重力と乱流 慶應義塾大学 村田佳樹 重力乱流？ 乱流現象 Navier-Stokes方程式 𝜕𝑢 1 + 𝑢 ⋅ 𝛻𝑢 = − 𝛻𝑝 + 𝜈𝛻 2 𝑢 𝜕𝑡 𝜌 非線形性 Van Dyke,“An Album of Fluid Motion” Einstein方程式 1 𝑅𝜇𝜈 − 𝑔𝜇𝜈 𝑅 = 𝑇𝜇𝜈 2 計量𝑔𝜇𝜈 に対する非線形方程式 重力(一般相対論)でも乱流現象が起きるだろうか？ YES. 最近Anti-de Sitter時空のダイナミクス に”乱流”現象が発見された。 Bizon&Rostworowski,11 目次 1.AdS時空の乱流現象 AdS乱流のレビュー Bizon&Rostworowski,11 2.重力乱流条件 AdS乱流には何が本質的なのか？ 3.ホログラフィックQCDにおける乱流 AdS乱流のholographic QCDへの応用 1.AdS時空の乱流現象 Anti-de Sitter(AdS)時空とは 負の宇宙項を持つEinstein方程式の解で、最も対称性の高い時空。 2 2 𝑟 𝑟 𝑑𝑠 2 = − 1 + 2 𝑑𝑡 2 + 1 + 2 ℓ ℓ −1 𝑑𝑟 2 + 𝑟 2 𝑑Ω22 t 𝑂(2,2) ℓ2 = −𝑑𝑡 2 + 𝑑𝑥 2 + sin2 𝑥 𝑑Ω22 2 cos 𝑥 𝑟 = ℓ tan 𝑥 Null geodesicは有限時間で、無限遠(𝑟 = ∞)に到達。 AdS境界は”鏡”の役割をする。 AdS時空中の摂動は、散逸しない。 “AdS時空はconfined box” r なぜAdS時空？ AdS/CFT対応 • • • • N=4 super Yang-Mills理論 QCD 物性系 etc… 強結合 等価 AdS時空中の 重力理論 弱結合 強結合領域の場の理論を、古典重力理論で扱える。 AdS時空は安定か？ 線形摂動論 Breitenlohner&Freedman,82 Ishibashi&Wald,04 一番簡単なmassless scalar場摂動を考えよう。 □𝜙 = 0 on fixed AdS background 𝜙 + 𝐿𝜙 = 0 𝜙(𝑡, 𝑥) = 𝑒 −𝑖𝜔𝑡 𝜓(𝑥) 𝜔2 > 0 1 2𝑥𝜕 ) 𝐿=− 𝜕 (tan 𝑥 𝑥 tan2 𝑥 𝐿𝜓 = 𝜔2 𝜓 もし𝜔2 < 0だったら、不安定。 𝑗 = 0,1,2, ⋯ 固有振動数 𝜔 = 2𝑗 + 3 固有関数 𝑒𝑗 𝑥 = cos 3 𝑥 𝐹(−𝑗, 𝑗 + 3; sin2 𝑥) スカラー場摂動に対して安定 重力摂動、Maxwell場摂動に対しても同様に安定性が示せる。 AdS上の波動は非分散的 固有振動数 各モードの周期 𝜔𝑗 = 2𝑗 + 3 𝑇0 = 2𝜋 , 3 𝑇1 = 2𝜋 , 5 𝑇2 = 2𝜋 ,⋯ 7 Δ𝑡 = 2𝜋の時間がたつと、すべてのモードの位相が元通り。 t Δ𝑡 = 2𝜋 𝜋 𝑥= 2 x 波束は時間発展でばらつかない。 (非分散的) 非線形でも安定だろうか？ Bizon&Rostworowski,11 背景時空への反作用も取り入れる。 𝑆= ∫ 𝑑4𝑥 6 1 −𝑔 [𝑅 + 2 − 𝜕𝜙 2 ] ℓ 2 3 1 1 𝐺𝜇𝜈 − 2 𝑔𝜇𝜈 = [𝜕𝜇 𝜙𝜕𝜈 𝜙 − 𝑔𝜇𝜈 𝜕𝜙 2 ] ℓ 2 2 □𝜙 = 0 Metric anzatz AdS時空は 𝐴 = 1, 𝛿 = 0 数値計算結果 A. Rostworowski 氏の発表スライドか ら拝借 終状態はブラックホール スカラー場の波束 x=π/2 x=0 数値計算では、無限小の初期摂 動でもブラックホール生成が起き ることが示唆されている。 AdS(+揺らぎ)は、ほっとくと勝手に ブラックホールになる。 global AdSは不安定 エネルギースペクトルの 時間変化 保存エネルギー 1 𝑀≃ 2 𝜋/2 𝑐𝑗 𝑡 𝑒𝑗 (𝑥) 各モードjのエネルギー 0 𝑀≃ 𝜙= 𝜙 2 + 𝜙 ′2 tan2 𝑥 𝑑𝑥 1 2 𝑐𝑗 2 + 𝜔𝑗2 𝑐𝑗2 = 𝑗 𝐸𝑗 (𝑡) 空間次元 𝑗 𝑗 𝐸𝑗 ∼ j−𝛼 𝛼= 6 4 𝑑−3 + 5 5 大スケールから小スケールへ のエネルギー流 Kolmogorov-like law Weakly turbulent instability A. Rostworowski氏の 発表スライドから拝借 なぜ乱流不安定性が起きたのか？ ~摂動論的理解~ 摂動展開を考えよう。 𝐺𝜇𝜈 − 𝜙 = 𝜖𝜙1 + 𝜖 3 𝜙3 + ⋯ 𝑔𝜇𝜈 = (0) 𝑔𝜇𝜈 + 𝜙1 = 1st order solution: (2) 𝜖 2 𝑔𝜇𝜈 3 1 1 𝑔 = [𝜕 𝜙𝜕 𝜙 − 𝑔𝜇𝜈 𝜕𝜙 2 ] 𝜇𝜈 𝜇 𝜈 2 ℓ 2 2 □𝜙 = 0 +⋯ 𝑎𝑗 cos(𝜔𝑗 𝑡 + 𝛽𝑗 ) 𝑒𝑗 𝑥 𝑗 (2) 𝑔𝜇𝜈 2nd order solution: 3rd order equation: 𝜙3 + 𝐿𝜙3 = 𝑆 𝜙1 , 𝑔 2 ∼ cos 𝜔𝑖 𝑡 cos 𝜔𝑗 𝑡 cos 𝜔𝑘 𝑡 ∼ 𝑖𝑗𝑘 cos 𝜔𝑖 ± 𝜔𝑗 ± 𝜔𝑘 𝑡 𝑖𝑗𝑘 𝜔𝑖 ± 𝜔𝑗 ± 𝜔𝑘 は固有振動数に一致し得る。 