アーベル拡大での岩澤主予想岡野恵司概要藤井氏，三浦氏による岩澤理論の代数的側面・解析的側面の解説に引き続き，それらを結びつける岩澤主予想について，前日の復習をしながら述べさせていただく．非可換への橋渡しとしての立場をとり，主予想の意味づけや後々現れる手法のアーベル版に関する記述に内容を絞った．朝一で頭が働かない，二日酔いがつらいという方にもやさしい構成になっている．古典的岩澤主予想の定式化についてのより詳しい解説は，[尾崎 03] を参照するとよい．準備 1 p を奇素数，F を有理数体 Q 上の総実な有限次拡大とする．以下では組 (F, p) に対して Leopoldt 予想が成り立つとしておく．また，Σ を F の有限素点からなる有限集合で， p 上の素点をすべて含むものとする．F cyc でもって，F の円分的 Zp -拡大を表すものとし， Γ := Gal(F cyc /F ) とする．Γ の位相的生成元 γ を固定しておく．次のような拡大 F∞ /F を考える 1) ：  cyc ⊂ F ,  ∞ 総実かつ F F∞ /F : G := Gal(F∞ /F ) は 1 次元 p-進アーベル Lie-群,   F∞ /F は Σ の外で不分岐 (このような拡大を p-進アーベル許容 (admissible) Lie拡大とよぶ)．H := Gal(F∞ /F cyc ) とおけば，この条件より #H < ∞ である 2) ．藤井氏の解説のように， M (F∞ )/F∞ を Σ の外で不分岐な最大アーベル p-拡大とすると，そのガロア群 F∞ M (F∞ ) u uu uu u u uu X H X = X(F∞ ) := Gal(M (F∞ )/F∞ ) G F cyc Γ には G が内部自己共役で作用し，この作用によって X は Λ(G) := limU ◁G: 開 Zp [G/U ] 上の加群となるのであった． F ←− Q の C への埋め込み, および Qp の代数閉包 Qp への埋め込みを固定しておく．また， H の 1 次元 p-進指標 × H := Hom(H, Qp ) の各元 χ ∈ H に対して，Oχ := Zp [Im(χ)] とおく 3) ．想定しているモデルの代表例は，F = Q, F∞ = Q(µp∞ )+ である． Leopoldt 予想を仮定していることから，1 次元という仮定は不要である． 3) 同型 G ≃ Γ × H を固定して Γ ⊂ G とみなし，χ は Γ 上で自明とみなすせば，χ はいわゆる第 1 種，またはタイプ S とよばれる F 上の 1 次元 p-進 Artin 指標を考えることに相当する． 1) 2) 1 注 1.1. 最大不分岐アーベル p-拡大との対応について：非常に大雑把にいって，X(F∞ ) を調べることは X(F∞ (µp ))+ を調べることに対応する (問題 2 参照)．Kummer 理論より，これはイデアル類群と深い関係のある F∞ (µp ) の最大不分岐アーベル p-拡大の Galois 群 Y (F∞ (µp )) のマイナスパートに対応している (定理 2.2 参照)． 1.1 岩澤主予想とは一般に「岩澤主予想」と呼ばれているものは，源流は同じであるがその生い立ちが全く異なるこれら二種類の“ ゼータ関数 ”が本質的に同じものであることを主張する予想なのです．「代数学」，「幾何学」，「解析学」といった分野を超えた数学の統合は，須く全ての数学者たちが夢見る究極の境地でありますが，その一旦とも言える「代数学と解析学の間の架橋」がなんと整数論の専売特許である「p-進の世界」で実現される筈だ，という話になれば，多くの整数論研究者がその魔性の魅力の虜になったことは至極当然のことに思えます． [原 08] より図 1: p-進世界に架かった虹の架け橋主予想は，有限体上の代数曲線論における，合同ゼータに関する Weil の定理の類似物とみなせる．藤井氏の解説で取り上げられたように，岩澤先生は当初，円分体独自の理論を探ろうとして，その類数の研究をなされていたようである [岩澤 96]. 同じ記事の中で，岩澤加群とヤコビ多様体との類似を考えたきっかけは，λ, µ, ν-不変量を考えた後，µ = 0 の場合にはイデアル類群の p-パートとヤコビ多様体の p べき分点の群の構造が似ていることに気づいたからと述べている．