Thuisopdracht 4 - Mathematisch Instituut

Thuisopdracht 4 Gewone Differentiaalvergelijkingen (2014-2015)
Door: Arjen Doelman, Mathematisch Instituut, Universiteit Leiden.
Opgegeven: donderdag 30 oktober 2014.
Inleveren uitwerkingen: voor het college van donderdag 13 november, 11.15 u.
1. Beschouw voor σ ∈ R het 2-dimensionale stelsel,
0 1
˙~x = d ~x =
~x.
3σ 2σ
dt
(1)
(a) Neem σ = 1. Bepaal de algemene oplossing ~xσ=1 (t) van (1).
~ 0 ) van (1) die aan de beginvoorwaarde
(b) Neem weer σ = 1. Bepaal de oplossing ~xσ=1 (t; X
~
~
~ 0 = (a, b) bestaat
~xσ=1 (0; X0 ) = X0 = (a, b) voldoet (voor zekere a, b ∈ R). Voor welke X
~ 0 )?
de limiet limt→∞ ~xσ=1 (t; X
(c) Neem σ = −4. Bepaal de algemene oplossing ~xσ=−4 (t) van (1).
~ 0 ) de oplossing van (1) zijn die aan de beginvoor(d) Neem weer σ = −4. Laat ~xσ=−4 (t; X
~ 0) = X
~ 0 = (a, b), a, b ∈ R, voldoet. Laat zien dat voor alle ~xσ=−4 (t; X
~ 0 ),
waarde ~xσ=−4 (0; X
~ 0 , geldt dat ~xσ=−4 (t; X
~ 0 ) → (0, 0) als
ofwel: onafhankelijk van de beginvoorwaarde X
t → ∞.
~ 0 ) en x2,σ=−4 (t; X
~ 0 ) de twee componenten van
(e) Neem nogmaals σ = −4. Laat x1,σ=−4 (t; X
2
~ 0 ) ∈ R van (1) zijn en neem aan dat X
~ 0 6= (0, 0).
vectorwaardige oplossing ~xσ=−4 (t; X
x
~ )
(t;X
Bepaal limt→∞ x2,σ=−4(t;X~ 0 ) . Hoe hangt de uitkomst af van de gekozen beginvoorwaarde
1,σ=−4
0
~
X0 = (a, b) 6= (0, 0)?
(f) Neem σ = 0. Bepaal de algemene oplossing ~xσ=0 (t) van (1).
~ 0 ) van (1) die aan de beginvoor(g) Neem weer σ = 0. Bepaal de oplossing ~xσ=0 (t; X
~ 0) = X
~ 0 = (a, b) voldoet. Voor welke X
~ 0 = (a, b) bestaat de limiet
waarde ~xσ=0 (0; X
~ 0 )? Wat is deze limiet?
limt→∞ ~xσ=0 (t; X
~ 0 ) als de oplossing
(h) Beschouw nu het algemene geval σ ∈ R en definieer wederom ~xσ (t; X
~ 0) = X
~ 0 . Voor welke σ ∈ R geldt, onafhankelijk van de
van (1) waarvoor geldt dat ~xσ (0; X
~ 0 , dat de limiet van ~xσ (t; X
~ 0 ) bestaat als t → ∞?
gekozen beginvoorwaarde X
~ 0 ) bestaat (zie (h)).
(i) Beschouw de situatie als in (h) en kies σ zodaning dat limt→∞ ~xσ (t; X
~ 0 ) en x2,σ (t; X
~ 0 ) de twee componenten van vector ~xσ (t; X
~ 0 ) ∈ R2 zijn en
Laat x1,σ (t; X
~0 =
neem aan dat X
6 (0, 0). Voor welke waarden van σ bestaat limt→∞
2. Som 15 uit paragraaf 3.12 van het boek op pagina’s 367-368.
~ 0)
x2,σ (t;X
~ 0) ?
x1,σ (t;X

Download Report