PORTFOLIO 1 DEEL VIII HOOFDSTUK 2 REKENREGELS

Naam: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
PORTFOLIO
Klas: . . . . . . . . . . . . . . .
Nr.: . . . . .
1
DEEL VIII HOOFDSTUK 2 REKENREGELS VOOR AFGELEIDEN - DEEL I:
VEELTERMFUNCTIES
2 Rekenregels voor afgeleiden - deel I:
Veeltermfuncties
Basis
?
2.1 Rekenregels
1
2.2 Toepassingen
11
19
6
20
27
3
7
15
18
23
26
Verdieping
?
??
??
8
4
13
14
25
17
9
24
5
16
10
Uitbreiding
?
??
21
22
28
29
30
31
Oefeningen bij §2.1
B
Oefening 1. Bereken telkens de afgeleide functie.
f (x) = (x + 1)(x − 1) + x3
(1) y = 2012
(9)
(2) f (x) = 2012x
(10) f (x) = x2012
(3) y = 3x − 2
(11) f (x) = 12x13
(12) f (x) = (x2 − 3)(2x3 + 12x − 1)
(4) f (u) = −12u + 24x
(13) f (t) = t2 (t2 + 4)(3t3 − 11)
(5) f (x) = −12u + 24x
3x
(6) y =
− 17
5
(7) y = (3x − 2)(x + 2)
(14) y = x(x − 12)(2x4 − 5x + 10)
(15) y = (x2 − 7x + 2)3
(16) f (x) = (2x3 − 5x + 1)(x2 − 1)4 − 1218
(8) f (x) = (−2x + 11)(3x + 4)
Oefeningen bij §2.2
K
1
Oefening 2. Gegeven is de veeltermfunctie f (x) = x3 + 3x2 − 7x + 8. Bepaal algebra¨ısch de punten P ∈ graf f
3
waarvoor de raaklijn in P aan de grafiek van f horizontaal is.
B?
Oefening 3. Gegeven is de functie f (x) = (x − 3)(x2 + 1). Bepaal algebra¨ısch de punten P ∈ graf f waarvoor de
5
raaklijn in P aan de grafiek van f evenwijdig is met de rechte a : y = − x + 3.
4
B??
Oefening 4. Gegeven zijn de functies
f (x) =
3 2
x
8
en
g(x) = 4x −
5 3
x
24
Bepaal de punten P (a, f (a)) en Q(a, g(a)) waarvoor de raaklijn in P aan de grafiek van f evenwijdig is met de raaklijn
in Q aan de grafiek van g. Controleer met behulp van je grafische rekenmachine.
V?
Oefening 5. Wanneer men zand vanop een zekere hoogte laat vallen, vormt er zich een kegel waarbij de hoogte altijd
4
gelijk is aan van de straal van het grondvlak. Als de straal van het grondvlak 3m is en toeneemt met een snelheid
3
1
van m/min, hoe snel vergroot dan het volume (in m3 /min) van de hoop zand?
4
B
Oefening 6. Gegeven is de functie f (x) = 3x4 −2x+72 . Bereikt graf f een buigpunt in P (0, 49)? Verklaar algebra¨ısch.
Po-1
B?
V
V?
B?
B
??
B??
K
met 0 ≤ q ≤ 6
(b) Met welke snelheid landt het voorwerp?
(a) Met welke snelheid wordt de vuurpijl afgeschoten?
Po-2
waarbij t de tijd is (uitgedrukt in seconden) en h(t) de hoogte vanaf de grond (uitgedrukt in meter) op tijdstip t.
h(t) = −5t2 + 30t + 80
Oefening 18. Van een hoge brug wordt op tijdstip t = 0 een vuurpijl verticaal omhoog geschoten. De hoogte van de
vuurpijl wordt beschreven door de functie h met voorschrift
(D) Voor x = 2 vertoont zij een relatief maximum.
(A) Voor x =
5
vertoont zij een relatief minimum.
