1章データの整理 - Econom01 Web Site, Sophia

3章確率変数とその分布
3.3 分布の代表値
■確率変数の平均値
（確率変数の）期待値 (Expected Value)
（確率分布の）理論平均値 (Theoretical Mean)
例２つのサイコロを振ったとき、
出る目の和 x の期待される値は？
２つのサイコロの目の和
1,000 回の実験結果
相対度数
確率
20%
相対度数
確率
15%
10%
5%
0%
2
3
4
5
6 7 8
目の和　x
9
10 11 12
期待値(Expected Value)
標本平均値の極限または理想化
離散確率変数の場合：
m
x  計(階級値 相対度数)   xi  f i / n
i 1
相対度数 fi / n
↓ 観測個数 n が増加した極限 or 理想化
確率 p(xi)
m
理論平均：   xi p xi   E[ X ] ： Xの期待値
i 1
期待値の例： 2つのサイコロの目の和
（実験データとの比較）
(1)
確率変数
(2)
度数
(3)
相対度数
(4)
確率
(5)
x
fx
fx / n
p(x)
x (fx / n)
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
23
57
74
111
128
171
137
109
102
49
39
1000
0.023
0.057
0.074
0.111
0.128
0.171
0.137
0.109
0.102
0.049
0.039
1
0.0277778
0.0555556
0.0833333
0.1111111
0.1388889
0.1666667
0.1388889
0.1111111
0.0833333
0.0555556
0.0277778
1
0.046
0.171
0.296
0.555
0.768
1.197
1.096
0.981
1.020
0.539
0.468
7.137
Σ
=n
(6)
平均
=標本平均
x p(x)
0.0555556
0.1666667
0.3333333
0.5555556
0.8333333
1.1666667
1.1111111
1
0.8333333
0.6111111
0.3333333
7
= E[X] =μ
連続確率変数の場合：
例：区間 [0, 1] の逆数平方根分布
F(x) = x 0.5, f(x) = 0.5 x – 0.5
標本＆確率
密度
5
f(x)=0.5x^-0.5, 実験 n = 10,000 回
標本密度
確率密度
4
3
2
1
x
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
連続確率変数の場合：
x  計(階級値  相対度数)
 計(階級値  密度  級幅)
 fi / n 
x i
  x i 
i 1
 x i 
m
極限を取る： n  , m   (xi  0)

理論平均値：   x f ( x )dx

 E[ X ] ： Xの期待値
例区間 [0, 1] のベキ乗型分布
a
–
1
x
a
x ,
F(x) =
f(x) = a
1
  E[ X ]   x f ( x ) dx
0
1
  x (a x
0
a 1
1
) dx   a x dx
0
1
a
 1
a 1 
a
x  
a  1
0 a  1
先の実験例の場合 a = 1 / 2
よって μ = (1/2) / [(1/2) + 1] = 1 / 3
a
■分散と標準偏差
理論分散 σ  E[(X  μ) ]  V [ X ]
2
2
m
離散型 V [ X ]   ( x i  μ) 2 p( x )
i 1

連続型 V [ X ] 

理論標準偏差
σ  V [X ]

( x  μ) f ( x)dx
2
2つのサイコロの目の和 x の
理論分散 σ2 と理論標準偏差 σ
x
p(x)
(x–7)2
(x–7)2 p(x)
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1/36
2/36
3/36
4/36
5/36
6/36
5/36
4/36
3/36
2/36
1/36
36/36
25
16
9
4
1
0
1
4
9
16
25
25/36
32/36
27/36
16/36
5/36
0/36
5/36
16/36
27/36
32/36
25/36
σ2 = 210/36
= 5.833333
σ = 2.415229
Σ
■期待値の計算
E[aX  b]  aE[ X ]  b
X, Y を確率変数とすると
E[ X  Y ]  E[ X ]  E[Y ]
■分散式の分解
V [ X ]  E [( X  μ) ]
2
 E [ X  2 μX  μ ]
2
2
 E[ X ]  2 μ E[ X ]  μ

2
μ
 E[ X ]  μ
2
2
2
例区間 [0,1] のベキ乗型分布
F(x) = x a, f(x) = a x a – 1
1
1
E[ X ]   x f ( x ) dx   x (a x
2
2
0
1
 ax
0
a

a2
0
2
a 1
) dx
1
a 1
 1
a2 
dx  a 
x 
a  2
0
a
 a 
  E[ X ]   


a  2  a 1
2
2
2
2
2
a a 1  a 
a  a 1
a 



 


a 1 a  2  a 1
a 1 a  2 a 1
1
 
 


2
2
a  a  2a  1  a  2a 
a


2

a 1
a  2a  1
 a  2a  1




先の実験例の場合 a = 1/2、よって
σ2 = (1/2) / {[(1/2) + 2][ (1/2) + 1]2 } = 4 / 45
σ = 2 / (3√5)
確率変数 X の標準化 (Standardization)
分散の定義より
2
V [a X  b ]  a V [ X ]
V [a X  b ]  a
Z
X 

V[X ]
  E[ X ],  
と置くと E[Z] = 0, V[Z] = 1
V[X ]


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