実際，K := F (µp ) とし，K cyc /K を考える．Kn を K cyc /K の第 n-層，そして Σ として p 上の素点のなす集合を取れば，µ = 0 の仮定の下，K と Fq (p ∤ q) 上の種数 g をもつ非特異射影曲線 C との間に下のような類似対応がある．この類似を追うと，岩澤主予想にたどり着く： 2 関数体側 ←→ 代数体側ヤコビアン JacFq (C) ←→ イデアル類群 Cl(K) 係数拡大 Fq /Fq ←→ 円分的 Zp -拡大 K cyc /K Gal(Fq /Fq ) ≃ Z Gal(K cyc /K) ≃ Zp ⇓ JacFq (C)[p∞ ] ≃ (Qp /Zp )2g ⇓ 双対 HomZp (JacFq (C)[p∞ ], µp∞ ) ←→ A∞ := limn (Cl(Kn )[p∞ ]) ≃ (Qp /Zp )λ −→ ⇓ 双対 HomZp (A− ∞ , µp∞ ) ←→ ≃ Kummer ペアリング ≃ Weil ペアリング岩澤加群 X(K cyc )+ ↷ γ Tate 加群 Tp (JacFq (C)) ↷ Frob Weil の定理: ←→ “特性関数 = 合同ゼータ関数” 1.2 岩澤主予想: “特性関数 = p-進 L-関数？” 解析サイド総実体の p-進 L-関数を復習する． κF : Gal(F (µp∞ )/F ) → Z× p を円分指標とする．すなわち σ ∈ Gal(F (µp∞ )/F ) に対し κF (σ) は，σ(ζ) = ζ κF (σ) (ζ ∈ µp∞ ) を満たす p-進整数で定義される．特に κ(γ) ∈ 1+pZ である．また ω : Gal(F (µp )/F ) → µp−1 ⊂ Z× uller 指標とする． p を Teichm¨ n χ ∈ H に対し，Λχ (Γ) := limn Oχ [Γ/Γp ] とおくと，Γ の固定した位相的生成元 γ と ←− 1 + T を対応させることにより，同型 Λχ (Γ) ≃ Oχ T が得られる．以下この同型により両者を同一視する．χ : H → Oχ× を χ : Λ(G) → Λχ (Γ) = Oχ T に延長して，さらに χ : Q(Λ(G)) → Q(Oχ T ) へ延長する．ただし，Q(R) でもって環 R の全商環を表す．定理 1.2. (Deligne-Ribet [DRi80], Cassou-Nogues [CaN79], Barsky [Bar78]) 次を満たす G 上の擬測度 ζF∞ /F ∈ Q(Λ(G))× がただ一つ存在する： { χ(ζF∞ /F ) = Wχ (T ) 1H (ζF∞ /F ) = W1H (T )/T (χ ̸= 1H のとき) (χ = 1H のとき) とおく (Wχ (T ), W1H (T ) ∈ Oχ T )．χ ̸= 1H のとき Wχ (κF (γ)n − 1) = LΣ (χ, 1 − n), 3 また χ = 1H のとき W1H (κF (γ)n − 1) = ζΣ (F, 1 − n) κF (γ)n − 1 が，[F (µp ) : F ] | n なる任意の自然数 n について成り立つ．ただし LΣ (χ, s), ζΣ (F, s) は各々 χ に付随する L-関数，F のゼータ関数から Σ に含まれる素点に関するオイラー因子を除いたものである． p-進 L-関数 χ(ζF∞ /F ) とは，円分指標でひねった指標 χκn による擬測度 ζF∞ /F の evaluation が L-関数の特殊値で与えられており，その値を補間したものとみなすことができる．注 1.3. p-進 L-関数に関する記号をまとめておこう． { 1 (χ ̸= 1H のとき) Hχ (T ) := T (χ = 1H のとき) とおくと，χ(ζF∞ /F ) = Wχ (T )/Hχ (T ) である．このべき級数と三浦氏の解説で構成された p-進 L-関数との関係は Lp,Σ (χ, 1 − s) = Wχ (κF (γ)s − 1) Hχ (κF (γ)s − 1) で与えられる．