Esercitazione 20 marzo

Esercitazione 20 marzo
Esercizio 1Consideriamo la seguente rendita
S = {200, 300, 500; 0, 2, 3}
Calcolare il valore della rendita in t = 0 e t = 2 utilizzando il regime di
capitalizzazione a interesse composto e a interesse semplice, con tasso i = 5%.
Soluzione
•Interesse composto
Vale la scindibilit`a quindi V (S, 2) = V (S, 0)(1 + i)2 .
V (S, 0) = 200 +
500
300
+
= 200 + 272, 11 + 431, 92 = 904, 03
2
(1 + i)
(1 + i)3
da cui deduciamo
V (S, 2) = V (S, 0)(1 + 0.05)2 = 996, 7
Verifichiamo il risultato
V (S, 2) = 200(1 + 0.05)2 + 300 +
500
= 220.5 + 300 + 476.2 = 996.7
1 + 0.05
•Interesse semplice
500
= 220 + 300 + 476, 2 = 996, 2
1 + 0.05
Verifichiamo che non vale la scindibilit`a
V (S, 2) = 200(1 + 0.05 ∗ 2) + 300 +
V (S, 0) = 200+
300
500
+
= 200+272.73+434.78 = 907.51
(1 + 2 ∗ 0.05) (1 + 0.05 ∗ 3)
Se capitalizziamo V (S, 0) per 2 periodi otteniamo:
V (S, 0)(1 + 0.05 ∗ 2) = 998.26 6= V (S, 2).
Esercizio 2 Una rendita perpetua a rate posticipate, in cui le prime 5 rate
hanno un importo doppio rispetto alle successive, ha un valore attuale pari a
1
10000 e. Calcolare l’importo delle rate considerando un tasso di valutazione
del 3%.
Soluzione
Posso vedere la mia rendita come somma di 2 rendite: la prima composta da
5 versamenti di importo 2R e la seconda una rendita perpetua differita di 5
periodi. Ho quindi
V1 = 2R a5q0.03 = 2R
e
V2 =
1 − (1 + 0.03)−5
0.03
R
(1 + 0.03)−5
0.03
So che V1 + V2 = 10000, quindi
1 − (1 + 0.03)−5
R
+
(1 + 0.03)−5 = 10000
0.03
0.03
R
2 − 2(1 + 0.03)−5 + (1 + 0.03)−5 = 10000
0.03
R
2 − (1 + 0.03)−5 = 10000
0.03
10.000 ∗ 0.03
= 263.76
R=
2 − (1.03)−5
2R
Esercizio 3 Su un fondo il cui tasso di rendimento annuo `e del 12% vengono
depositati 13000 e con l’intento di prelevare mensilmente in via posticipata
500 e. Dopo quanto tempo avviene l’ultimo prelievo?
Soluzione
Dobbiamo calcolare il tasso mensile equivalente
√
√
12
i12 = 12 1 + i − 1 = 1.12 − 1 = 0.0095 = 0.95%
Il valore attuale di questa rendita `e dato da
500 ∗ anq0.95% = 500
1 − (1 + 0.0095)−n
0.0095
2
Dobbiamo risolvere l’equazione
1 − (1 + 0.0095)−n
0.0095
13000
−n
0.0095
1 − 1.0095 =
500
1 − (1.0095)−n = 0.247
(1.0095)−n = 0.753
−n log(1.0095) = log 0.753
log 0.753
n=−
= 30.0037
log 1.0095
13000 = 500
L’ultimo prelievo avviene dopo 2 anni e 6 mesi.
Esercizio 4 Una persona intende costituire una somma di 4500 e effettuando 9 versamenti annui al tasso del 7%. Calcolare:
(a) le rate di costituzione;
(b) il fondo di costituzione deopo il versamento della 4 rata;
(c) Ipotizzando che dopo la quarta rata il tasso venga sollevato al 7.5%,
come si modificano le successive rate?
Soluzione
(a)Ricordiamo la formula per s posticipato figurato al tasso i snqi
snqi =
(1 + i)n − 1
1
da cui
(1 + 0.07)9 − 1
0.07
4500 = R 11.978
4500
= 375, 7
R=
11.978
4500 = R
(b)Il fondo di costituzione dopo il pagamento della quarta rata coincde con
il montante in t = 4, quindi
F (4) = Rs4q0.07
(1 + 0.07)4 − 1
= 375.7
= 1668.09
0.07
3
(c) Possiamo vedere questo problema come la costituzione di un capitale con
un versamento iniziale di F (4) e 5 rate annuali, il tutto al tasso del 7.5%.
M = F (4)(1.075)5 + R0 s5q0.075
(1.075)5 − 1
4500 = 1668.09(1.075)5 + R0
0.075
4500 = 2394.75 + R0 5.81
4500 − 2394.75
R0 =
= 362.25
5.81
Esercizio 5 Per costituire la somma di 9000 e, devo effettuare 20 versamenti trimestrali al tasso del 2.85% trimestrale. Determinare l’ammontare
di ciascuna rata ed il fondo disponibile alla fine del secondo anno.
Soluzione
L’ammontare di ciascuna rata si ricava dalla seguente equivalenza:
9000 = Rs20q2.85% ⇒ R = 340
Alla fine del secondo anno sono state versate 8 rate, quindi il fondo alla fine
di tale anno risulta pari al montante di tali rate
M = 340s4q2.85 = 3007.35
4

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