第6課輻射の方程式 II - Institute of Astronomy, Univ

第８課エディントン近似
平成１７年１２月１２日
授業の内容は下のHPに掲載されます。
http://www.ioa.s.u-tokyo.ac.jp/kisohp/STAFF/nakada/intro-j.html
今回のキーワード
エディントン近似 Eddington Approximation
８．１．平面近似
全ての物理量ＡがＸ軸に垂直な平面内で一定と仮定する。Ａ（Ｘ，Ｙ，Ｚ）＝Ａ（Ｘ）
（１）ーＸ軸方向（上向き）の輻射強度Ｉに対する方程式は、ｄＩ/ｄｘ＝κＩ－ε
（２）Ｘ軸に角度θを成す直線(μ＝cosθ)に沿って、輻射方程式を考える。
Iλ (μ,τλ=0)
τλ＝０
Ｙ
Ｚ
Ｘ
τλ
θ
Iλ (μ,τλ)
直線に沿っての長さをｔとすると、ｄＩ/ｄｔ＝ κＩ－εｄｌとなる。
ｄｔとＸ軸に沿っての深さｄＸとの関係は、ｄt＝ｄｘ／μ なので、書き直して
μdI(μ,x)/dx＝I(μ,x)κ(x)－ε(x)
例（１）：形式解
μdI(μ,x)/dx＝I(μ,x)κ(x)－ε(x) ：以下Ｉλ 、 κλ等をＩ、κと省略する
ｄτ＝κｄＸとおいて、
μdI / dτ＝I－S
dτは光線に沿っての光学的深さでなく、Ｘ軸に沿っての光学的深さ、に注意。
光学的深さ＝τの点で、Ｘ軸に対し角度θの輻射 I(τ,μ) は下のように
与えられる。
ｔ＝０
μ>0：
I(τ,μ)=∫∞τS(t)exp[－(t－τ)/μ]dt/μ
=
eτ/μ∫∞
τ
μ>0
S(t,λ)e－t/μdt/μ
μ<0：I(τ,μ)= －∫τ0S(t,λ)exp[ (τ－t)/μ]dt/μ
=
－eτ/μ∫τ
0
S(t,λ)
e－t/μdt
/μ
τ
=∫τ0 S(t,λ) e－(τ－t) / (－μ) dt / (－μ)
ｔ
μ<0
表面からの輻射強度
表面から角度θで出る輻射Ｉの解は下のように与えられる。
I(τ=0 、μ) = (1/μ)∫∞0 S(τ) exp(－τ/μ) dτ
上式を見るとＳをSource Function と呼ぶことが納得される。
S(τλ)＝Ｓ＝一定（０<τ<τo）のスラブ表面でのＩ(τ=0 , μ) を計算すると、
I(τ=0 , μ) = (1/μ)∫τo0S exp( -τ/μ) dτ
＝ S[1－exp (－τo /μ) ]
自己吸収のあるスラブの表面輝度
τｏ＝0.1
τｏ＝0.5
τｏ＝1
τｏ＝2
1
θ
0.8
0.6
Ⅰ/Ｓ
I(τ=0 , μ)
0.4
0.2
τo
S(τ）
0
0
30
θ（° ）
60
90
例（２）：線形解の表面輝度とフラックス
S(τ)= a + bτ
I(τ=0 ,μ>0) = (1/μ)∫∞0S(t)exp( ‐t/μ) dt
＝(1/μ)∫∞0(ａ＋ｂt)exp( ‐t/μ) dt
＝ (1/μ)[ a∫∞0 exp(‐t /μ) dt + b∫∞0 t exp(‐t /μ) dt]
＝ a+ bμ= S(τ=μ)
I(τ=0 ,μ<0) = 0
（μ＞０）
（μ＜０）
θ
下図で光線に沿ったτ＝１に注意
τ＝０
τ＝μ＝ｃｏｓθ
τ＝１
フラックス
Ｆλ＝∫μIλ(μ,τ=0)ｄΩ＝ 2π∫１0μ( aλ+ bλμ)dμ=２π(aλ/2 + bλ/3)
Source Function
Sλ (τ)=aλ+bλτ だったから、
Ｆλ＝π[aλ+(2/3)bλ]=πSλ(τ=2/3) である。
温度Ｔの黒体表面からのフラックスがπＢλ(T),ここにＢλ(Ｔ)は輻射強度、
だったことを考えると、線形大気では、τλ＝２/３の深さの所を見て
いると言える。
τλ＝０
Ｉ（τ＝０）
ａ
τλ＝μ＝ｃｏｓθ
1/３
S(τ＝２/３)
τλ＝１
０
ａ＋ｂ
２/３
１
ａ＋ｂμ
８．２．エディントン近似（Eddington approximation）
μdI/dτ＝I－S