ここで非原始的 p-進 L-関数 Lp,Σ (χ, s) は任意の自然数 n に対し Lp,Σ (χ, 1 − n) = LΣ (χω −n , 1 − n) をみたす関数である．また，三浦氏の解説における G(χ, T ) との対応は Wχ (T ) = G(χ−1 ω, κF (γ)(1 + T )−1 − 1) Hχ (T ) となっている 4) ．χ と χ−1 ω は各々偶指標，奇指標であり，Oχ = Oχ−1 ω であることに注意．問題 1. 定理 1.2 の W1H (T ) について，F = Q のとき W1H (T ) ∈ Zp T 確認せよ． 1.3 × であることを代数サイド以下，p ∤ #H の場合に限定する．Oχ への H の作用を，χ を通じて作用させる．言い換えると，自然な同型 Oχ ≃ Zp [H]/Ker(χ : Zp [H] → Oχ ) と可換な作用とする．さらに Xχ := X ⊗Zp [H] Oχ 4) これは事前打ち合わせのミスによる誤植で，正しくは Wχ (T ) = G(χ, κF (γ)(1 + T )−1 − 1) Hχ (T ) です．(2014 年 9 月 5 日訂正) 4 への H の作用を，h(x ⊗ a) = (hx) ⊗ a = x ⊗ (ha) (h ∈ H, x ∈ X, a ∈ Oχ ) と定める． p ∤ #H より，Xχ ≃ eχ X であり，べき等元分解 ∏ X≃ Xχ χ∈H/∼ が成り立つ．ここで eχ はべき等元 eχ := (#H)−1 ∑ h∈H TrQp (Im(χ))/Qp (χ(h))h−1 ∈ Zp [H] であり，また χ, χ′ ∈ H に対して χ ∼ χ′ を，ある σ ∈ Gal(Qp (Im(χ))/Qp ) が存在して χ′ = σχ となるときと定める．任意の有限生成捩れ Λχ (Γ)-加群 M に対して，Λχ (Γ)-加群の構造定理より完全系列 0 → (有限) → M → r ⊕ Λχ (Γ)/(πχmi ) ⊕ i=1 s ⊕ n Λχ (Γ)/(fj j ) → (有限) → 0 j=1 が得られる．ここで πχ は Oχ の素元であり，fj ∈ Λχ (Γ) は既約 distinguished 多項式に対応する元である．s, t, mi , nj , fj は M によりただ一つに定まる．このとき，M の岩澤 µ-不変量 µχ (M ), 特性イデアル charΛχ (Γ) (M ) を各々 µχ (M ) := ∑ mi , i µ (M ) charΛχ (Γ) (M ) := πχχ ∏ n fj j Oχ T j と定める．このようにして定まる charΛχ (Γ) (Xχ ) は，イデアル類群の深い情報をもつ p-進的な “代数的ゼータ関数” とみなされる．注 1.4. 任意の F と χ ∈ H に対し µχ (Xχ ) は常に 0 であろうと予想されている (岩澤 µ = 0 予想)． ′ /F を，F /F とは別の 1 次元 p-進アーベル許容 Lie-拡大とする．χ ∈ H が問題 2. F∞ ∞ ′ /F cyc ) 上の指標ともみなせるとき， Gal(F∞ ′ charΛχ (Γ) (X(F∞ )χ ) = charΛχ (Γ) (X(F∞ )χ ) が成り立つ．即ち，charΛχ (Γ) (X(F∞ )χ ) は χ のみに依り F∞ の取り方には依存しない． ([Gr83, Proposition 1], [尾崎 03, §2] 参照) 2 アーベル拡大での主予想とその応用以上の準備の下，アーベル拡大 F∞ /F に関する岩澤主予想は次のように定式化される：定理 2.1. (F = Q の場合：Mazur-Wiles [MaWil84]，一般の場合：Wiles [Wi90]) χ ∈ H を任意にとる．このとき µχ (Xχ ) = µ(Gχ ) であり， charΛχ (Γ) (Xχ ) = Wχ (T )Oχ T が成り立つ． 5 証明はここではとりあげないが，オイラー系を用いたものと保型形式を用いたものの 2 種類が知られている．証明の概略については [青木 03], [栗原 03] を参照．