A Holographic Dual of Bjorken Flow Shinji Mukohyama Institute for Physics and Mathematics of the Universe (IPMU) University of Tokyo with S.Kinoshita, S.Nakamura and K.Oda, to appear Then and now • 2005 : the centenary of Special Relativity • 2006-2007: the centenary of Yukawa & Tomonaga • Now • 2015 : the centenary of General Relativity Our dream now: Unification of Quantum Theory & General Relativity Why are black holes important? • Cosmology & black holes will play as important a role in the development of quantum gravity as blackbody radiation & hydrogen atoms did in the history of quantum mechanics. • Black hole thermodynamics involves gravity GN 3 kBc A SBH  quantum mechanics GN 4 statistical mechanics kB ブラックホールの熱力学    ブラックホールには、熱力学と良く似た性質が多くある。熱力学：熱平衡状態は、少ない巨視的パラメータで記述される。ブラックホール：定常解は、少ないパラメータで記述される（無毛定理）。例：Schwarzschildブラックホール EBH  Mc 3 c k BTBH  8GN M 2 dEBH  TBH dS BH 3 S BH kBc  A 4GN 16G 2 A M 4 c 2 N ブラックホールの質量ホーキング輻射の温度ブラックホールの第１法則ブラックホールのエントロピー地平線の面積ブラックホール熱力学の法則法則熱力学ブラックホール（古典論）定常解では表面重力kが一定 dM = kdA/8GN + 回転・電荷項第２エントロピーＳは減少地平線の面積Ａは減少ししないない第３物理過程で温度を零物理過程で表面重力を零にできない（Nernst）にできない零温度極限でエントロピー零（Planck）第０熱平衡では温度Ｔが一定第１ dE = TdS + 仕事項一般化された第２法則とブラックホールのエントロピー第２エントロピーは減少し法則ない  疑問１：物質をブラックホールに投げ入れたら？？？エントロピー減少？  地平線の面積は減少しない地平線の面積増加（OK）疑問２：ホーキング輻射でブラックホールが小さくなったら？？？エントロピー増加（OK）地平線の面積減少？  熱力学第２法則とブラックホール第２法則を一般化して統一させる必要がありそう、、、。一般化された第２法則とブラックホールのエントロピー    ブラックホールもエントロピーを持つべきでは？一般化された第２法則：ブラックホールのエントロピーと物質のエントロピーの和は減少しないはず！面積増大定理＆疑問１＆疑問２より：ブラックホールのエントロピーは、地平線の面積の増加関数でなければならない。ブラックホールのエントロピー第１ dE = TdS + 仕事項法則 dM = kdA/8GN+ 回転・電荷項  k ホーキング温度 TH  2ck B EBH = Mc2, TBH = TH とすると、ブラックホール第一法則は dEBH = TBHdSBH + 回転・電荷項 3 kBc となる。ここで S BH  A 4GN はブラックホールのエントロピーと呼ばれる。ブラックホールのエントロピーに対する期待 3 S BH     kBc  A 4GN 重力（GN）、量子論（）、統計力学（kB）の全てを含む式！熱力学エントロピー： S = ln(状態数)。量子統計力学によって起源を理解できる。ブラックホールのエントロピー： SBH = ln(状態数)？量子重力によって起源を理解できるはず？でも量子重力はわからない、、、。逆に、ブラックホールのエントロピーの起源を理解できれば、量子重力理論についての知見が得られるのでは？ＢＨエントロピー動物園古典論的方法 Euclidean作用 Noether charge 準古典論的方法量子論的方法ループ重力超弦理論非ＢＰＳ Dブレイン（ＢＰＳ） Spin network Brick wallモデル Entanglement 係数も一致 Shellモデル係数は不定統一理論の有力候補：超弦理論     異なる粒子＝弦の異なる振動モード：より少ない基本構成要素から複雑な世界を説明できる可能性。重力を含む（唯一の）統一理論になっているかも。量子補正をちゃんと取り扱える。（少なくとも摂動的に。一部、非摂動効果も。）ブラックホールのエントロピー（に対応すると思われる量）を計算しよう！Ｄブレインとは？  弦には２種類ある: 開いた弦 (Neumann境界条件)  閉じた弦 (周期境界条件実は、開いた弦の端は面上にくっつくことができる: 開いた弦 (Dirichlet境界条件)  このような面はＤブレインと呼ばれ、(p+1)form potential (R-R場)の電荷を持つ。ここで、 pはＤブレインの空間次元。 Dブレーン上の弦のエントロピー (Strominger & Vafa 1996, Horowitz & Polchinski 1997)    ストリング結合定数gsを準静的に強くして、Dブレーンからブラックブレーンへの相転移を考える。 BPS（超対称性が保たれた）状態なら、物理量（質量、電荷、エントロピー等）が保存するはず。 Dブレーン上の弦のエントロピーを保存量の関数として表せば、ブラックブレーンのエントロピーを計算できる！ Dブレーン弱結合強結合重力定数小重力定数大ブラックブレーン相転移 8GN = (2)7a’4gs2/2V6 Black brane to holography: AdS/CFT • Near horizon geometry of a BPS black brane is AdS5xS5. • Light d.o.f. (open string massless states) on the corresponding stack of D-branes is described by a N=4 4D SYM theory. • Maldacena conjecture (AdS/CFT correspondence): There must be a relation between gravity in asymptotically AdS5xS5 spacetime and the N=4 4D SYM theory. String theory & real world • String cosmology • String phenomenology • Gauge/gravity (AdS/CFT) duality understanding gauge theory from gravity viewpoint • In this talk we consider a 5D dynamical black brane to understand 4D QGP. RHIC (relativistic heavy ion collider) http://www.bnl.gov/RHIC/heavy_ion.htm Bjorken