pdf formaat

Jo van den Brand
10 oktober 2013
[email protected]
Inhoud
• Speciale relativiteitstheorie
• Viervectoren
• Energie en impuls
• Quantumfysica
• Formalisme
• Verstrooiing
• Elementaire deeltjes en
krachten
• Symmetrie en
wisselwerkingen
• Behoudwetten, quarkmodel
• Symmetriebreking
• Maandag 7 april 2014
• Elementaire deeltjes en
kosmologie
• Donderdag 17 april 2014
• Standaard model
• Maandag 24 maart 2014)
1
Klassieke mechanica
• Vectoren
– Positie
– Snelheid
versnelling
• Wetten van Newton
– Eerste wet: indien er geen kracht werkt, dan
verandert de bewegingstoestand niet
– Tweede wet
– Derde wet: actie en reactie
• Andere relaties – behoudswetten
– Arbeid
en kinetische energie
– Impuls
– Baanimpulsmoment
Newton 1642 - 1727
• Relativiteitsprincipe
– Geen verschil tussen rust en beweging
• met constante snelheid
Fotoelektrisch effect
• Een foton maakt elektron vrij
– Werkfunctie f
– Maximum kinetische energie elektron, Km
• Support voor fotonhypothese
– Onafhankelijk van intensiteit licht
– Afhankelijk van frequentie licht
• Er geldt Km = eV0
2
Compton effect
• Een foton botst op een vrij elektron
Compton 1927
– Compton verschuiving (zie 3.7.10)
– Handiger met SRT
• Constante van Planck in de formule
– Biljarten met fotonen en elektronen
– Foton wordt behandeld als een deeltje
Spectra
• Licht is elektromagnetische straling
• Gekarakteriseerd door
– Golflengte (430 – 690 nm)
– Frequentie
– Snelheid
• Maar ook
– Energie
– Impuls
• Met behulp van een spectrometer kan men een
spectrale decompositie maken: welke frequenties
bouwen het licht op
• Sommige lichtbronnen hebben een continue spectrum
– De zon
– Een gloeilamp
3
Atomaire spectra
•
•
•
•
Een atoom bestaat uit een kern en een aantal elektronen
Een kern bestaat uit protonen en neutronen (e.g. isotopen)
Atoom is elektrisch neutraal en bevat evenveel elektronen als protonen
Elektronen zijn geordenend in zogenaamde banen – stationaire
quantumtoestanden
• Deze toestanden hebben verschillende discrete energieen
• Als elektronen van toestand veranderen, dan wordt er straling
uitgezonden of geabsorbeerd
• De spectra zijn discreet
Waterstof
Helium
Absorptiespectra
•
•
•
•
Stel, twee stationaire toestanden zijn met energie E1 en E2
Er geldt E1 > E2
Bij overgang van toestand 1  2 wordt er een foton uitgezonden
Bij overgang van toestand 2  1 wordt er een foton geabsorbeerd
bron
Atomair waterstof
materiaal
Absorptielijn
Straling van de zon
4
Elementen in de zon
• Identificeer elementen in sterren
• Helium ontdekt in spectrum van de zon
– Pierre Janssen & Norman Lockyer, 1868
– 24% van de masa-abondantie in Universum
• Roodverschuiving geeft snelheid van
sterrenstelsels
Spectra van het melkwegstelsel
5
Oude atoommodel van Bohr
• Quantumpostulaten
– Atoom kan bestaan in stationaire toestanden
• In deze toestanden zendt het atoom geen
straling uit
– Atoom zendt enkel straling uit als het van
toestand verandert. De frequentie van de
straling wordt gegeven door
Bohr 1922
• Rutherford had ontdekt dat het atoom
bestaat uit een zware kern waaromheen
elektronen cirkelen
Oude atoommodel van Bohr
• Tweede wet van Newton
– Coulombkracht en centripetale kracht
– Kinetische energie van het elektron
– Potentiële energie
– Totale energie
• Criterium voor quantisatie
– Baanimpulsmoment is discreet
• L heeft dezelfde eenheid als h
6
Oude atoommodel van Bohr
• We vinden
– Met
geeft dit
– Baanimpulsmoment
en
– Mogelijke stralen
• Energieniveaux
• Beperkte precisie (0,02%); geen info over intensiteit van spectraallijnen; He
Materiegolven
• Licht bestaat uit discrete eenheden (fotonen) met
deeltjesachtige eigenschappen (energie, impuls) die
gerelateerd zijn aan golfachtige eigenschappen
(frequentie, golflengte)
• In 1923 postuleerde Prins Louis de Broglie dat gewone
materie golfachtige eigenschappen kan hebben,
waarbij de golflengte λ op dezelfde manier met de
impuls p in verband staat als bij licht
– Golflengte hangt van de impuls af
– Niet van de grootte van het object

