TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN
Faculteit Wiskunde en Informatica
Tentamen Basiswiskunde, 2XL03, woensdag 22 januari 2014, 14.00–17.00 uur.
De antwoorden en uitwerkingen van de opgaven dienen duidelijk geformuleerd en helder
opgeschreven te worden. Antwoorden moeten onderbouwd zijn.
Het tentamen bestaat uit 12 opgaven.
U mag g´e´en gebruik maken van een laptop, een grafische of programmeerbare rekenmachine of schriftelijk materiaal.
U mag ter controle een eenvoudige rekenmachine gebruiken.
1. Geef alle oplossingen van de ongelijkheid x ln2 (x) > x.
2. Schets in het
vlak de verzameling van punten (x, y) die voldoen aan de onge platte
2
lijkheid y ≥ x − 1.
 2
 x , x≥0
3. Beschouw de functie f gedefinieerd door f (x) =
 1 , x<0
x
(a) Bepaal het bereik R(f ) van de functie f .
(b) Laat zien dat de functie f eenduidig (one-to-one) is.
(c) Bepaal de inverse f −1 van de functie f .
4. Beschouw de kromme C, gegeven door de vergelijking x2 − exy + y 2 = 1 en het punt
P (0, 1) op de kromme C.
(a) Bepaal een vergelijking van de raaklijn aan de kromme C in het punt P .
(b) Bepaal een vergelijking van de lijn loodrecht op de raaklijn uit onderdeel (a)
door het punt (0, 0).
√
d
arccos( 1 − x2 ) onder de veronderstelling dat x
dx
alleen positieve waarden aanneemt.
Notatie: arccos = cos−1
5. Vereenvoudig de uitdrukking
6. Bepaal alle oplossingen x van de vergelijking sin(x) = cos(2x) .
zie volgende pagina
1
Tentamen Basiswiskunde, 2XL03, woensdag 22 januari 2014, 14.00–17.00 uur
7. Laat met behulp van de middelwaardestelling zien dat voor x ∈ R met x > 0 geldt
dat
ln(1 + arctan(x))
< 1.
x
√
8. Beschouw de functie f met f (x) = 4 x voor x ≥ 0 .
√
(a) Benader 4 1.1 met behulp van de linearisatie van f rond a = 1 .
√
(b) Laat zien dat het verschil van 4 1.1 en de benadering uit onderdeel (a) in
absolute waarde kleiner dan 10−3 is.
π 9. (a) Bereken van de functie f met f (x) = cos2 x het Taylorpolynoom van orde
2
2 rond a = 1.
π
cos2 ( x)
2
(b) Bereken lim
.
x→1 ln(1 + 2(x − 1)2 )
Z
√
1/ 2
10. Bereken de integraal
0
Z
11. Bereken de integraal
1
arcsin(x)
·√
dx .
2
1 + arcsin (x)
1 − x2
2
x2 (2 − x)5 dx .
0
Z
12. Laat zien dat
0
1
e−1
ex
dx ≥
.
4
2+x
3
Voor de onderdelen van de opgaven kunnen de volgende aantallen punten worden behaald:
Opgave
Opgave
Opgave
1:
2:
3a:
3b:
3c:
Opgave 4a:
4
4
2
2
2
2
punten
punten
punten
punten
punten
punten
Opgave
Opgave
Opgave
Opgave
Opgave
4b:
5:
6:
7:
8a:
8b:
2
4
4
4
2
2
punten
punten
punten
punten
punten
punten
Opgave
Opgave
Opgave
Opgave
9a: 2 punten
9b: 2 punten
10: 4 punten
11: 4 punten
12: 4 punten
Het cijfer voor dit tentamen (2XL03) wordt bepaald door het totaal der behaalde punten
van dit gedeelte door 5 te delen en tot een decimaal achter de komma af te ronden.
Het cijfer voor het vak Basiswiskunde 2DL03 is voor 90 % gebaseerd op dit tentamen
(2XL03) en voor 10 % op de ingangstoets (2DA00) van dit jaar.
2

Download Report