共鳴 𝜙3 ∼ 𝑡 cos 𝜔𝑗 𝑡 高次摂動の不安定性 2.重力乱流条件 任意の初期条件に対して、 乱流不安定性が起きるか？ Bizon&Rostworowski,11 Maliborski&Rostworowski,13 Buchel,Lehner&Liebling,13 Dias,Horowitz&Santos,11 No. ずっと振動する解も存在する。 𝑗 = 0モードがdominateする初期データ スカラー場のphase space 時間方向に周期的な解 さらに、安定性も強く示唆されている。 初期データ空間 安定 不安定 AdS時空は本質的か？ No. Minkowski上でcavityを考えた場合も起きる。 Maliborski, 13 Maliborski&Rostworowski,14 Okawa,Cardoso&Pani,14 Minkowski時空 Scalar場摂動 ブラックホール 鏡(ディリクレ条件) Einstein方程式は本質的か？ No. 非線形Schrodinger方程式でも起きる。 Colliander et al,10 Carles&Faou,10 𝑖𝜕𝑡 𝑢 + Δ𝑢 = 𝜆 𝑢 2 𝑢 𝑢(𝑡) 𝑠 1 + 𝑛2 = 𝑠 𝑢𝑛 𝑡 2 𝑛 n-thフーリエモード 𝑢 𝑡 𝑠 → ∞ (𝑡 → ∞) for s>1. 非分散的スペクトルは重要か？ Controversial. Minkowski時空 Scalar場摂動 分散的スペクトル 二つの論文で違う結果 鏡(ノイマン条件) Maliborski&Rostworowski,14 安定 Okawa,Cardoso&Pani,14 不安定 つまり、乱流条件についてはあまりよく分かっていない。 ここまでのまとめ AdS時空には、”乱流”不安定性が存在する。 大きなスケールから小さなスケールへのエネルギー流。 Kolmogorov-like law 終状態はブラックホール。 乱流条件はよく分かっていないが、少なくとも、 ●confined geometry ●非線形性 は必要。 3.ホログラフィックQCDに おける乱流 • • • K,Hashimoto,S.Kinoshita,KM,T.Oka, ”Electric Field Quench in AdS/CFT”, arXiv:1407.0798, JHEP 1409 (2014) 126. K,Hashimoto,S.Kinoshita,KM,T.Oka, ”Turbulent meson condensation in quark deconfinement”, arXiv:1408.6293 K,Hashimoto,S.Kinoshita,KM,T.Oka, ” Meson turbulence at quark deconfinement from AdS/CFT”, arXiv:1412.4964 Non-equilibrium process in AdS/CFT • • • • N=4 SYM QCD Condensed matter physics etc… AdS/CFT Gravity theories Non-equilibrium First-principles calculation is not tractable. (Lattice simulation, Boltzman equation…) Tractable. At least, there is no problem in the formulation. (Cauchy problem) The AdS/CFT gives one of the hopeful approaches to study the non-equilibrium process in strongly coupled systems. We study the non-equilibrium process in holographic QCD induced by time dependant electric field (electric field quench). D3/D7 model Karch&Katz, 02 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Nc D3 ✓ ✓ ✓ ✓ Nf D7 ✓ ✓ ✓ ✓ ✓ ✓ ✓ ✓ 1,2,3 D3-D7 strings compose fields with fundamental representation of SU(Nc). Quark degree of freedom D7 D3 F-string 𝐿 = 𝐿𝑆𝑌𝑀 + 𝜓𝑟 𝑖𝛾 𝜇 𝐷𝜇 + 𝑚 𝜓𝑟 + ⋯ 8,9 4,5,6,7 9 N=2 Super symmetric QCD Gravity dual In the limit of 𝑁𝑐 ≫ 𝑁𝑓 , we can neglect the back reaction from D7-branes. Near horizon lmit of D3-branes D7 D3 in AdS5 x S5. Motion