高校数学裏技ハンドブックマスオ 2014 年 5 月 5 日 1 目次はじめに 3 1.1 ハンドブックの使い方，特長 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 お問い合わせ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 大学受験編 4 1 2 2.1 方程式・恒等式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2.2 不等式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.3 図形（初等幾何） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.4 解析幾何（座標・ベクトル） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.5 三角比・三角関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.6 指数・対数関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.7 極限・微分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.8 積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.9 組み合わせ・確率 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.10 数列・漸化式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.11 整数問題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 数学オリンピック編 28 3.1 代数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.2 幾何 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.3 組み合わせ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.4 数論 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3 2 1 はじめにこんにちわ，マスオです。高校数学裏技ハンドブックをダウンロードしていただき誠にありがとうございます！この高校数学裏技ハンドブックは，ウェブサイト「高校数学裏技公式集」（http://mathtrain.jp）の記事を元に，重要な部分を抜き出して加筆，修正したものです。高校数学の本質的な考え方，重要な証明方法などのエッセンスを凝縮しています。ウェブサイトの記事数が増えてきて，全て読もうとすると時間がかかり過ぎる上に本質的に大事な部分がぼやけてしまうので，短時間で重要な部分を確認できるものを作りました。 ※「高校数学裏技公式ハンドブック」の著作権はマスオに付随します。他のサイトで許可無く再配布とかされると悲しいですが，コピーして友達とかに配る分には構いません。どんどん広めちゃってください！ 1.1 ハンドブックの使い方，特長・簡潔さを追究したため細かい計算や証明，記号の定義は省略しまくってます，初見だと分からない部分だらけだと思います。ここに載せている全ての公式はウェブサイトで詳しく解説していますので，詳細が気になった部分はウェブサイトのサイト内検索を利用して確認してください。・ウェブサイトと併用してハンドブックの内容をひと通り理解した上で，通学の電車内などちょっとした時間に何度も流し読みをしていただけるとより効果的だと思います。・重要度，難易度を３段階で評価しています重要度の★が多いほど頻出，難易度の★が多いほど理解するのが難しいということを表しています。 1.2 お問い合わせ質問，誤植，意見，依頼などあれば遠慮無くウェブサイトの質問コーナー（http://mathtrain.jp/bbs）に書き込むかマスオまでメール（[email protected]）してください！これからもウェブサイトの方はどんどん更新していくつもりです。ウェブサイトの更新に伴い，このハンドブックも数ヶ月に 1 回は更新したいなあと思っていますがそのときの気分しだいなので保証はできません。（更新の際も pdf ファイルのパスワードは変更しないので最新版をご覧いただけます）今後ともよろしくお願いします！ 3 2 大学受験編 2.1 方程式・恒等式 ✓ No1：有名な因数分解公式１重要度★★★ 難易度★★☆ a3 + b3 + c3 − 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca) ✒ ・c = 1 など具体的な数字のときには気づきにくいので注意 ✏ ✑ ・三変数の相加相乗平均の不等式の証明に用いられる ✓ No2：有名な因数分解公式２重要度★★★ 難易度★★☆ an − bn = (a − b)(an−1 + an−2 b + · · · + abn−2 + bn−1 ) ✏ また，n が奇数のときには， an + bn = (a + b)(an−1 − an−2 b + · · · − abn−2 + bn−1 ) ✒ ・等比数列の公式の分母を払ったもの ✑ ・n = 3 の場合は教科書に載っている公式・整数問題に応用されることが多い（an − bn の形の整数が素数でないことを示すなど） ✓ No3：交代式の因数分解重要度★★☆ 難易度★★☆ ３変数の交代式 f (a, b, c) は (a − b)(b − c)(c − a)g(a, b, c) と因数分解することができるさらに，g(a, b, c) は対称式である ✒ ・因数定理を用いて証明することができる・２変数の交代式も同様・例：a3 (c − b) + b3 (a − c) + c3 (b − a) = (a − b)(b − c)(c − a)(a + b + c) 4 ✏ ✑ ✓ No4：発展的な乗法公式重要度★☆☆ 難易度★☆☆ (a + b)4 = a4 + 4a3 b + 6a2 b2 + 4ab3 + b4 ✏ (a − b)4 = a4 − 4a3 b + 6a2 b2 − 4ab3 + b4 (a + b)(b + c)(c + a) = a2 b + ab2 + b2 c + bc2 + c2 a + ca2 + 2abc (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a2 b + ab2 + b2 c + bc2 + c2 a + ca2 ) + 6abc ✒ ・４乗の展開式の係数「1，4，6，4，1」は暗記しておくとよい ✑ ・公式を忘れたら１つずつ展開すればよいだけなので重要ではないが，余計なところで時間と労力を取られないように工夫すべき・(a + b + c)3 の展開は対称性と多項定理を用いる ✓ No5：ブラーマグプタの恒等式重要度★☆☆ 難易度★★☆ ✏ (a2 + nb2 )(c2 + nd2 ) = (ac − nbd)2 + n(ad + bc)2 = (ac + nbd)2 + n(ad − bc)2 ✒ ✑ (a2 + b2 )(c2 + d2 ) = (ac − bd)2 + (ad + bc)2 = (ac + bd)2 + (ad − bc)2 ・ペル方程式をはじめ整数問題の不定方程式を解く際に活躍する恒等式・恒等式の証明の題材として頻出 ✓ No6：ラグランジュの恒等式重要度★☆☆ 難易度★★★ n ( ✒ i=1 n a2i )( n b2i ) ai bi )2 + =( i=1 i=1 1≤i<j≤n (ai bj − aj bi )2 ・恒等式の証明の題材として頻出・コーシー・シュワルツの不等式の証明になっている・ビネコーシーの恒等式の特殊系続きは本編で！（サイトアンケートに答えてくれた方のみ閲覧できるようにパスワードをかけています，f ご協力お願いします！） http://mathtrain.jp/handbook 5 ✏ ✑