6
1
(B) Voor x = − vertoont zij een relatief maximum.
3
5
(C) Voor x = vertoont zij een relatief maximum.
2
Po-3
Oefening 26 (toelatingsexamen arts Katholieke Universiteit Leuven 2002).
Beschouw de grafiek van de veeltermfunctie f (x) = −2x3 + 5x2 + 4x + 5. Welk van de volgende beweringen is juist?
y = x3 − 3x2 + 2
Oefening 25 (toelatingsexamen Burgerluchtvaartschool).
Bepaal algebra¨ısch het verloop (stijgen en dalen, hol en bol) van de functie
Oefening 24 (toelatingsexamen burgerlijk ingenieur Katholieke Universiteit Leuven).
Bepaal de vergelijking van een parabool y = ax2 + bx + c die raakt aan de rechte y = x in het punt (1, 1).
Winst kan ook negatieve waarden aannemen, dan spreken we van verlies. Bepaal
algebra¨ısch hoeveel eenheden het bedrijf moet produceren om een maximale winst te
maken. Afronden op een eenheid nauwkeurig.
Oefening 17. Een voorwerp beweegt langs een rechte lijn. De afgelegde weg wordt gegeven door s(t) = t2 − 9t + pt
met p ∈ R. Bepaal de waarde van p als we weten dat het voorwerp stilstaat na 8 seconden.
B?
B??
V
Oefening 23. Een bedrijf produceert draadloze fietscomputers. De bedrijfsleiding
wil weten hoeveel computers er per uur moeten geproduceerd worden om winst te
maken. Het verband tussen de winst W (in euro) en de productie x (aantal geproduceerde computers) per uur wordt gegeven door
B?
1
W (x) = − x3 + 8x2 − 24x
2
Oefening 22. De straal van een bol wordt steeds groter. Wat is de straal op het moment dat de toename van de
oppervlakte van de bol in functie van de tijd gelijk is aan de toename van de straal van de bol in functie van de tijd?
(b) Wanneer is de snelheid waarmee de waterspiegel daalt het grootst? Verklaar wiskundig!
(a) Bepaal algebra¨ısch de snelheid waarmee de waterspiegel daalt na 20 minuten.
Hierin is t de tijd in minuten vanaf het moment waarop de kraan opengedraaid wordt en h de hoogte van de waterspiegel
in decimeter.
h(t) = 0, 0008t2 − 0, 32t + 32
Oefening 21. Een cilindervormig vat met hoogte van 32dm heeft een inhoud van 8000 liter en is geheel gevuld met
water. Als men de kraan opendraait stroomt het vat leeg. Tijdens het leegstromen geldt voor de hoogte h van de
waterspiegel op tijdstip t bij benadering de formule
en gebruik dit om de grafiek van f te schetsen. Bepaal tevens de buigraaklijnen (dat wil zeggen, de raaklijnen van de
eventuele buigpunten aan de grafiek van f ).
met 0 ≤ t ≤ 8
4
π(130 − t)3
3
(b) Wat is de betekenis van het getal dat we in (a) berekenden?
(a) Bepaal algebra¨ısch V 0 (25).
V (t) =
Oefening 20. In de jaren zeventig heeft men in Saoedi-Arabi¨e erover gedacht om een
ijsberg van het Zuidpoolgebied naar de havenstad Djebba te slepen om drinkwater
te voorzien. Toen bleek dat het uitvoeren van het plan slecht voor het milieu zou
zijn, is het niet doorgegaan. De haalbaarheid van het plan werd wel onderzocht. Het
grootste probleem was het smelten van het ijs tijdens de tocht. Voor een bepaalde
ijsberg geldt de volgende formule die het verband geeft tussen het volume V van de
ijsberg in m3 en de vaartijd t in dagen
met s de afgelegde weg in kilometer en t de tijd in uur. Wanneer bedraagt de snelheid van de motorrijder 120 kilometer
per uur?
