Uitbreiding opgaven Vernieuwingstheorie Opgave 1 Laat X 1,X2

Uitbreiding opgaven Vernieuwingstheorie
Opgave 1 Laat X1 , X2 , . . . een rij onafhankelijke en identiek verdeelde stochastische grootheden
zijn met E|X1 |, EX12 < ∞. Laat verder τ een stoptijd voor de rij X1 , . . . zijn met Eτ < ∞. Schrijf
P
Sn = ni=1 Xi , σ 2 = E(X1 − EX1 )2 . Toon aan dat E(Sτ − τ EX1 )2 = σ 2 Eτ .
ˆi = Xi − EXi en toon aan dat E Sˆτ2 =
Hint: Je kunt overgaan op de stochastische variabelen X
ˆ 2 Eτ .
EX
1
Opgave 2 Laat X1 , . . . een rij onafhankelijke en identiek verdeelde niet-negatieve stochastische
variabelen zijn met EXi < ∞. {N (t)}t≥0 zij het vernieuwingsproces geassocieerd met de rij
P
X1 , . . ., en Sn = ni=1 Xi het tijdstip van de n-de vernieuwing. Schrijf F (t) = P{X1 ≤ t} voor de
verdelingsfunctie van X1 en neem aan dat F continu differentieerbaar is naar t.
Definieer R(t) = SN (t)+1 − t de resterende levensduur op tijdstip t (tot de volgende vernieuwing).
Toon aan dat
Rt
0
1{[0,x]} (R(s))ds
,
t
Rx
De verdelingsfunctie Fe (x) =
0
Rt
0
P{R(s) ≤ x}ds
→
t
(1−F (s))ds
,
EX1
Rx
0
(1 − F (s))ds
,
EX1
t → ∞.
x ≥ 0, heet de stationaire resterende levensduurverde-
ling.
Opgave 3 De afdeling ‘spoedopnames’ in een ziekenhuis heeft plaats voor 2 trauma pati¨enten.
Nieuwe pati¨enten die aankomen, wanneer de afdeling vol is (en beide bedden bezet zijn), worden
naar een ander ziekenhuis in de regio gebracht.
Trauma pati¨enten komen aan volgens een Poissonproces, gemiddeld λ per dag. Per dag worden gemiddeld 4,2 pati¨enten geaccepteerd. Daarnaast zijn 16% van de tijd beide bedden bezet.
Bereken λ. Welke percentage van de pati¨enten wordt doorgestuurd naar een ander ziekenhuis?
Hint: je mag aannemen dat zich gemiddeld λT pati¨enten bij de spoedopnames melden gedurende
een stochastische duur van T dagen. Deze tijd T mag in ‘stukjes opgeknipt’ zijn.
Opgave 4 Bij een transportbedrijf komen producten aan volgens een vernieuwingsproces, waarbij de tussenaankomsttijden een eindige verwachting µ hebben. Zodra er M producten zijn,
gaan ze onmiddellijk op transport. Laat X(t) het aantal producten zijn dat op tijdstip t bij het
transportbedrijf op transport wacht.
• Bereken het fractie van de tijd (over een oneindig tijdsinterval) dat er j producten op
transport liggen te wachten. Bereken het gemiddelde aantal producten per tijdseenheid dat
op transport ligt te wachten.
• Het bedrijf wil de partijgrootte M zo kiezen dat de verwachte kosten per tijdseenheid
minimaal zijn. De relevante kosten zijn: C voor transporteren van een partij, en h voor de
opslagkosten per tijdseenheid en per product. Noteer met C(M ) de verwachte transportplus opslagkosten per tijdseenheid. Toon aan dat de waarde van M die C(M ) minimaliseert,
p
p
gelijk is aan arg min C(M ) | M ∈ {b 2C/hµc, d 2C/hµe} .
1
Opgave 5 Ad 3.8: in (4) vervang b) en c) door 2) en 3).
Opgave 6 bf Variant Opgave 3.9. Zelfde formulering van de gegevens.
• Bereken de verwachte kosten per tijdseenheid. Specificeer de gekozen regeneratietijdstippen.
