GROEPENTHEORIE 2 Proeftentamen Maak dit proeftentamen pas

GROEPENTHEORIE 2
Proeftentamen
Maak dit proeftentamen pas nadat je de hele stof hebt bestudeerd. Geef jezelf hiervoor
drie uur de tijd en gebruik geen syllabus of andere hulpmiddelen.
Opgave 1. Zij G een groep met de eigenschap dat (gh)5
h ∈ G. Laat
M = g ∈ G g5 = e ,
N = g5
= g 5 h5 voor alle elementen g,
g∈G .
(i) Bewijs dat M en N normaaldelers zijn van G en dat G/M ∼
= N.
Gegeven is nu dat de samenstelling
M ֒→ G →
→ G/N
een isomorfisme is.
(ii) Bewijs dat M ∩ N = {e} en dat mn = nm voor alle m ∈ M en n ∈ N .
(iii) Bewijs dat G ∼
= M × N . Als G bovendien eindig is, bewijs dat de orde van N niet
deelbaar is door 5.
Opgave 2. Beschouw de groep G = (Z/28Z)∗ . Als a een geheel getal is dan schrijven
we a voor de restklasse van a modulo 28.
(i) Laat zien dat de orde van G gelijk is aan 12.
m
n
(ii) Bewijs dat de afbeelding f : Z × Z → G die wordt gegeven door f (m, n) = 5 · 15
een surjectief homomorfisme is.
(iii) Bepaal de kern van f .
Opgave 3.
(i) Bepaal het aantal homomorfismen van D5 naar R∗ .
(ii) Bepaal het aantal homomorfismen van D5 naar S4 .
(iii) Geef een injectief homomorfisme van D5 naar S5 .
1
Opgave 4. Zij G een groep die werkt op een verzameling X.
(i) (Theorievraag.) Laat x ∈ X. Geef de definitie van de stabilisator Gx van x en van
de baan G · x van x.
(ii) (Theorievraag.) Bewijs dat er een bijectie bestaat tussen G/Gx en G · x.
In de rest van de opgave beschouwen we de regelmatige zeshoek in R2 met hoekpunten
de zes punten P1 , . . . , P6 gegeven door Pj = cos(2πj/6), sin(2πj/6) .
P2
P1
P3
P6
P4
P5
Zij D6 de di¨edergroep van orde 12; dit is de symmetriegroep van deze zeshoek. Zij X de
verzameling van alle driehoeken ∆ ⊂ R2 waarvan de hoekpunten in {P1 , . . . , P6 } liggen.
Je mag zonder verdere toelichting gebruiken dat X uit 63 = 20 elementen bestaat. De
groep D6 werkt op de verzameling X. (Als g ∈ D6 en ∆ ∈ X dan bedoelen we met
g · ∆ = g(∆) gewoon het beeld van ∆ onder de transformatie g.)
(iii) Bepaal hoeveel banen de werking van D6 op X heeft en bepaal van elke baan de
lengte.
Opgave 5. Zij α een automorfisme van de groep S5 .
(i) Bewijs dat α cykeltypes behoudt; met andere woorden: voor alle σ ∈ S5 heeft α(σ)
hetzelfde cykeltype als σ.
(ii) Laten σ = (n1 n2 ) en τ = (m1 m2 ) twee 2-cykels in S5 zijn. Bewijs:
στ heeft orde 1
⇔
{n1 , n2 } ∩ {m1 , m2 } bestaat uit 2 elementen,
στ heeft orde 2
⇔
{n1 , n2 } ∩ {m1 , m2 } bestaat uit 0 elementen,
στ heeft orde 3
⇔
{n1 , n2 } ∩ {m1 , m2 } bestaat uit 1 element.
(iii) Bewijs dat er een permutatie β ∈ S5 bestaat zo dat
α (1 2) = β(1) β(2) ,
α (3 4) = β(3) β(4) ,
α (2 3) = β(2) β(3) ,
α (4 5) = β(4) β(5) ,
en laat zien dat α het inwendige automorfisme is dat wordt gegeven door β.
(iv) Bewijs dat de automorfismengroep van S5 isomorf is met S5 .
2

Download Report