オイラー系を用いた証明は [Aoki01], [Ru90] にある．この節の残りの部分は演習とし，講演ではとりあげない．主予想を不分岐岩澤加群で表現すると，次のようになる．定理 2.2. (不分岐岩澤加群による岩澤主予想の定式化) K∞ := F∞ (µp ) 上の最大不分岐アーベル p-拡大のガロア群を Y (K∞ ) とおく．このとき， charΛχ (Γ) (Y (K∞ )χ−1 ω ) = Wχ (κF (γ)(1 + T )−1 − 1)Oχ T が成り立つ 5) ．問題 3. 定理 2.2 を証明せよ．(藤井氏の講演，[尾崎 03] 参照) F = Q, F∞ = Q(µp∞ )+ の場合を考える．このとき F∞ /F は p の外で不分岐な 1 次元アーベル許容 Lie-拡大になっている．さらに Leopoldt 予想と岩澤 µ = 0 予想は成立している．H = Gal(F∞ /F cyc ) を Gal(Q(µp )+ /Q) と同一視し，χ をこの上の非自明な Dirichlet 指標，ψ := χ−1 ω とする． Q(µp∞ ) F∞ =Q(µp∞ )+vvv v v• Qcyc 定理 2.3. (Herbrand-Ribet の定理) 上記の ψ ，即ち mod p の奇指標 ψ ̸= ω に対し， #eψ A(Q(µp )) ∼p B1,ψ−1 . Q v vvv Q(µp ) u uu uu u uu uu ここで eψ は前節で定義したべき等元，Bn,ψ−1 は一般 Bernoulli 数，∼p は両辺の p-進付値が一致することを意味する．問題 4. 定理 2.3 を証明せよ．([尾崎 03, §8], [数論 II, §10.3] 参照) 問題 5. GΣ (F ) でもって F 上の Σ の外で不分岐な最大拡大の Galois 群を表すものとする．また χ を位数が p と素な F 上の 1 次元 Artin 指標，dχ := [Oχ : Zp ] とする．E/F を拡大次数が p と素な，F Kerχ を含む総実な有限次アーベル拡大とするとき， LΣ (χ, 1 − n)dχ ∼p #H 1 (GΣ (E), Qp /Zp (n))χ−1 #H 0 (GΣ (E), Qp /Zp (n))χ−1 が n ≥ 2 なる任意の偶数について成り立つことを示せ 6) ．ただし，左辺に現れるコホモロジー群は有限であるという Soul´e の定理 ([NSW08, (8.7.6)(10.3.27)]) を認めることとする． 5) ψ = χ−1 ω として三浦氏の記号 f (ψ −1 ω, T ) を使えば，注 1.3 より charΛψ (Γ) (Y (K∞ )ψ ) = f (ψ −1 ω, T )Oψ T である．これは [尾崎 03] の記号 f (T, ψ −1 ω) と同じものである． 6) エタールコホモロジーで表せば，これは LΣ (χ, 1 − n)dχ ∼p #H´e2t (Spec(OE [1/p]), Zp (n))χ−1 #H´e1t (Spec(OE [1/p]), Zp (n))χ−1 である． 6 これより特に χ を自明な指標とすれば，(コホモロジー的)Lichtenbaum 予想 ζ(F, 1 − n) ∼p ∏ #H 1 (GΣ (F ), Qp /Zp (n)) p #H 0 (GΣ (F ), Qp /Zp (n)) が導かれる．([Kol09] 参照) [尾崎 03] では有理数体上の主予想やそれから導かれる諸結果について，より詳しく論じている． K-理論による岩澤主予想の再解釈 3 これまで通り p ∤ #H と仮定する．非可換岩澤理論における主予想は，古典的 K-理論を用いて定式化される．ここではアーベル拡大における主予想が，非可換岩澤理論の立場からどのように解釈されるかを述べる．K-理論については齋藤氏の講演で詳しく述べられるので，ここではそれについては大雑把な記述にとどめる． Λ は Λ(G) または Λχ (Γ) であるとする．有限生成捩れ Λ-加群の同型類を基底とする自由 Z-加群 F (Mtor (Λ)) を考え，次のような同値関係を入れる．