Oefening 19. Een motorrijder maakt een rit van 2 uur. De afgelegde weg van t = 0 tot t = 2 wordt beschreven door
de functie
s(t) = −42t3 + 130t2
V??
V??
B
B
waarbij t de tijd in jaren is en N (t) het aantal stemgerechtigden (in duizenden) na t jaar. Wanneer zal de mate van
de toename van het aantal stemgerechtigden het grootst zijn?
N (t) = 30 + 12t2 − t3
Oefening 16. Men schat dat het aantal stemgerechtigden in een bepaalde stad de volgende jaren als volgt zal verlopen
Bepaal algebra¨ısch bij welke productie de winst maximaal is.
K(q) = q 3
waarbij q het aantal geproduceerde tafels per maand in eenheden van 100 stuks is en p de prijs in 10000 euro. De
meubelfabrikant moet ook rekening houden met de kosten
p = −q 2 + 6q
Oefening 15. Een meubelfabrikant produceert tuinmeubelen. Voor een designtafel
hangt de prijs af van de hoeveelheid q die hij per maand kan produceren
Oefening 14. Een atletiekpiste heeft een omtrek van 400m. Ze bestaat uit twee
rechte stukken en twee halve cirkels.
Bepaal algebra¨ısch de afmetingen van de piste waarvoor de rechthoek binnen de piste
een zo groot mogelijke oppervlakte heeft. Hoeveel bedraagt deze maximale oppervlakte?
Oefening 13. Een kampeerder heeft de toelating gekregen om langs de oever van een rivier een rechthoekig terrein
af te spannen (op die plaats vertoont de rivier geen bochten). Hij heeft een koord van 40m. Bereken algebra¨ısch de
lengte l en de breedte b opdat de oppervlakte zo groot mogelijk zou zijn. Aan de oever van de rivier hoeft geen draad
gespannen te worden.
Marktonderzoek heeft uitgewezen dat, teneinde een volledige afzet te hebben, men de
verkoopprijs p van een doos best instelt op p = 110 − 2q. Bepaal algebra¨ısch hoeveel
dozen men moet produceren opdat de winst maximaal is.
K = q 2 + 10q + 600
Oefening 12. Een bedrijf produceert kalmeringsmiddelen. De totale kosten voor de
productie van q dozen wordt gegeven door
Oefening 11. Voor welke x-waarde(n) is 6x4 − 56x3 + 147x2 maximaal? Bepaal algebra¨ısch en controleer grafisch.
B
V
V?
(b) Bepaal algebra¨ısch alle x-waarden waarvoor de grafiek van f hol/bol is.
(a) Bepaal algebra¨ısch alle x-waarden waarvoor de grafiek van f stijgend/dalend is.
Oefening 8. Gegeven is de functie f (x) = x4 − 6x2 + 8.
(b) Bepaal algebra¨ısch alle x-waarden waarvoor de grafiek van f hol/bol is.
(a) Bepaal algebra¨ısch alle x-waarden waarvoor de grafiek van f stijgend/dalend is.
Oefening 7. Gegeven is de functie f (x) = 2x3 − 6x.
Oefening 9. Gegeven is een tweedegraadsfunctie f (x) = ax2 + bx + c met a, b, c ∈ R en a 6= 0. Bewijs met behulp
b
van afgeleiden dat f een lokaal extremum bereikt in x = − .
2a
Oefening 10. Bepaal het voorschrift!van de vierdegraadsfunctie die voor x = 1 een relatief minimum y = 5 bereikt,
√
3 49
een buigpunt heeft en waarvoor de raaklijn in het punt (0, f (0)) aan de grafiek
wiens grafiek in het punt P
,
3 9
van f horizontaal is.
B
??
B?
B
Oefening 27 (toelatingsexamen arts Katholieke Universiteit Leuven 2000).