（平面近似）
モーメント方程式
× ∫dΩ/4π
：
× ∫μdΩ/4π ：
dH
 J  S
d
dK
 H
d
この系列はμ2 μ3 と上げても閉じない。式の数＜変数の数
モーメント方程式をどこかでむりやり閉じる必要。

エディントン近似
1
K  J
3
エディントン近似が正確に成り立つ例
（i) 完全等方輻射 I(Ω)=Ioの場合
J=Io, Ｋ＝(1/2)∫1-1Ioμ2dμ=Io/3 =J/ 3
(ii)
I(τ,λ,μ)=Io(λ)+I1(λ)μ
Jλ=(1/2)∫1-1I dμ=(1/2)∫1-1(Io+I1μ)dμ=Io(λ)
Hλ=(1/2)∫1-1Iμdμ=(1/2)∫1-1(Io+I1μ)μdμ＝(1/3)I1(λ)
Kλ=(1/2)∫1-1Iμ2dμ=(1/2)∫1-1(Io+I1μ)μ2dμ=(1/3)Io(λ)
θ
(iii)
I(τ,λ,μ)= I+ (λ)
= I‐(λ)
I+
μ>0
μ<0
I‐
J=(I+ + I‐)/2
H=[I+ /2 – I‐/2]/2=(I+ – I‐)/4
K=[I+ /3+ I‐ /3]/2=J/3
４Ｈ
８．３．恒星大気のエディントンモデル
dH
 J  S
d
（１
）
dK
 H
d
（２
）
仮定:（a）∫Jλκλdλ＝∫ελdλ ：輻射平衡 ( Radiative Equilibrium)
この仮定は（１）を
dH
  J    S   J    
dx
d  H d dH
dH
 dx d   dx  dx    J   d
とすると分かるように、Ｈ＝一定を意味する
仮定（b） Jλ(x)＝ Bλ(T(x))
（c ）Kλ(x)=(1/3)Jλ(x)
∫Hλｄλ＝Ｈ,
：ＬＴＥ
：エディントン近似
∫Kλｄλ＝K とする。
（１）から仮定（ａ）によって、
Ｈ(ｘ)＝Ｈｏ
（２）から、
（３）
1 dK
 H
 dx
1 dB T 
d