• Stel dat de tijdsduur tot de auto kapot gaat een homogene verdeling op het interval [0, T ]
heeft. Jan vraagt zich af of hij de verwachte kosten per tijdseenheid kan verlagen door zijn
vervangingsstrategie te veranderen. Laat C(s) de verwachte kosten per tijdseenheid zijn bij
vervanging na s jaar, of zodra de auto (binnen s jaar) kapot is. De kosten voor een nieuwe
auto en de additionele kosten bij kapotgaan blijven DK en DC respectievelijk. Bereken C(s).
Voor welke s zijn deze kosten minimaal?
Opgave 7 Variant Opgave 3.10. Volg de beschrijving van het voorraadmodel in het dictaat
opgave 3.10, en neem aan dat s < S. Per order moet de winkelier vaste kosten K betalen, elke
eenheid product kost C, en de prijs is P . Elke klant die wegloopt geeft boetekosten B.
• Leg uit hoe je de gemiddelde verwachte winst per week kunt berekenen. Specificeer hiertoe
geschikt gekozen regeneratietijdstippen.
We nemen nu aan dat P{Dn = x} = αx (1 − α), x = 0, 1, . . ., voor gegeven α ∈ (0, 1). Je kunt
deze verdeling interpreteren als het aantal ‘successen’ (hier x) tot de eerste ‘mislukking’.
• Beargumenteer dat
P{
k
X
i=1
x+k−1
Di = x} = α (1 − α)
.
x
x
k
• Bereken voor de gegeven verdeling de verwachte gemiddelde winst per week.
Uitbreiding opgaven Markov ketens
Opgave 1 Bekijk de volgende vorm van Stelling 4.20.
Laat j ∈ S gegeven zijn. Laat S 0 ⊂ {i | fij = 1} een gesloten verzameling toestanden zijn.
0
i) (µij )i∈S 0 de minimale, niet negatieve oplossing in (R ∪ {∞})|S | van het stelsel vergelijkingen
xi = 1 +
X
pik xk ,
i ∈ S0.
k6=j
ii) Als S 0 een eindige klasse, dan is de oplossing eindig en uniek voor iedere j ∈ S 0 .
iii) Als het stelsel een eindige oplossing heeft, dan is j positief recurrent.
2
a) Bewijs deze stelling.
b) Bedenk een voorbeeld, waarbij bovenstaand stelsel voor gegeven toestand j, een oplossing
heeft met zowel eindige als oneindige waarden.
Opgave 2 Bewijs Gevolg 4.14.
Opgave 3 We beschouwen een productielijn van flesjes bier bij Heineken. De flesjes ondergaan
achtereenvolgens de volgende drie bewerkingen: I de flesjes worden gevuld en van dop voorzien,
II gevulde flesjes worden gestickerd, III de flesjes worden in kratten gepakt. In elk fase is er een
positeive kans op breuk. Een flesje breekt met kans 0,1 tijdens fase I, met kans 0,16 in fase II en
met kans 0,2 in fase III.
Na fases I en II worden niet-gebroken flesjes ge¨ınspecteerd: de kans dat een niet-gebroken
flesje na fase I opnieuw door het proces moet, is 0,1, en derhalve 0,9 dat het flesje door mag naar
fase II. Na fase II is de kans voor een niet-gebroken flesje eveneens 0, 1 dat het stickeren fout is
gegaan en opnieuw moet worden gedaan.
Er zijn teven kostens verbonden aan het uitvoeren van de verschillende fasen. Fase I kost 2
(eenheid), fase II ook 2, en fase III kost 1. Elk gebroken flesje kost 5.
a) De achtereenvolgende fasen waarin een flesje zich bevindt, vormen een Markovketen. Bepaal
de klassen van deze Markovketen en of zij transi¨ent, positief recurrent of nul recurrent zijn.
Bereken de stationaire matrix P ∗ .
b) Bereken de verwachte kosten per flesje.
c) Bereken de verwachte kosten per gebroken flesje.
d) Heineken denkt erover de breukgevoeligheid te verbeteren, door machines aan te schaffen die
de breukkans halveren (de overgangskansen voor een niet-gebroken flesje blijven natuurlijk
dezelfde!). Dit vereist een investering van 106 . Hoeveel flesjes moet Heineken in verwachting
produceren (sic!) om de kosten van deze investering terug te hebben verdiend?
3

Download Report