Beschouw de grafiek van de veeltermfunctie
f (x) = 3x4 − 10x3 − 12x2 + 12x − 7
Welk van de volgende beweringen is juist?
(A) Voor x = −
1
is haar bolle zijde naar boven gekeerd.
2
(B) Voor x = 0 is haar bolle zijde naar boven gekeerd.
(C) Voor x = 2 is haar bolle zijde naar boven gekeerd.
(D) Voor x = 3 is haar bolle zijde naar boven gekeerd.
V??
Oefening 28 (toelatingsexamen burgerlijk ingenieur Vrije Universiteit Brussel).
Bepaal de waarde(n) van k ∈ R zodat in de vergelijking x2 + kx − (5k − 4) = 0 de som der kwadraten van de wortels
minimaal is.
V??
Oefening 29 (toelatingsexamen burgerlijk ingenieur Vrije Universiteit Brussel).
Toon algebra¨ısch aan dat de vergelijking
x3 − 3x + c = 0
met c ∈ R
geen twee verschillende wortels kan hebben in het interval ]0, 1[. Kan de vergelijking ´e´en wortel hebben in ]0, 1[? Zo
ja, voor welke waarden van c?
U?
Oefening 30 (kenmerk van deelbaarheid door (x − a)n ).
Herhaal het kenmerk van deelbaarheid door x − a
Een veelterm A(x) is deelbaar door x − a als en slechts als A(a) = 0.
Bewijs nu de volgende veralgemening
Een veelterm A(x) is deelbaar door (x − a)n als en slechts als A(a) = 0, A0 (a) = 0, . . . , A(n−1) (a) = 0.
U??
Oefening 31 (tweede afgeleide test). Voor een functie f garandeert f 0 (a) = 0 niet dat f een extremum bereikt
in x = a, want er moet bovendien nog nagegaan worden of de eerste afgeleide f 0 (x) wel van teken wisselt in x = a.
Gewoonlijk doen we dit met behulp van een tekentabel van de eerste afgeleide. Een alternatief is de zogenaamde
tweede afgeleide test:
Zij f een functie zodat f 0 (a) = 0 en f 00 continu is in a.
(1) Als f 00 (a) < 0 dan bereikt f een lokaal maximum in a.
(2) Als f 00 (a) > 0 dan bereikt f een lokaal minimum in a.
(3) Als f 00 (a) = 0 dan kan men hieruit geen conclusie trekken omtrent de aard van het punt P (a, f (a)).
(a) Bewijs de tweede afgeleide test (enkel (1) en (2) bewijzen).
(b) Zoek de minimale en maximale waarden van f (x) = x(12 − 2x)2 door gebruik te maken van de tweede afgeleide
test.
Opmerking. Een punt P (a, f (a)) waarvoor f 0 (a) = 0 noemt men een stationair punt van de grafiek van f .
Po-4
Reflectie
Vul dit overzicht aan telkens je een oefening gemaakt of verbeterd hebt. Zo reflecteer je over je
• leerproces,
• effici¨entie van werken,
• sterke en zwakke elementen in de uitvoering van je oefeningen.
oefening verbeterd? (kruisje)
31/12
99a
X
Waarom is deze oefening gelukt/niet gelukt?
Welke fouten heb ik gemaakt?
• voldoende tijd besteed?
• notatiefout (NF)
• opgave goed gelezen?
• eenheden (EF)
• nauwkeurig gewerkt?
• grafisch rekenmachine (GF)
• modelvoorbeelden bekeken?
• rekenfout (RF)
• opgave begrepen?
• interpretatie van de opgave (IF)
• leerstof voldoende begrepen?
• denkfout (DF)
gelukt: m.b.v. modelvoorbeelden
EF, NF
verder oefenen nodig? (kruisje)
oefening nummer
vb.
datum oefening afgewerkt
Bovendien maak je je reflectie concreet door aan te stippen of je nog verder moet oefenen op het leerstofonderdeel.

Download Report