Prof. Luca Mannella Scomposizione in fattori di polinomi e prodotti

Prof. Luca Mannella
Scomposizione in fattori di polinomi e prodotti notevoli
Scomporre in fattori un polinomio significa scrivere un dato polinomio come prodotto di polinomi (che devono essere di grado più basso del polinomio da
scomporre), ad es.
.
I prodotti notevoli sono particolari prodotti fra polinomi, che dunque hanno per risultato un polinomio, e sono considerati particolari non per specifiche
caratteristiche che li distinguono fra tutti i possibili prodotti di polinomi, ma perché caratterizzati da formule facilmente memorizzabili o perché più frequenti
nella pratica del calcolo algebrico (potenze, prodotti di binomi,...). Ad esempio,
Scomporre in fattori un polinomio e moltiplicare polinomi sono operazioni inverse una dell'altra
scomporre in fattori
--------------->
<--------------moltiplicare
La moltiplicazione di polinomi e la scomposizione in fattori di polinomi si basano sulla proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma di polinomi
(rispettivamente moltiplicare monomi per polinomi e raccogliere fattori comuni a più monomi) e sulla proprietà commutativa della somma e del prodotto di
polinomi (variare l'ordine di addendi o fattori in somme o prodotti). Esistono però regole pratiche di calcolo, che è opportuno sapere, che permettono di ottenere
il risultato del prodotto o della scomposizione in fattori di polinomi, senza dover ogni volta svolgere ogni passaggio del prodotto o della scomposizione.
Nella tabella alle pagine seguenti sono elencati alcuni prodotti notevoli o scomposizioni in fattori e regole pratiche per svolgere tali tipologie di scomposizioni in
fattori o prodotti notevoli. Esistono alcuni metodi di scomposizione in fattori basati sul fondamentale teorema di Ruffini, e più genericamente sulla divisione fra
polinomi, cui si dedicherà un'apposita unità didattica e che dunque nella seguente tabella non compaiono.
Prodotto notevole
Regola pratica di calcolo
Scomposizione in fattori per raccoglimento di un fattore comune di
Polinomio i cui monomi
hanno un fattore comune
Prodotto di un monomio
per un polinomio
Si calcola, se esiste, il monomio M che è fattore comune a tutti i monomi del
polinomio da scomporre nel modo seguente
Calcolo di M
Esempio
Scomposizione in fattori
Calcolo del prodotto notevole
a) la parte letterale è il prodotto delle lettere comuni a tutti i monomi del
polinomio da scomporre con l'esponente minimo che hanno in tale polinomio.
- Nell'esempio, le lettere comuni sono
- La lettera compare con esponente 3 nel primo monomio, con esponente 1 nel
secondo, con esponente 2 nel terzo. L'esponente dunque che tale lettera ha nella
parte letterale del monomio comune è 1.
- La lettera ha esponente minimo 1 nel secondo monomio
- Dunque, la parte letterale del monomio comune è
b) la parte numerica è il Massimo Comune Divisore delle parti numeriche dei
monomi del polinomio da scomporre
c) il monomio comune è
2) Si calcola quindi il polinomio
che, moltiplicato per il monomio comune,
restituisce il polinomio da scomporre in fattori
Calcolo di P
a) P ha tanti monomi addendi quanti sono i monomi del polinomio da scomporre
b) primo monomio p1
Deve essere
Parte numerica n di p1
------> n = 2
Parte letterale di p1
=
---> ? = 2, ?? = 1
c) secondo monomio p2
Ragionando similmente,
d) terzo monomio p3
Ragionando similmente,
e) quindi il polinomio P è
3) La scomposizione in fattori è dunque
Il
calcolo
si
svolge
semplicemente con la regola del
prodotto di un monomio per un
polinomio
(proprietà
distributiva del prodotto)
Esmpio
Prodotto notevole
Regola pratica di calcolo
Polinomi con fattori comuni ad Scomposizione in fattori per Calcolo del prodotto notevole
alcuni monomi
raccoglimento parziale
caso semplice -> quadrinomio i cui
monomi hanno a due a due un
Il calcolo si svolge semplicemente con la
fattore comune
regola del prodotto di polinomi (proprietà
Esempio
1) Osservato che, ad esempio, pur non
esistendo un fattore comune a tutti i monomi,
il monomio
è fattore comune dei monomi
e il monomio
è fattore
comune ai monomi
, si svolge
una
scomposizione
in
fattori
con
raccoglimento del fattore comune di tali
polinomi
Scomposizione in fattori
Prodotto di polinomi
caso semplice -> prodotto di due
binomi
distributiva del prodotto)
Esempio
2) è possibile raccogliere il polinomio
(a + 2b), fattore comune dell'espressione
ottenuta come descritto nel primo passaggio,
ottenendo la scomposizione in fattori
Trinomio del tipo di uno sviluppo di Scomposizione in fattori
quadrato di binomio
quadrato di binomio
(somma di tre monomi di cui due sono i
quadrati dei monomi
e
e di cui uno è il
"doppio prodotto" 2
)
Esempio
come
verificare se il polinomio
è somma di due quadrati e di un
doppio prodotto
a) individuare i due quadrati
è il quadrato del monomio
(o del monomio
)
è il quadrato del monomio
(del monomio
)
b) verificare se qualche doppio prodotto dei
monomi individuati
o
(oppure
o
dà come risultato il monomio
rimanente +
del polinomio da
scompore
(anche
c)
quadrato di binomio
)
)
è lo sviluppo del
(oppure
Calcolo dello sviluppo del quadrato
di binomio
Quadrato di binomio
Esempio
con la regola del prodotto di polinomi
otteniamo infine la regola pratica di calcolo
=
= quadrato di
+ doppio prodotto di
per
+ quadrato di
Esempio
Binomio del tipo differenza di
quadrati
Scomposizione in fattori come
somma per differenza di due
monomi
Calcolo dello sviluppo della somma Prodotto di due binomi, che sono
per la differenza di due monomi 3x somma e differenza di due monomi
ea
a, b
Verificare se il binomio considerato è una
differenza di quadrati
Esempio
=
con la regola del prodotto di polinomi
a) il monomio
è il quadrato di
(oppure di
b) il monomio
è il quadrato di
(oppure di
)
c) essendo il binomio la differenza di due
quadrati può esser scritto come somma per
differenza di due monomi
e
( ma anche
di
e )
Esempio
regola pratica di calcolo
differenza dei quadrati dei monomi
oppure
Esempio
oppure
Quadrinomio che è lo sviluppo di
un cubo di binomio
(somma di quattro monomi di cui due cubi di
monomi e due " tripli prodotti " ottenuti dalle basi
dei cubi come
e
Esempio
Scomposizione in fattori come cubo Calcolo dello sviluppo del cubo di Cubo di binomio
di binomio
binomio
Verificare se
Per definizione di potenza
è un cubo di binomio
calcolando il quadrato di binomio a secondo
membro
a) i due monomi che sono cubi di monomi
sono
e
calcolando il prodotto tra polinomi
b) la scomposizione come cubo di binomio può
essere eseguita solo se, calcolando i "tripli
prodotti" con tali monomi, otteniamo i
rimanenti monomi del polinomio di partenza
Eseguendo la somma dei monomi simili
otteniamo la regola pratica
e
c) quindi, il polinomio da scomporre è lo
sviluppo del cubo di binomio
Cubo di
di
Esempio
+ " Tripli prodotti " di
e
Esempio
+ Cubo

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