情報の集約記述統計 1 よくある数値例 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 A 0 0 0 0 0 10 10 10 10 10 B 5 5 5 5 5 5 5 5 5 C 0 5 5 5 5 5 5 5 5 10 5 2 階級と度数 • データをxiで表す • xiの値がとりうる範囲をいくつかの区分に分けて集計することを考える • 各区分を階級とよぶ • 階級の中央の値を階級値とよぶ • 各階級にxiが表れる回数を度数とよぶ • 階級ごとに度数を表した表を度数分布表とよぶ 3 度数分布表階級 3.33 5.00 8.33 合計 A 5 0 5 10 B 0 10 0 10 C 1 8 1 10 4 棒グラフによる表現 • • • • 縦軸に階級横軸に階級それぞれの棒は接して表現されることが多い多くの場合「ヒストグラム」とよばれる 5 Aグループ 6 5 4 3 2 1 0 3 1/3 5 8 1/3 6 Bグループ 12 10 8 6 4 2 0 3 1/3 5 8 1/3 7 Cグループ 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 3 1/3 5 8 1/3 8 ヒストグラム間比較の問題点 • 階級の影響 • 縦軸（度数）意味が不明 • 全標本の数が異なった場合への対応 9 細かい区分による度数分布表階級 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 B 0 0 0 0 0 10 0 0 0 0 0 C 1 0 0 0 0 8 0 0 0 0 1 10 より細かい階級による表現（A） 6 5 4 3 2 1 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 より細かい階級による表現（B） 12 10 8 6 4 2 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 より細かい階級による表現（C） 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 13 相対度数 • 全標本の個数に対する各階級の度数の割合を相対度数とよぶ • 最大値は1.0 • 最小値は0.0 • 相対度数の利用により、標本の総数が違う場合でも比較が可能となる 14 相対度数分布表階級 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A 0.5 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.5 B 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 C 0.1 0.0 0.0 0.0 0.0 0.8 0.0 0.0 0.0 0.0 0.1 15 棒グラフで表現 • 縦軸に相対度数 • 横軸に階数 • 縦軸の最大値を1.0に統一 16 相対度数（A） 1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 17 相対度数（B） 1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 18 相対度数（C） 1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 19 平均三種（Average） • 平均（Mean） • 中央値（Median） • 最頻値（Mode） 20 Mean • 相加平均 • 算術平均 • 平均 x1  x2    xn 1 x   xi  n i 1 n n 21 MeanとTotalの関係 n 1 x   xi n i 1 n nx   xi i 1 22 Median • 中央値 • 小さい順に並べた時に中央に位置する値 • データが偶数個の場合は中央に近い２つの値の算術平均 • 異常値に強い • １つまたは２つの値のみしか利用していない 23 Mode • • • • • 最頻値もっとも頻繁に出現した値一つとは限らない連続量の場合、階級によって値が変わる名義尺度であっても意味を持つ 24 平均三種 Mean Median Mode A 5 5 0,10 B 5 5 5 C 5 5 5 25 平均からの偏差の利用ばらつきの指標 26 平均からの偏差 xi  x xiが平均からどれだけ隔たっているかの指標 27 平均からの偏差の総和 n  x  x   0 i 1 i 問題平均からの総和がゼロになることを証明しなさい 28 平均からの偏差の二乗の平均 n 1 2 xi  x   n i 1 分散とよび、ばらつきの指標として利用される Vで表されることが多い 29 問題分散の定義式を展開し整理しなさい n 1 2 V   xi  x  n i 1 30 分散の平方根分散の平方根を標準偏差とよぶ Dやσで表されることが多い  D V 31