Uitwerkingen tentamen Basiswiskunde 2014 Opgave 1. Het

Uitwerkingen tentamen Basiswiskunde 2014
√
Opgave
1. Het volstaat om√te bewijzen dat 13 niet rationaal is.
als
√
√ Immers,
m
2 13 − 1 = ab , dan is ook 13 = a+b
rationaal.
Stel
dus
dat
13
=
met
2a
n
ggd(m, n) = 1. Dan is 13n2 = m2 , zodat 13 | m2 . Het Lemma van Euclides geeft
dan 13 | m, dus m = 13k. Invullen geeft 13n2 = 132 k 2 , dus n2 = 13k 2 . We zien
dat 13 | n2 en dus 13 | n. Tegenspraak.
Opgave 2. We passen inductie toe. De uitspraak is duidelijk voor n = 1. Stel nu
dat hij voor zekere n geldt en bekijk
(n + 1)3 − (n + 1) = (n + 1) (n + 1)2 − 1 = (n + 1)(n2 + 2n) = n3 + 3n2 + 2n
= n3 − n + 3n2 + 3n = n3 − n + 3n(n + 1).
Merk nu op dat n(n + 1) altijd even is (want n of n + 1 is dat), dus 3n(n + 1) is
deelbaar door 6. Het resultaat volgt.
Opgave 3. Merk op dat z · z¯ = |z|2 ∈ R≥0 .
(a) Nee: neem z1 = 1 en z2 = −1.
(b) Het beeld is R≥0 .
(c) Er geldt f −1 (A) = {z : |z| ∈ [0, 1]}, de gesloten bol met straal 1 in C.
Opgave 4.
(a) Nee: neem X = {0} = Z en Y = {0, 1}, dan is g ◦ f altijd injectief en g niet
(ongeacht wat f is, voor g is slechts 1 mogelijkheid).
(b) Voor elke y ∈ ran(f ) is er precies 1 element x met f (x) = y. Op ran(f )
kunnen we dus defini¨eren h(y) = x. Definieer h daarbuiten willekeurig.
Opgave 5.
(a) Reflexief: neem λ = 1. Symmetrisch: neem 1/λ. Transitief: product van de
λ’s.
(b) Halflijnen vanuit de oorsprong: E(a,b) = {(λa, λb) : λ ∈ R>0 }. Voor (1, 1)
krijgen we x = y en voor E(1,0) de lijn y = 0.
(c) Een cirkel met straal 1.
Opgave 6. Stel dat hij aftelbaar is en schrijf de functies in een lijst:
f1 = f1 (1), f1 (2), f1 (3), . . .
f2 = f2 (1), f2 (2), f2 (3), . . .
f3 = f3 (1), f3 (2), f3 (3), . . .
..
.
Definieer nu g(n) = fn (n) + 1. Dan kan deze niet in de lijst voorkomen, want als
g = fm , dan fm (m) + 1 = g(m) = fm (m). Tegenspraak.

Download Report