AdS/CFT対応の物性系への応用について

超伝導のホログラフィック双対な
記述に向けて
疋田泰章（高エネルギー加速器研究機構）
２００９年７月９日＠基研研究会「場の理論と弦理論」
AdS/CFT対応
[ Maldacena ’97 ]
d+1 次元のAnti-de Sitter
(AdS) 空間上の重力理論
d 次元の共形場理論
（CFT）
AdS空間の境界 r→1 に住む
• Ex. AdS5上のType IIB超弦理論
• Ex. 4次元N=4超対称U(N)ゲージ理論
• 古典論をこえた量子論はほとん
ど理解されていない
• 摂動論はよく理解されているが、強
結合領域の解析は困難
AdS/CFT対応による強結合物理
• 結合領域の対応
IIB string on AdS5
古典重力
4d N=4 U(N) SYM
ラージN
強結合
• AdS/CFT対応を用いる有効性
– 格子ゲージ理論に代わる強結合物理の定式化？
• 幾何学的, 解析的な取扱いが可能
• 時間発展も追える
– クォーク・グルーオン・プラズマ
• Shear viscosityの予言
• RHICにおける実験との比較
[ Kovtun-Son-Starinets ‘04]
AdS/CMPの例 (I)
• ホログラフィック超伝導
[ Gubser; Hartnoll,Herzog,Horowitz; Maeda,Okamura; Herzog,Kovtun,son; ... ]
– 高温超伝導の理解
• 普通の超伝導 ⇒ BCS理論による記述, Cooper対の凝縮
• 高温超伝導 ⇒ あまりよく理解されていない, 強相関物理？
• AdS/CFT双対な理論による記述が有効？
– 双対な重力理論における記述
• 有限温度 ⇒ AdS空間中のブラックホール
• Cooper対の双対なスカラー場が凝縮
• 2次相転移, 無限大のDC伝導率, エネルギーギャップ, …
場の理論側
有限温度での
Cooper対の凝縮
重力理論側
AdSブラックホールにおける
スカラー場の凝縮
AdS/CMPの例 (II)
• 非相対論的な共形場理論
– Schrödinger群
[ Son; Balasubramanian,McGreevy; Sakaguchi,Yoshida;
Herzog,Rangamani,Ross; Maldacena,Martelli,Tachikawa;
Adams,Balasubramanian,McGreevy; Nakayama,Ryu,Sakaguchi,Yoshida; ... ]
• Galilean変換 + スケール変換 + 特殊共形変換 (z=2)
• 冷却フェルミ原子気体（40K, 6Li）の対の凝縮
Tc ～50 nK
強相関, ユニタリ・フェルミ気体
BEC
crossover
BCS
B: 磁場
AdS/CMPの例 (III)
• Lifshitz的な模型
[ Kachru,Liu,Mulligan; Horava, ... ]
– 時間反転に対して対称, Schrödinger群への拡張はなし
– 量子臨界現象
– 繰り込み可能な重力理論？
• 量子ホール効果
[ Keski-Vakkuri,Kraus; Davis,Kraus,Shah, Fujita,Li,Ryu,Takayanagi;
YH,Li,Takayanagi; Alanen,Keski-Vakkuri,Kraus,Suur-Uski ]
– 有効理論としてのChern-Simons理論
• 不純物のある系
[ Hartnoll,Herzog; Fujita,YH,Ryu,Takayanagi; ... ]
– レプリカ法
計画
0.
1.
2.
3.
4.
5.
導入
超伝導
AdS/CFT対応
ホログラフィック超伝導
不純物のある系
議論
1. 超伝導
BCS理論とGL理論
超伝導の発見
• Kamerlingh-Onnes (1911)
– ゼロ抵抗
• 温度 T < 4.2K で水銀の電気抵抗がゼロとなり完全導
体となる
• Meissner-Ochsenfeld (1933)
– Meissner 効果
• 転移温度以下では超伝導体の内部から磁束が排除
from Wikipedia
BCS理論
• Bardeen-Cooper-Schrieffer (1957)
– 超伝導のミクロな理解
• 電子の対が格子の歪みを通じてCooper対をつくり、そ
の対が凝縮することで超伝導状態が構成される
Ginzburg-Landau理論 (I)
• 強磁性体の場合
– F: 自由エネルギー, M: 磁化（秩序変数）
F(M)の最少値
Ginzburg-Landau理論 (II)
• 超伝導の場合
– 秩序変数：波動関数
– 自由エネルギー密度
の最少値
磁場なし h = 0, 転移温度以下 ® < 0
Meissner効果
超伝導体
• 方程式における特徴的長さ
– 磁場侵入長：¸
• ゲージ場が質量を持つことによって, 磁場の侵入
が指数関数的に抑えられる
( Meissner効果)
– コヒーレンス長：»
Type I & Type II
•
Type I
•
Type II
from Wikipedia
高温超伝導
• 高温超伝導の特徴
– 高温の相点移転点
– 銅酸化物, 2+1次元
– 相構造
• 高温超伝導の理解
– ＢＣＳ（フォノンを媒介,
電子のクーパー対,s波）
– non-BCS（スピン揺らぎを媒介
準粒子のクーパー対,d波）
– non-BCS（準粒子の描像なし）
AdS/CFTによる理解が有効？
from Wikipedia
2. AdS/CFT対応
AdS/CFT対応を用いた計算方法
AdS/CFT対応
• 双対性による写像
d 次元の共形場理論
（境界 z=0 に住む）
[ Maldacena ]
d+1 次元のAdS空間上
の重力理論
– 状態の対応
– 分配関数
– 相関関数
[Gubser,Klebanov,Polyakov; Witten ]
AdS空間中のスカラー場
• スカラー場の作用
• 運動方程式
双対な共形場理論におけるスケーリング次元
２点関数
• 境界条件
– 境界 z=0 での振る舞い
– ホライズン z→∞ で正則
唯一の解
Bulk-boundary propagator
• 境界における作用
スケーリング次元
演算子の真空期待値
• 境界 z=0 における重力理論の場の振る舞い
– 双対な理論の物理量は境界の振る舞いから読み取る
– 境界条件
• 境界 z=0 での振る舞い（ex.