同型類 [M ], [M ′ ], [M ′′ ] の間に完全系列 0 → M ′ → M → M ′′ → 0 が存在するとき，[M ] と [M ′ ] + [M ′′ ] は同値であると定める．この関係で割ったものを K0 (Mtor (Λ)) と記す 7) ．即ち ( ) [M ] − [M ′ ] − [M ′′ ] if K0 (Mtor (Λ)) = F (Mtor (Λ))/ 0 → M ′ → M → M ′′ → 0 : 完全である．K0 (Mtor (Λ)) の元も同じ記号 [M ] で表示する．問題 6. (1) K0 (Mtor (Λ)) において，f, g ∈ Λ とするとき [Λ/(f g)] = [Λ/(f )] + [Λ/(g)] が成り立つことを証明せよ． (2) M を有限な Λχ (Γ)-加群とすると，[M ] = 0 である．連結準同型写像とよばれる写像 ∂ : Q(Λ)× → K0 (Mtor (Λ)) が次のように定義できる：f ∈ Q(Λ)× ∩ Λ に対しては ∂(f ) := [Λ/(f )] とし，一般の f /g ∈ Q(Λ)× に対しては ∂(f /g) := [Λ/(f )] − [Λ/(g)] とする．問題 6(1) より ∂ は準同型であり，その核は Λ× である．Λ = Λχ (Γ) の場合，任意の有限生成捩れ Λχ (Γ)-加群 M は，構造定理と問題 6(1)(2) より [M ] = [Λχ (Γ)/charΛχ (Γ) (M )] と書けるから，∂ は全射である．したがって完全系列 0 → Λχ (Γ)× → Q(Λχ (Γ))× → K0 (Mtor (Λχ (Γ))) → 0 ∂ 7) 正確には，通常 G0 (Mtor (Λ)) と書かれるものである．今の場合 G0 (Mtor (Λ)) と K0 (Mtor (Λ)) は一致している． 7 が得られる．可換環 Λχ (Γ)× および Q(Λχ (Γ))× は，K-群の言葉で言い換えると各々 Λχ (Γ)× = K1 (Λχ (Γ)), Q(Λχ (Γ))× = K1 (Q(Λχ (Γ))) となっており，さらに K0 (Mtor (Λχ (Γ))) については，相対 K-群 K0 (Λχ (Γ), Q(Λχ (Γ))) というものと同型な群である (これらの定義は齋藤氏の講演参照．ここでは K-群というものになっているということを認識してもらえれば十分です)．この完全系列は K-理論における局所化完全系列とよばれるものであり，構造定理の K理論による再解釈を与えているといえる．非可換の場合には，この ∂ が全射という事実を示すのには相当の困難が伴うことを注意しておく (森澤氏の解説参照)．さて，各 χ についてできるこのような完全系列を “貼り合わせる” ことで，主予想を ∏ Λ(G)-加群 X の表現に直す．Λ(G) ≃ χ Λχ (Γ) より，可換図式 ∏ 0 / Q(Λ(G))× / Λ(G)× 0 ≀ θ × Λχ (Γ) / χ∈H/∼ ∏ / / K0 (Mtor (Λ(G))) ∂ ≀ θS ∗ Q(Λχ (Γ)) χ∈H/∼ × ∏ ∂ ∏ / /0 ≀ θ0 K0 (Mtor (Λχ (Γ)) /0 χ∈H/∼ が得られる (この形の図式は今後しばしば現れる) 8) ．ここで θ, θS ∗ は §1.3 でみた χ : Λ(G) → Λχ (Γ) から自然に誘導されるものであり，それらから誘導される θ0 はべき等元分解から誘導されるものと一致している．定理 1.2 で現れた ζF∞ /F ∈ Q(Λ(G))× の θS ∗ による像 (χ(ζF∞ /F ))χ を考える．主予想 (定理 2.1) が主張することは，各成分の ∂ による像が { χ(ζF∞ /F ) = Wχ (T ) → [Xχ ] (χ ̸= 1H のとき) 1H (ζF∞ /F ) = W1H (T )/T → [X1H ] − [Zp ] (χ = 1H のとき) であると言い換えることができる．図式の可換性から，主予想は次のように言い換えることができる．定理 3.1. (アーベル拡大における岩澤主予想) 定理 1.2 で現れた ζF∞ /F ∈ Q(Λ(G))× について， ∂(ζF∞ /F ) = [X] − [Zp ] が成り立つ．