h
p
De Broglie,
1929
Planck’s constante
h  6.63 1034 Js
• Voorspelling: diffractie en interferentie van
materiegolven
7
De Broglie golflengten
• Golflengte van een elektron met 50 eV kinetische
energie
p2
h2
h
K

 
 1.7 1010 m
2
2me 2me 
2me K
• Golflengte van een stikstof molecuul op
kamertemperatuur
3kT
K

2
, Mass  28m u
h
 2.8  1011 m
3MkT
• Golflengte van een rubidium(87) atoom op 50 nK

h
 1.2 106 m
3MkT
Davisson-Germer experiment
• Het Davisson-Germer experiment:
– verstrooiing van een bundel elektronen aan
een Ni kristal
θi
Constructieve interferentie als
a cos i
a(cos  r  cos i )  n
Davisson
1937
G.P. Thomson
1937
θr
a
a cos  r
– Bij een vaste hoek worden scherpe pieken in
intensiteit gevonden als functie van de
elektron energie: interferentie!
8
Twee-spleten experiment
• Oorspronkelijk uitgevoerd door Young (1801)
om het golfkarakter van licht te demonstreren.
Het wordt nu gebruikt voor onder andere
elektronen, neutronen, He atomen
d sin   n
– Maxima

d
Invallende coherente
bundel van deeltjes
(of licht)
  