• ホライズン z→∞ における条件（ex. 正則性）
）
• スカラー場の展開
に関するソース
の真空期待値
スケーリング次元
• 双対性による写像
d+1次元のAdS空間上の重力理論
境界z=0に住む
d次元の共形場理論
 : スカラー場
: スカラー演算子
m : スカラー場の質量
: 演算子のスケーリング次元
• 双対な演算子のスケーリング次元
が発散しないのは
ユニタリティ条件
：Δ+のみがユニタリティ条件を満たす
：Δ+, Δ-両方が満たす
Breitenlohner-Freedman bound (AdS空間の曲率のため負になりうる)
3. ホログラフィック超伝導
双対な重力理論における超伝導
状態の実現
双対な重力理論
• 重力理論の性質
[ Gubser; Hartnoll,Herzog,Horowitz ]
– (2+1)次元有限温度系
 (3+1)次元AdS Schwarzschild ブラックホール
– Cooper pair + U(1) 対称性
 スカラー場 ª + U(1) ゲージ場 A¹
• Ginzburg-Landau模型に酷似
– スカラー場の凝縮
• ホライズン近傍で質量の２乗が負
重力解の構成
• 重力解を数値的に解析
– スカラー場, ゲージ場の反作用は無視
• q  1 として場の再定義で吸収
• 反作用も取り入れた解析も可能で定性的に同じ結果
– Ansatz
– 運動方程式
– ホライズンにおける境界条件
AdS/CFT写像
• 演算子との対応
– 質量を適当に固定
AdS/CFT
• 真空期待値との対応
– AdSの境界
– 境界条件を仮定
での振る舞い
電荷密度
化学ポテンシャル
スカラー演算子の真空期待値
[ Hartnoll,Herzog,Horowitz ]
• 結果
• 結論
– BCS理論による曲線をうまく再現
cf. BCS:
, High-Tc :
– ２次相転移 (自由エネルギーが連続的)
伝導率
• Maxwell場の摂動
– ベクトルポテンシャル Ax の摂動
• ホライズンで
– AdSの境界
を仮定
における振る舞い
– Ohmの法則による伝導率
エネルギーギャップ
• 結果
[ Hartnoll,Herzog,Horowitz ]
• 結論
– 無限大のDC伝導率
– エネルギーギャップ
Cooper対 ??
ホログラフィック超伝導のまとめ
• 結果
– 超伝導にホログラフィック双対な理論を構成
• スカラー場がAdSブラックホールホライズン近傍で凝縮
• ２次相転移, 無限大のDC伝導率, エネルギーギャップ
• 議論
– Cooper対
• CFT側での理解, 高温超伝導特有の現象
– Meissner効果
• U(1)対称性のゲージ化, NGボソン
• Type II 超伝導？Abrikosov格子？
[ Albash,Johnson; Montull,Pomarol,Silva ]
– 不純物
• 並進対称性によりDC伝導率が無限大
4. 不純物のある系
レプリカ法とその双対な重力理論
における対応物
不純物のある系
• 不純物
不純物の存在が大きな効果をもたらすこともある
• 不純物のある系の例
–
–
–
–
実験で用いられる物質
スピングラス系
量子ホール効果
などなど
設定
• d 次元の場の量子論を用意
– Ex. 4d N=4 U(N) SYM
• 演算子
によって理論を変形
– Ex. single-trace 演算子
変形のパラメータが空間座標 x に依存
• 変形のパラメータに関して平均化
レプリカ法
• 自由エネルギー
– レプリカ法はこの恒等式に由来
• レプリカ法
– n 個のコピーを用意し, 不純物に関して平均をとったのち,
n = 0 の極限をとる
重力理論による記述
• 利用する事実
[ Fujita,YH,Ryu,Takayanagi ]
– レプリカ法
• ｎ個の場の理論を用意
• 相互作用を導入
• 最後に n = 0 の極限をとる
– Double-trace 演算子による変形 [ Witten ]
• 重力側では双対なスカラー場 Á の境界条件を変えることに対応
• ホログラフィックレプリカ法
– n 個のAdS空間を用意
• それぞれのAdS空間は境界を共有
– AdS空間に住むスカラー場 Ái の境界条件を変形
• スカラー場の境界条件を通してそれぞれのAdS空間が相互作用
– 最後に n = 0 の極限をとる
• 主に２点関数を計算し、両方の方法で同じ結果を得た
5. 議論
まとめと展望
議論
• まとめ
– AdS/CFT対応の物性系への応用
• 強相関物理が重要
• いろいろな模型が構成できる
• 実験室でAdS/CFT対応の検証を
• 問題点
– 現実の模型に双対な重力理論の構成は困難
• 古典重力を超えた解析が困難
• ラージN極限, 共形場理論側の理解
• ユニバーサリティ？

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