1
 dT

で定義されるκR＝Rosseland mean pacityを使うと
dB T 
R
d

dT
1 dK
1 dJ
1 1 dB
1 dK
  dx d   3 dx d  3   dx d   R  dx d
1 dK
 Ho
 R dx
（４）
平均光学深さτRを τR=∫ρ(x)κR(x)dx と定義すると、
H(τR)=Ho＝一定
K(τR)=τRＨo+ C
J(τR)＝S(τR)=B(τR)=3(HoτR+C)＝(σ/π)T4 (τR)
したがって、線形近似Ｓ＝ａ＋ｂτの結果が適用できる。
ａ＝３Ｃ
ｂ＝３Ｈｏである。
Hoは、総フラックスで与えられた一定値。
Ｃは、τ＝０（表面）でフラックスＦが4πHであるという条件から定める。
Ｓ＝ 3Ｃ＋３Hoτを線形大気（Ｓ＝ａ＋ｂτ）の結果に当てはめると、
フラックスＦ＝πＳ(τ＝２/３)＝π(３Ｃ＋２Ｈo)
モーメントの定義から、Ｆ＝4πＨであるから、
π(３Ｃ＋２Ｈo)＝ 4πＨo
Ｃ＝２Ｈo/３
結局、H(τ)=Ho＝一定
K(τ)=τＨo+ ２Ｈo/３＝Ｈo (τ+ ２/３)
J(τ)＝S(τ)=B(τ)=3Ho (τ+ ２/３)＝(σ/π)T4 (τ)
となる。
ここまでの結果は、エディントン近似モデルの (iii)
でも考えられる。
H(τ)=Ho＝一定＝(I+ – I‐)/4
K(τ)=τＨo+ C＝(I+ + I‐)/６を解いて、
I+ (τ) ＝２Ｈ(τ)＋３K(τ)=２ Ho ＋３(τＨo+ C)
I‐(τ)＝３(τＨo+ C)－２ Ho
仮定：
表面τ＝０で、Ｉ＝Io (μ＞０)
＝0
(μ＜０)
とすると、Ｃ＝(２/３)Ｈo , Io=4Ho
H(τ)=Ho＝一定
K(τ)=τＨo+ (２/３)Ｈo ＝Ｈo (τ+ ２/３)
で、前ページと同じになる。
I(τ)= I+ (τ)
μ>0
= I‐ (τ)
μ<0
エディントン近似モデル(iii)
τ＝０
Io
4Ho
4Ho
4Ho
エディントンモデルに入るパラメターはＨｏだけである。
パラメターＨｏを温度で表現する為、Ｆ＝ 4πＨｏ＝σＴe ４で有効温度Ｔｅ
を導入する。すると、
Ｈｏ＝σＴe ４／４π
J(τ)＝S(τ)=B(τ)=(３σＴe ４／４π) (τ+2/3)＝(σ/π)T4 (τ)
T(τ)4 =(3 /4)Te4 (τ+2/3)
表面(τ＝０)温度 To はＴｅよりやや低く、
To4 = (1/2)Te4、 (To=0.84Te)
また、 T(τ=2/3)＝Ｔｅ
ここにも、τ=2/3 が現れている。
Ｊ，Ｈ，Ｋのτによる変化
温度Ｔのτによる変化
４H
１.５
J
３H
T/Te
K
１
２H
H
H
0
2/3 1
2
τ
０.５
3
0
2/3 1
2
τ
3
８．４．線形大気からの放射
Sλ(τλ)= aλ + bλτλ の場合、
恒星表面からの輻射強度 I(μ,τλ=0)は、
Ｉ(μ,τλ=0)=(1/μ)∫∞0Sλ(τλ)exp( -τλ/μ) dτλ
θ
= aλ+ bλμ
フラックスＦλは、
Ｆλ ＝２π∫１０μＩλ(μ,τλ=0) dμ
τ＝０
＝２π ∫１０μ(aλ+ bλμ)dμ
＝π[aλ+bλ(2/3) ]
＝πSλ(τλ＝2/3)
τλ＝cosθ
Ｓλ (τλ=cosθ)
平均光学深さτR=∫ρ(x)κR(x)dx を使うと、τλ= τR (τλ/τR）=2/3の時
2 2 
2 R

R      R 
3  3  3 

Ｉ(μ,τλ=0)
その時、ＬＴＥを仮定すると、Sλ＝Ｂλ なので
 
2 R 


F  B T  R 
3  
 
4
ここに、T 
3 2  R  4 1  R  4
1 
Te  1 
Te
4 3   
2   
Ｆλ
Ｂλ（Ｔｅ）
結局、Ｆλ ＝πＢλ (Ｔ)
ただし、
1
 1  R  4