θ
y
n
d
d sin 
D

d
y  D
D
 y 
d
Alternatieve
detectie
methode: scan
een detector
langs het scherm
en registreer het
aandeel deeltjes
dat op elke
positie arriveert.
Detectie scherm
Twee-spleten experiment
Waarom niet 2x single-slit patroon?
9
Meetresultaten
• Interferentiepatronen kunnen niet met
klassieke fysica verklaard worden
– Demonstratie van de hypothese van
materiegolven
He atoms: O Carnal and J Mlynek
1991 Physical Review Letters 66
2689-2692
C60 molecules: M
Arndt et al. 1999
Nature 401 680-682
Met multiple-slit grating
Neutrons, A Zeilinger et al. 1988
Reviews of Modern Physics 60
1067-1073
Zonder grating
Meetresultaten
• Single elektron events
– Twee-spleten experiment
• 10 Hz, 50 kV, 120.000 km/s, 1 m lengte
– www.hitachi.com
• Golf of deeltje?
10
Interpretatie
• Deeltjesflux kan gereduceerd worden, zodat er steeds slechts
een deeltje per keer op het scherm aankomt
– We zien dan nog steeds interferentie banden!
– Elk deeltje gaat door beide spleten tegelijkertijd
• Het golfkarakter kan gedemonstreerd worden voor een enkel
object
– Een materie-deeltje interfereert met zichzelf
• Als we proberen te ontdekken door welke spleet het deeltje
gaat, dan verdwijnt het interferentie patroon!
– We kunnen golf- en deeltjeskarakter niet tegelijkertijd waarnemen
• Richard Feynman: “…a phenomenon which is impossible,
absolutely impossible, to explain in any classical way, and which
has in it the heart of quantum mechanics.
In reality it contains the only mystery.”
Toepassing
• Elektronenmicroscoop
– Gebaseerd op golfkarakter van
elektronen
– Gewone microscoop kan details
zien ter grootte van de
golflengte van het licht
– De elektronen kunnen versneld
worden tot hoge energie en
hebben dan een kleine
golflengte
• Vergroting bijvoorbeeld 50
miljoen keer
11
Staande golven
• Lokalisatie van een golf
– Staande golven op een snaar
– Golflengte gequantiseerd
– Quantumgetal n
– Frequenties gequantiseerd
• Golfsnelheid v
• Lokalisatie leidt tot quantisatie
Opgesloten foton
• Opgesloten foton
– Twee perfecte spiegels op afstand L
– Licht is een elektromagnetisch veld E
• Er geldt
• E = 0 voor x = 0 = L
– Energiedichtheid
– Elk foton heeft energie
• Waarschijnlijkheid om foton aan te
treffen evenredig met het kwadraat van
de veldamplitude
– Waarschijnlijkheidsdichtheid
• Kans om deeltje aan te treffen tussen positie
x en x + dx
– Er geldt
• Energie
Nulpuntsenergie! E1 ≠ 0
12
Les 2
Waarschijnlijkheid
• Aantal studenten in een kamer
– Histogram van leeftijden
– Totaal aantal
– Kans dat iemand 15 jaar oud is?
– Er geldt
– Meest waarschijnlijke leeftijd?
• 25 jaar
– Mediane leeftijd?
• 23 jaar (7 ouder, en 7 jonger)
– Gemiddelde leeftijd?
• Algemeen: gemiddelde van functie
13
Waarschijnlijkheid
• Vergelijk 2 verdelingen
– Dezelfde mediaan, gemiddelde, meest
waarschijnlijke waarde, en aantal elementen
– Verschillende spreiding
– Maat voor spreiding
– Echter
• Variantie
Waarschijnlijkheidsdichtheid
• Waarschijnlijkheidsdichtheid
– Kans dat iemand 18 jaar, 243 dagen, 11.928
seconden, 874.231 microseconden oud is?
– Kans op leeftijd tussen 20 en 25 jaar?
• Er geldt klassiek
Quantummechanica
bijvoorbeeld
14
Hilbertruimte
• Vector en functie
– Vector a: voor enkel waarde van index i = 1, 2, … hebben we een component ai
– Functie f: voor enkel waarde van argument x, hebben we een functiewaarde f(x)
• Operaties
– Optellen vectoren a + b = c en optellen functies f(x) + g(x) = h(x)
– Inproduct
– Lengte van een functie
– Parallelle functies
Orthogonale functies
• Definitie van Hilbertruimte
– Lineaire vectorruimte met inproduct en oneindig aantal dimensies
– Hilbertruimte is compleet
• Toestand van een systeem
– Alle informatie wordt gegeven door golffunctie
– We spreken ook over de toestandsvector
– Toestandsvector leeft in de Hilbertruimte
Basis in Hilbertruimte – I
• Verzameling van alle polynomen P(N)
– Op interval -1 < x < 1
• Kies als basis
– We hebben nu een N-dimensional vectorruimte
– Deze basis is niet orthonormaal, want
• Orthonormaliseer met Gram-Schmidt procedure
– Dat levert de Legendre polynomen
• Vergelijk met vectoren
15
Basis in Hilbertruimte – II
• Verzameling van alle goniometrische functies T(N)
– Op interval -1 < x < 1
• Kies als orthonormale basis
• Hierop berust Fourieranalyse
– We kunnen functies beschrijven door sin(npx) en cos(npx) op te tellen
Matrices en operatoren
• Matrix is een getallenschema
– Element mij voor rij i en kolom k
• Vermenigvuldiging van matrix M met vector a
– Dit levert een nieuwe vector b
– Deze actie is lineair
• Operator A
– Genereert uit een functie f een andere functie
– Actie is lineair
16
Eigenfuncties en eigenwaarden
• Actie van operator A
– Vergelijkbaar met die van een matrix
– Hij strekt of krimpt de functie f en/of roteert deze functie
