位置は P の位置に移動するとする。線分 OP が単位時間の間に掃過する面積のことを面積速度という。この面積速度が角運動量とどのように関係付けられるかを調べよう。図 4 において三角形 OPP の面積を S とすれば、 S = v∆td/2 (19) となる。d は点 O から速度ベクトルを延長した直線までの距離である。質点の角運動量は、質点の質量を m として、 L = mvd L ∴ vd = m (20) (21) となるので、これを式（19）に代入すれば S= L∆t 2m (22) となる。ここで、質点に中心力のみが働く場合、角運動量 L は一定値となるので、単位時間に線分 OP が掃過する面積は L/2m で一定ということになる。 4 万有引力も中心力の一種であるが、後に紹介するように惑星は太陽を焦点とする楕円軌道上を運動している。惑星が一番太陽に近いときには惑星の速度は速くなり、一番遠い時には遅くなる。これは面積速度が一定であるためである。 ✓ この回のまとめ ✏ • 角運動量の時間微分は力のモーメントに等しく、これを回転運動の法則という。 • 中心力が働く質点の角運動量は時間変化せず、質点は角運動量ベクトルを法線とする平面上を運動する。 ✒ • 中心力が働く質点の面積速度は一定である。 5 ✑