T  Te  1 
 2   
κλ ＝ κＲ
Ｆλ ＝πＢλ [Te]
κλ < κＲ
Ｆλ ＝πＢλ [T>Te]
κλ > κＲ
Ｆλ ＝πＢλ [T<Te]
λ
κλ
κＲ
κλが小さいと深い所を見るのでＦλは大きく
なる。
λ
８．５．温室効果
地球表面の温度は基本的には、
太陽輻射による熱流入（主に可視域）＝地表からの熱放射（主に赤外域）
で決まる。
Ｆ（λ）
太陽
地球
可視
赤外
F
λ
σＴｇ４
地表
この時の熱平衡の式は、地表温度＝Ｔｇとおくと、
Ｆ（太陽）＝σＴｇ４である。
（１）単層モデル
地球表面は赤外で不透明な（τ＞１）大気に覆われている。
すると輻射の収支は前図から下図のように修正される。
Ｔａ＝大気温度、Ｔｇ＝地表温度、Ａ＝可視光反射率である。
Ｆ（λ）
太陽
Fo
地球
λ
A・Fo
(1- A)・Fo
大気
可視
Ta
赤外
2(1- A)・Fo
地表
Tg
(1- A)・Fo
単層モデルの仮定
１）大気は一様な温度Ｔａを持つ。
２）太陽光は可視、地上からは赤外のみ放射
３）大気は可視で透明、赤外は不透明で黒体
４）可視太陽光の地表反射率＝Ａ
To=太陽有効温度＝５７８０Ｋ、Ｒｏ＝太陽半径、
Ｄ＝１ＡＵ＝２１５Ｒｏ
Fo=σTo4(Ro/D)2 ：太陽から地上に向かう総フラックス（真上からとして）
σTa4 ＝大気から上方向、宇宙空間への赤外放射＝下方向、地表への赤外放
σTg4 ＝地表から大気への赤外放射
Fo=σTa4 ＋ＡＦo
なので、
：大気の上での輻射収支
Ｆo＋ σTa4 ＝ σTg4 ＋ＡＦo
：大気と地表の間での輻射収支
太陽
Fo
σTa4
AFo
Fo=σTa4 ＋ＡＦo
大気
Fo
σTa4
σTg4
大地
AFo
Ｆo＋ σTa4 ＝ σTg4 ＋ＡＦo
σTg4 ＝２σTa4
（１－A)Ｆo＝σTa4
太陽表面でのフラックス＝σTo４、太陽半径＝Ro、地球太陽距離＝D
とおくと、
Fo=σTo４（Ro/D)２
であるから、上の式に代入すると、
Ｔａ＝ To(Ro/D)1/2 (1-A) 1/4 , Ｔｇ＝２ 1/4 Ｔａ
Ａ
０．１
０．３
０．５
０．７
０．８
０．８５
０．９
Ｔａ
３８４
３６０
３３１
２９２
２６４
２４５
２２２
Ｔｇ
４５５
４２８
３９４
３４７
３１３
２９２
２６３
このように、大気が毛布の役をするので地上温度は大気の1割以上高温
となる。
単層モデルでのTgとTaとの関係が、エディントン大気でのTeとToとの関係と同
じであるのは面白い。
（２）エディントン大気モデル
大気は赤外では不透明で、温度勾配を持つ。平面大気中を地表から
大気表面へ向け F = (1-A)Fo の赤外フラックスが流れると考える。
大気表面
Fo=太陽の可視フラックス
τ＝０
AFo=反射。
(1-A)Fo=地表で吸収。
－
エディントン近似では、大気温度は大気
表面から地表にかけて上昇し、ロスラン
ド平均光学深さτＲ＝2/3 での温度Ｔ２/3が
単層モデルの大気温度Taと等しい。
Ｔ２/3 ＝ Ta ＝To(Ro/D)1/2 (1-A) 1/4
τ＝2/3
地表面
τ＝τＧ
可視
赤外
地球大気の特異性は、後に示すように大気の上端から地表までのロスランド平
均光学的深さτRGが2/3より小さいことである。このため大気温度がTeまで達す
ることは起こらない。
そこで、通常のエディントン大気モデルを次のように変更する。
１：地表までの大気温度分布はエディントン大気モデルを採用
大気上端温度＝To
 3 
T  T0 1   R 
 2 
4
4
地表温度＝TG
とすると、
 3 G
TG  T0 1   R 
 2

4
4
２：地表までの光学的深さτλGは波長による。
τλG＞２/３ならば Fλはτλ＝２/３、すなわちτR=（２/３）（τRG/τλG）
の深さを見る。その深さでの温度 T は、
G
G






3
2
3
2




4
4
4
4
R
R
T  T0 1   R      T0 1    G   T0 1  G 
3 
 2 
 2 3  
  
τλG＜２/３だと地表（T=TG）が直接見えてしまう。
2
3
2
3
G  G  大気上端
To
2
  3
地表
 G
TG
2
3
1
 
G
4

 
2
2 
R  


 の時　F    B T





B
T

1

 


0 

G 


3
3


 
 