of D7-brane is described by the DBI action. D7-brane fluctuations correspond to meson excitations. Kruczenski,Mateos,Myers&Winters, 03 Electric field quench in N=2 supersymmetric QCD 𝐸𝑓 Δt SQCD 𝑡/Δ𝑡 Boundary condition: Brane motion z 𝐹𝑡𝑥 𝑧=0 = −𝐸 𝑡 Dynamics of the D7-brane (subcritical case) 𝐸𝑓 = 0.19, 𝑚2 𝑚Δ𝑡 = 2 0 𝐸𝑓 𝐸𝑆𝑐ℎ At t ~12, we can see a singular behavior. Our numerical calculation has crushed there. What’s happened? Singularity formation D-brane version of the weakly turbulent instability. singularity (Ricci scalar = ∞) Propagation of brane fluctuation AdS boundary Pole A light ray going through near the singularity is strongly redshifted. A mesonic fluctuation becomes very weak when it arrive at the AdS boundary. 特異点の発生は、 メソンのDeconfinementに対応する。 𝑑𝐸 ≠0 𝑑𝑡 Mode decomposition of the non-linear solution 𝛿𝑊(𝑡, 𝑧) = 𝑊 𝑡, 𝑧 − 𝑚 Non-linear solution Background solution We decompose the non-linear solution into eigen functions in linear theory. 𝛿𝑊(𝑡, 𝑧) = 𝑐𝑛 𝑡 𝑒𝑛 𝑧 𝑛 Energy contribution from n-th mode 1 2 𝜀𝑛 (𝑡) = (𝑐𝑛 +𝜔𝑛2 𝑐𝑛2 ) 2 𝜔𝑛2 = 4 𝑛 + 1 𝑛 + 2 Energy transfer from large to small scale There is an energy flow from large scale to small scale. Weak turbulence Many heavy mesons are produced just before the deconfinement. Why are many heavy mesons produced before the deconfinement? Deconfinement occurs due to heavy quark condensate Polyakov, 78 Pisarski&Alvaretz, 82 Patel, 84 Lucini et al, 05 Hanada et al, 14 Heavy mesons = long QCD strings Reconnection with background long QCD strings 𝑞 𝑞 𝑞 𝑞 𝒒 and 𝒒 can propagate freely. Heavy meson condensation Quark deconfinement Our AdS/CFT calculation supports this idea. Kolmogorov-like law just before the deconfinement Quasi-static analysis for Electric field quench Electric field quench The spectrum seems to approach power law: Mass quench 𝜀𝑛 ∝ 𝜔𝑛−5 Universal for the deconfinement transition in N=2 SQCD? まとめ We found a “weakly turbulence” in the D3/D7 system. There is a energy flow from large to small scale. This can be regarded as production of many heavy mesons in SQCD. Just before the deconfinement spectrum becomes 𝜀𝑛 ∝ 𝜔𝑛−5 . Universal for the deconfinement transition in N=2 SQCD?
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