• In sommige gevallen is er geen rotatie
– Dan geldt
– Dit zijn de eigenfuncties en eigenwaarden van operator A
• Hermitische operator A
– Hiervoor geldt
voor alle functie f en g
– Bijzondere en belangrijke eigenschappen
• De eigenwaarden zijn reëel
• De eigenvectoren (die horen bij verschillende eigenwaarden) zijn orthogonaal
• De eigenvectoren zijn compleet
Axioma’s van de quantummechanica
1.
Toestand van een systeem wordt door toestandsfunctie
2.
Iedere fysische grootheid correspondeert met een hermitische operator
3.
Een toestand van een systeem, waarin een fysische grootheid A een
nauwkeurig bepaalde (zogenaamde scherpe) waarde heeft, moet door een
eigenfunctie van de corresponderende operator beschreven worden.
De waarde van de grootheid A in deze toestand is de bijbehorende
eigenwaarde a.
Als de fysische grootheid A, gekenmerkt door de operator A, voor een
systeem dat beschreven wordt door de toestandsfunctie geen scherp
bepaalde waarde heeft, dan kan men toch een verwachtingswaarde
aangeven, namelijk
4.
voorgesteld
Indien de metingen aan het systeem in dezelfde toestand meerdere malen
worden uitgevoerd, dan vindt men voor de gemiddelde waarde van A precies
de waarde < A >.
17
Toelichting axioma’s
• De toestandsfunctie geeft alle informatie, maar is zelf niet meetbaar
– Het is een vector in de Hilbertruimte
• De verwachtingswaarde voor observable A en toestand
– Verwachtingswaarden moeten reëel zijn, dus geldt
– Dit is equivalent met
– Als een operator hieraan voldoet, dan is dat een Hermitische operator
– Dan geldt ook (voor bewijs, zie dictaat)
Axioma’s van de quantummechanica
• Wanneer is het resultaat van een meting uniek?
– Beschouw spreiding
– Uniek resultaat betekent
met
– Als het systeem zich in een eigentoestand bevindt, dan levert een meting als uniek resultaat
de eigenwaarde a die hoort bij deze eigentoestand
• Fysische operator heeft een spectrum van eigenwaarden
– Resultaat van metingen zijn de eigenwaarden an
– Na de meting wordt de toestand beschreven door eigenfunctie
– De eigenfuncties zijn compleet
– Voor een willekeurige toestand geldt
18
Operatoren van positie en impuls
• Operatoren kunnen niet algemeen afgeleid worden
– Analogie met klassieke mechanica van Hamilton en Lagrange
• Operator x voor positie x
• Operator px voor impulscomponent px
– Toestanden met scherpe impuls
– Reële deel is een harmonische golf
– Golflengte zoals vereist door de Broglie
– Definieer golfgetal
• Toestand met scherp bepaalde positie, bijvoorbeeld x = a
– Oplossing noemen een delta functie
• Als
geen delta-functie
– Waarschijnlijkheidsverdeling
Onzekerheidsrelaties
• Beschouw golffunctie
– Superpositie van golven
– Golfpakketje van een deeltje
– Gemiddelde impuls px
px
p
• Er geldt
• Voor de breedte geldt
– Onzekerheidsrelatie van Heisenberg
• Onzekerheid zit ingebouwd in formalisme
19
Commutatierelaties
• Laat operatoren voor positie en impuls werken op een functie f
– en verwissel de volgorde ...
• Het verschil bedraagt
– Dit geldt voor elke functie f
• We vinden de operatorvergelijking
– Het is principieel onmogelijk om geconjugeerde variabelen tegelijkertijd scherp te bepalen
– Dit geldt ook voor de andere component, voor energie en tijd, voor impulsmoment
componenten onderling, etc.
– Voor verdieping zie sectie 4.5
Schrödingervergelijking
• Impulsoperator
– Vectoroperator die een gradiënt neemt
• Operator voor kinetische energie
Erwin Schrödinger
1933
– Laplace-operator
• Operator voor potentiële energie
• Hamiltoniaan
• Operator voor totale energie
• Operatorvergelijking
• Schrödingervergelijking
20
Energieoperator
• Energieoperator
• Eigenfuncties
– Harmonische functies met hoekfrequentie
– Materie- en lichtgolven met frequentie n hebben energie
• Toestandsfunctie met scherpe energie
– Correspondeert met een harmonische trilling op ieder punt in de ruimte
– Het is een staande golf!
– Om de golf te karakteriseren, dienen we de ruimtelijke verdeling van de amplitude te weten
• Tijdonafhankelijke Schrödingervergelijking
– Ook wel
Waterstofatoom
• Schrödingervergelijking
– Tijdonafhankelijk
– Coulombpotentiaal
– Sferische coördinaten
– Operator
• Dit geeft
–
Oplossen via scheiden van variabelen
–
Dit bevat Laguerre polynomen en sferisch harmonische functies
–
Quantumgetallen n, l en m
21
Waterstofatoom
• Energieniveaus
• Overige effecten:
–
–
–
–
Relativistische correctie -9,045 × 10-4 eV
Spin-baan koppeling – fijnstructuur Zn-3 × 10-4 eV
Spin-spin koppeling – hyperfijnstructuur 21 cm lijn
Darwin term 2nEn2/mec2, Lamb-verschuiving 1 GHz
Les 3
22
Harmonische oscillator
• Systeem wordt verplaatst uit evenwicht
F  ma  m
– Toenemende tegenwerkende kracht
d 2x
 kx
dt 2
– Harmonische oscillaties rond evenwichtspunt x(t )  A cos t   
k 2p