2
TG 
 の時　F    B T  R   R G    B    になる筈の場所　G
G


大気から地表までの光学的厚みτλG
波長(μ) l og τ λ G
1 - 1 .2 7
1 .5 - 0 .1 8
2 - 0 .7 2
2 .5 0 .9 1 5
3 0 .3 6 9
3 .5
-1
4 - 1 .5 4
4 .5 1 .0 7 8
5 0 .2 0 5
5 .5 1 .7 3 4
6 3 .0 9 9
6 .5 2 .8 4 2
7 2 .4 2 1
7 .5 1 .2 4 2
8 0 .3 5 8
8 .5 - 0 .4 4
9 - 0 .7 4
波長(μ) l og τ λ G
9 .5 2 .5 4 7
1 0 0 .1 0 5
1 0 .5 - 1 .2 8
1 1 - 1 .3 3
1 1 .5 - 1 .1 6
1 2 - 1 .0 3
1 2 .5 - 0 .7 4
13
- 0 .4
1 3 .5 0 .3 5 8
1 4 1 .2 4 2
1 4 .5 2 .7 1 6
1 5 3 .6 8 4
1 5 .5 2 .6 3 2
1 6 1 .2 8 4
1 6 .5 1 .0 3 2
1 7 0 .8 2 1
1 7 .5 0 .7 3 7
波長(μ)
18
1 8 .5
19
1 9 .5
20
2 0 .5
21
2 1 .5
22
2 2 .5
23
2 3 .5
24
2 4 .5
25
l og τ λ G
0 .6 9 5
0 .6 9 5
0 .7 3 7
0 .8 6 3
0 .9 4 7
1 .0 7 4
1 .1 5 8
1 .2 8 4
1 .4 5 3
1 .5 7 9
1 .6 6 3
1 .8 3 2
1 .9 5 8
2 .0 8 4
2 .2 1 1
大気吸収の近似式
大気吸収を取り扱い易くするために前々ページのグラフから、
吸収＝水蒸気連続吸収＋水蒸気バンド吸収+炭酸ガスバンド吸収
と考え、以下のように近似する。
水蒸気連続吸収　1 ( )＝1040.24 ( m)
水蒸気近赤外吸収　 2　( )  10
1[  ( m)2.5]2
水蒸気６ ｍバンド吸収　 3 ( )  10
30.9[  ( m)6]2
CO２１０ ｍバンド吸収　 4 ( )  10
2.73.2[  ( m) 9.5]2
CO２１５ ｍバンド吸収　 5 ( )  10
3.82.5[  ( m) 15]2
CO２１６ ｍバンド吸収　 6 ( )  10
20.35[  ( m) 15.5]2
大気全吸収　  G  1 ( )   2　( )   3 ( )   4 ( )   5 ( )   6 ( )
次ページの上図は前と同じ大気の光学的深さの測定値で、下図は上の近似式を
グラフにしたものである。バンドの形等細かいところでの違いはあるが、今後はこ
の近似式で話を進める。
大気上端から地上までの光学的深さτ（ λ）
4
H2O
3
log　τ（λ）
2
CO2
CO2
H2O
1
0
-1
-2
0
5
10
λ（μｍ）
15
20
大気光学的深さτ（λ）　モデル1：CO２標準　モデル２：CO２倍
25
CO2標準
CO2*1.5
4
3
l og τ
2
1
0
-1
-2
0
5
10
15
λ
20
25
ロスランド平均光学的深さ τR
ロスランド平均の定義は、
1 dB T 
d

1
 dT

dB T 
R
d

dT
大気のκλは温度T の関数であるが、温度依存を無視すると、大気表面から地表ま
での平均光学深さ τR＝∫ κR ρｄｘは上と同じ形、
1 dB T 
d

 dT
1
 
dB T 
R
 dT d
ch2
1
B  5
 exp ch  1


 kT 
dB ch2 X  exp X
 5
dT
 exp X 12 T
なので
となる。
で計算できる。
ch
14388
X

kT (m)T (K )
とおき、
簡単に前頁の積分を、下式のような和で置き換え、T=２８０Kて計算すると、
X i exp X i

2
5




exp
X

1
T
1
i
i i

X i exp X i
R
i 5 exp X 12T
i
1
 R  0.359
大気上端の温度として（ちょっと高いが）To=260Kを採用する。すると、
1
 3
 4
TG  1   0.359  260  289.6 K
 2

8
F    B T   
3.74210
 m5
1
 14388.3 
exp
1

  mT (K) 
W / m
 R 
2
 の時　T    T0  1  G 
3
  
G

G

G
2
2
 の時　T    TG
3
/ m
1
4
大気輻射スペクトル
CO　正常
黒体（TG）
黒体（To)
15
20
30
F λ （W/ｍ２ /μｍ」
25
20
15
10
5
0
0
5
10
25
λ（μｍ）
吸収の強い波長帯では T=To （大気上端）の黒体輻射
吸収の弱い波長帯では T=TG(地表)の黒体輻射
問題８２００５年１２月１２日
提出 2005年1２月１９日
８A
魔法瓶の外壁は室温To=３００K、内壁は中のお湯の温度Ti=３７０Kに保たれている。
簡単のため外壁と内壁は黒体、その間は真空と考える。
（１）内壁から外壁に流れる１ｍ２当たりの熱流の大きさW0を求めよ。
（２）内壁と外壁の間に黒体の膜を１枚張る。この時の熱流W1をW0で表せ。
（３）膜がN枚ではどうか？
WN
．．．
Ti
８B
T１
T２
TN
To
To＝２６０K一定として、大気中COが２倍になると、地表温度は何度にな
るか？その時、Fλが増加する波長と減少する波長が生じる理由を述べよ。

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