Alcune soluzioni 4 • Calcolare lim log[(3n)3 + sin(1/n)] − 4 √ n3 2n +

Alcune soluzioni 4
• Calcolare
log[(3n )3 + sin(1/n)] −
√
lim
n→+∞
2n + n cos(1/n)
Soluzione Sia
log[(3n )3 + sin(1/n)] −
√
an :=
2n + n cos(1/n)
√
4
n3
√
4
.
n3
Numeratore:
√
sin(1/n)
4
3n
3
log[(3 ) + sin(1/n)] − n = log 3
1+
− n3/4 =
33n
sin(1/n)
sin(1/n)
1
1
3/4
3n log 3+log 1 +
log 1 +
−n = 3n log 3 +
− 1/4
33n
3n
33n
n
n 3
Denominatore:
2n +
√
cos(1/n)
√
n cos(1/n) = 2n 1 +
2 n
Conseguentemente:
n
3n log 3 +
lim an = lim
n→+∞
n→+∞
3 log 3 +
lim
n→+∞ 2
1
3n
h
log 1 +
1+
h
i
log 1 + sin(1/n)
−
3n
3
h
i
√
2n 1 + cos(1/n)
2 n
1
3n
sin(1/n)
33n
cos(1/n)
√
2 n
i
−
1
n1/4
=
1
n1/4
o
=
√
3
log 3 = log 27
2
N.B. Si valuti dove `e stato usato, nell’ultimo limite, il Teorema del limite del
prodotto di una successione infinitesima per una successione limitata.
• Calcolare
√
log(2n + 5n ) − n2 + 1
√
√
lim
.
n→+∞
( n + 4 n)(log n)2
Soluzione Sia
√
log(2n + 5n ) − n2 + 1
√
√
an :=
( n + 4 n)(log n)2
Numeratore:
n
n
log(2 + 5 ) −
√
r
n 2
1
n
n2 + 1 = log 5 1 +
−n 1+ 2 =
5
n
1
r
n 2
1
−n 1+ 2 =
n log 5 + log 1 +
5
n
)
(
n r
2
1
1
− 1+ 2
n log 5 + log 1 +
n
5
n
Denominatore:
√
√
√
1
2
2
4
( n + n)(log n) = (log n) n 1 + √
4
n
Conseguentemente:
n q
log 1 + 52
− 1+
h
i
√
1
2
√
(log n) n 1 + 4 n
n
n log 5 +
lim an =
n→+∞
√
n log 5 +
(log n)2
1
n
1
n
log 1 +
1+
2 n
5
1
√
4n
−
q
1+
1
n2
1
n2
o
=
= +∞
N.B. Si osservi che il segno del limite dipende dal fatto che log 5 − 1 > 0.
• La funzione f (x) = x · cotan2 x `e prolungabile per continuit`a in x = 0?
Soluzione La funzione f (x) = x · cotan2 x non `e prolungabile per continuit`a
in x = 0. Infatti:
lim+ x · cotan2 x = lim+ x ·
1
x
cos2 x
= lim+
· cos2 x ·
= +∞
2
sin x
sin x x→0 sin x
lim− x · cotan2 x = lim− x ·
x
1
cos2 x
= lim−
· cos2 x ·
= −∞
2
sin x
sin x x→0 sin x
x→0
x→0
e
x→0
x→0
• Per quale valore di a ∈ R la funzione:
(√ 2 √
2
x +1− 1−3x
x
f (x) =
a
h
i
x ∈ − √13 , √13 r {0}
x=0
h
i
`e continua in − √13 , √13 ?
h
i
Soluzione La funzione f (x) `e continua per ogni a ∈ R in − √13 , √13 r {0},
2
√
√
perch`e quoziente delle funzioni continue x2 + 1 − 1 − 3x2 ed x, con denominatore diverso da 0. Esamino il caso x = 0.
√
lim
x→0
0
√
x2 + 1 − (1 − 3x2 )
x2 + 1 − 1 − 3x2 ↑0
√
√
= lim
=
x→0 x( x2 + 1 +
x
1 − 3x2 )
4x
√
lim √
= 0.
2
x + 1 + 1 − 3x2
Essendo f (0) = a, la funzione f (x) risulta continua anche in x = 0 ovvero
x→0
lim f (x) = f (0),
x→0
se e solo se a = 0.
• La funzione:
(
log x − log(sin(2x)) 0 < x <
f (x) =
2
x = 0, π2
π
2
`e continua in 0, π2 ? La
funzione g(x) = log x − log(sin(2x)) `e prolungabile
π
per continuit`a in 0, 2 ? Dove `e definita g(x)?
Soluzione La funzione f (x) `e continua in 0, π2 perch`e differenza delle funzioni continue log x e log(sin(2x)) (quest’ultima composta di funzioni continue). Controllo separatamente la continuit`a in x = 0 e x = π2 .
Continuit`a in x = 0.
x 1
2x
lim log x−log(sin(2x)) = lim+ log
= lim+ log
= log(1/2),
x→0+
x→0
x→0
sin 2x
2 sin 2x
essendo (limite fondamentale) limx→0+
2x
sin 2x
= 1. Poich`e
lim log x − log(sin(2x)) = log(1/2) 6= f (0) = 2,
x→0+
la funzione f (x) non risulta continua in x = 0.
Continuit`a in x = π2 .
lim log x − log(sin(2x)) = +∞,
x→ π2 −
essendo limx→ π − log x = log π2 e limx→ π − log(sin(2x)) = −∞. Poich`e
2
2
h
π i
log
x
−
log(sin(2x))
=
+∞
6
=
f
lim
=
2
,
2
x→ π2 −
3
la funzione f (x) non risulta continua in x = π2 .
La funzione g(x) = log x−log(sin(2x)) `e prolungabile per continuit`a in x = 0
ponendo g(0) = log(1/2) = − log 2, mentre non `e prolungabile per continuit`a
in x = π2 essendo limx→ π − log x − log(sin(2x)) = +∞.
2
La funzione g(x) `e definita per
(
x>0
sin(2x) > 0
che fornisce Dg =
S+∞ π
k=0 kπ, 2 + kπ .
4

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