参考文献 [青木 03] 岩澤主予想の Euler 系による証明, 2003 年度 (第 11 回) 整数論サマースクール『岩澤理論』報告集. [岩澤 96] 数学編集部, 岩澤先生のお話を伺った 120 分, 数学 45 (1993) 366–372. [尾崎 03] 岩澤主予想, 2003 年度 (第 11 回) 整数論サマースクール『岩澤理論』報告集. [栗原 03] 岩澤主予想の保型形式系による証明, 2003 年度 (第 11 回) 整数論サマースクール『岩澤理論』報告集. 8) 改めて p ∤ #H に注意しておく．そうでない場合，この可換図式は多少の修正が必要である 8 [数論 II] 黒川信重, 栗原将人, 斎藤毅, 数論 II –岩澤理論と保型形式, 岩波書店 (2005). [原 08] 原隆, 総実代数体の非可換岩澤理論の展開, 第 5 回城崎新人セミナー報告集 (2008) [Aoki01] The main conjecture and Gauss sums, J. Number Theory 89 (2001) 151–164. [Bar78] Barsky D., Fonctions zˆeta p-adiques d’une classe de rayon des corps de nombres totalement r´eels, Groupe de travail d’analyse ultram´etrique (5e ann´ee: 1977/78), Secr´etariat Math., Paris, (1978) 1–23. [CaN79] Cassou-Nogues P., Valeurs aux entiers n´egatifs des fonctions ˆzeta et fonctions ˆzeta p-adiques, Invent. Math., 51 (1979) 29–59. [DRi80] Deligne P. and Ribet K., Values of abelian L-functions at negative integers over totally real fields, Invent. Math., 59 (1980) 227–286. [Gr83] Greenberg R., On p-adic Artin L-functions, Nagoya Math. J. 89 (1983) 77–87. [Kol09] Kolster M., Special values of L-functions at negative integers, in Arithmetic of L-functions (Popescu C., Rubin K. and Silverberg A. eds.), IAS/Park City Math. Series, Vol.18, AMS (2011). [MaWil84] Mazur B. and Wiles A., Class fields of abelian extensions of Q, Invent. Math., 76 (1984) 179–330. [NSW08] Neukirch J., Schmidt A., Wingberg K., Cohomology of Number Fields, second edition Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 323, Springer-Verlag, Berlin, (2008). [Ru90] Rubin K., The main conjecture, Appendix to Cyclotomic Fields I and II 2nd ed. (Lang S.), Springer-Verlag, New York (1990). [Wi90] Wiles A., The Iwasawa conjecture for totally real fields, Ann. of Math. Second Ser., 131 (1990) 493–540. 9