 2pn
m T
1 2
– Potentiële energie V ( x)  kx
2
• Frequentie

x
z
Quantum harmonische oscillator
pˆ 2 1
 m 2 xˆ 2
• Hamiltoniaan Hˆ 
2m 2

k
 k  m 2
m
1
V ( x)  kx 2
2
• Schrödingervergelijking Hˆ   E 
 m  

 e
n
2 n!  p 
1

En    n  
2

– Golffuncties  n ( x) 
– Energieën
1
1/4
m x 2
2
 m 
H n 
x  , n  0,1, 2,...


H 0 ( x)  1
H1 ( x )  2 x
H 2 ( x)  4 x 2  2
H 3 ( x)  8 x 3  12
H 4 ( x)  16 x 4  48 x 2  12
H 5 ( x)  32 x 5  160 x 3  120 x
H 6 ( x)  64 x 6  480 x 4  720 x 2  120
H 7 ( x)  128 x 7  1344 x5  3360 x3  1680 x
23
Huiswerk: opgave 6.5.5
24
Huiswerk: opgave 6.5.5
Huiswerk: opgave 6.5.5
x
25
Huiswerk: opgave 3.5
Huiswerk: opgave 3.5
26
Huiswerk: opgave 3.5
x
Huiswerk: opgave 3.5
27
28
Huiswerk: opgave 6.5.5
Voor n = 1 vinden we
Huiswerk: opgave 6.5.5
29
Werkzame doorsnede
Telsnelheid A + B  C + D
Reactiekans: effectief oppervlak / totaal oppervlak
Najaar 2009
Jo van den Brand
59
Voorbeelden
Diverse partiële werkzame doorsneden: fotoelektrisch effect, Compton verstrooiing, paarproductie
Foton-koolstof/lood
n-238U
Najaar 2009
Jo van den Brand
30
Voorbeelden
Hoe groot is het proton?
𝜋𝐷2 = 0.1 × 10−28 𝑚2
n-238U
Waarom toename bij
hogere energie?
Najaar 2009
Jo van den Brand
Kernsplijting
n-235U
n-238U
31
Zwakke wisselwerking
Neutrino verstrooiing
Najaar 2009
Jo van den Brand
Voorbeeld: Rutherford verstrooiïng
Marsden en Geiger
rond 1910
Alfa deeltjes: Tb = 4 – 7 MeV
Ernest Rutherford
1908
Coulomb potentiaal
Najaar 2009
Jo van den Brand
64
32
Rutherford verstrooiïng
Coulomb potentiaal
Klassieke mechanica
Werkzame doorsnede
Najaar 2009
Voor bb < b < bb+dbb
Jo van den Brand
65
Gouden regel van Fermi
In deeltjesfysica werken we voornamelijk met interacties
tussen deeltjes en verval van deeltjes: overgangen tussen
toestanden
Overgangswaarschijnlijkheid volgt uit Fermi’s Golden Rule
Enrico Fermi
1938
Amplitude
bevat alle dynamische informatie en
berekenen we met de Feynman regels. Dit
bevat de fundamentele fysica.
Najaar 2009
Faseruimte
bevat alle kinematische informatie en hangt af
van massa’s, energieën en impulsen
Jo van den Brand
66
33
Verstrooiingstheorie
• Beschouw reactie
• Gouden regel
• Beperk discussie tot
• In zwaartepunt
– Integreer over dp2 vector
(slide 103 van SRT dE = b cdp = vdp)
– Integreer over dp1
– Impuls in de eindtoestand
Verstrooiingstheorie
• Eerste Born-benadering
• Vlakke golven
• Golfgetal
en
Fourier transformatie:
en potentiaal
• Aanname: sferische symmetry
– Afgeschermde Coulombpotentiaal
– Afscherming in de orde van atoomstraal
– Matrixelement
– Impulsoverdracht
34
Verstrooiingstheorie
• Werkzame doorsnede
• Matrixelement
• Kinematica van elastische verstrooiing