flow • Colliding pancakes  “big bang” • QGP after “big bang” • Toy model 1) hydrodynamics 2) infinite pancakes 3) boost invariance Bjorken flow • t = t cosh y, x1 = t sinh y ds2 = -dt2 + dx12 + dx22 + dx32  ds2 = -dt2 + t2dy2 + dx22 + dx32 • Boost invariance  t as time • Traceless & conservation eqs  Tmu =          f (t ) 0 0 t 2  f (t )  t f '(t )  0 0 0 0 1 f (t )  t f '(t ) 2 0 0 0     0   1 f (t )  t f '(t )  2  0 0 2nd order hydrodynamics • Tmn = e umun + P qmn + Pmn umum = -1, qmn = gmn + umun , Pmm = 0 • Expand Pmn up to 2nd derivatives of um Pmn = - hsmn + htP [ uls<mn>;l + smnul;l/3] + l1sl<msn>l + l2sl<mWn>l + l3Wl<mWn>l smn = 2 u<m;n> , Wmn = um;n - un;m ( A<mn> = qmaqnb(Aab+Aba)/2 - qmnqab Aab/3 ) • Assume the scaling (according to dimension) 1/4 1/2 3/4 tP  e l1  e h e Hydro solution • Solve the traceless & conservation equations, assuming that transport coefficients are small (derivative expansion). • Result Ttt = e0 t-4/3 [ 1 - 2h0t-2/3 + c2t-4/3 + … ] t-2 Tyy = e0 t-4/3 [ 1/3 - 2h0t-2/3 + (5/3)c2t-4/3 + … ] Txx = e0 t-4/3 [ 1/3 - (1/3)c2t-4/3 + … ] c2 = (3/2) h02 + (2/3)(l102 - h0tP0) • Coefficients h0 and c2 are undetermined. Dual geometry • Microphysics is needed to determine h0 and c2. • However, a strongly coupled field theory is not easy to analyze. • Use the AdS/CFT correspondence as a tool. • Bjorken flow of large Nc N=4 SYM is dual to an asymptotically AdS5xS5 geometry. singularity center boundary AH Dual geometry: ansatz • AdS-Sch : inconsistent with boundary metric  r04  2 ds  r 1  4  dt  2dt dr  r 2  dx12  dx22  dx32   r  2 5 2 • Our ansatz ds52  r 2 Adt 2  2dt  dr  r 2 t 2e2 B dy 2  e2C  dx22  dx32  A, B, C : functions of ( t+ , r ) remaining gauge freedom: r  r + f(t+) • Boundary metric @ r   ds  r   Adt  t e dy  e  dx  dx  2 4 2 2  2 2B 2 2C 2 2 2 3  r 2  dt 2  t 2dy 2  dx22  dx32  if A  1, B  0, C  0 boundary condition Boundary Tmn • ADM-like decomposition 2 2 2 m m n n ds5  N dr   mn (dx  N dr)(dx  N dr) • Einstein + Gibbons-Hawking + counter terms  d 1 1 d (d  1)   d S d x  g R   2 d x    2  16 Gd 1  M l   M  mn 1 2  Sct 4 mn S  d x   K  K    16 Gd 1 M   mn  • Brown-York’s prescription mn TBY  d=4 :   K  2 Sct ( mn )      mn  2 S 1  mn 2  Sct mn  K  K     8  G    mn mn d 1   3 l2  4 Sct    d x  1  R  l M  12     • Scaling & limit Tmn  lim r d 2TmnBY r  Tmn from hydro Late time expansion • Motivated by the hydro solution, let us expand metric functions by t-2/3. • Solve the Einstein equation order by order. • Result (in each order) i) The solution includes 3 integration constants. One is gauge d.o.f. but two are physical. ii) One of the two physical integration constants is determined by the boundary metric. iii) The last integration constant is related to the transport coefficient and determined by the regularity of the apparent horizon. Summary • We proposed a dynamical and anisotropic 5D brack brane as a holographic dual of Bjorken flow of strongly coupled large Nc N=4 4D SYM theory plasma. • We performed a late-time expansion in EddingtonFinkelstein coordinates. • The dual geometry is regular on and outside an apparent horizon at all orders in the late-time expansion, provided that transport coefficients are chosen appropriately. • Conversely, the regularity of the dual geometry determines transport coefficients. • An example of time-dependent AdS/CFT.