Met
in het zwaartepunt
• Elastische verstrooiing
• We vinden weer Rutherford formule
• Scheidend vermogen

We vinden direct
Rutherford verstrooiïng
Geldig voor b > bmin=Ra + Rt ofwel
Meet interactieafstand bmin versus A
Eigenlijk bmin Ra + Rt + Rs
Najaar 2009
Jo van den Brand
70
35
Rutherford verstrooiïng
Plot bmin versus A1/3
Er geldt
Goede beschrijving dus
- Coulombwet geldig op
korte afstand (femtometers)
- Sterke WW korte dracht
- Alle lading zit in kleine bol
Rutherford vond
Najaar 2009
71
Jo van den Brand
Elastische elektronen verstrooiing
• We hadden
• Uitgebreide ladingsverdeling
–
Ladingsdichtheid r(r)
–
Fourier getransformeerde
–
Modelonafhankelijke meting van de ladingsverdeling
Robert Hofstadter
1961
36
Elastische elektronen verstrooiïng - Voorbeelden
Elektronen
aan lood:
- 502 MeV
- 208Pb spinloos
- 12 decaden
Model-onafhankelijke informatie over
ladingsverdeling van nucleon en kernen
Najaar 2009
73
Jo van den Brand
Elastische elektronen verstrooiïng - Voorbeelden
Elektron-goud verstrooiing
- energie: 153 MeV
ladingsverdeling:
Najaar 2009
Jo van den Brand
74
Ladingsdichtheid is constant!
37
Elastische elektron-proton verstrooiïng
Proton structuur
- niet puntvormig
- geen Dirac deeltje (g=2)
- straal is 0.8 fm
- exponentiele vormfactor
Ladingsverdeling van het neutron
n= p p +
n p0 +...
Experiment
- 720 MeV elektronen
- elektronpolarisatie 0.7
- deuterium atoombundel
- D-polarisatie 0.7
- elektron-neutron coincidentie meting
38
Opmerkingen
• Klassieke: alle problemen zijn deterministisch
• Quantummechanica:
•
•
•
Golffunctie ingevoerd
Summatie over amplituden met indentieke eindtoestanden
Niet-relatistisch domein
• Eerste Born-benadering
•
Hogere-orde correcties mogelijk
• Quantumveldentheorie
•
•
•
•
Volledig relativistisch: QED, QCD, EW
Deeltjesaantal is niet bekend: sommeer amplituden over alle mogelijkheiden
Van Hilbert- naar de Fock-ruimte
We gebruiken Feynmandiagrammen
39