3章確率変数とその分布 3.3 分布の代表値 ■確率変数の平均値（確率変数の）期待値 (Expected Value) （確率分布の）理論平均値 (Theoretical Mean) 例２つのサイコロを振ったとき、出る目の和 x の期待される値は？２つのサイコロの目の和 1,000 回の実験結果相対度数確率 20% 相対度数確率 15% 10% 5% 0% 2 3 4 5 6 7 8 目の和　x 9 10 11 12 期待値(Expected Value) 標本平均値の極限または理想化離散確率変数の場合： m x  計(階級値 相対度数)   xi  f i / n i 1 相対度数 fi / n ↓ 観測個数 n が増加した極限 or 理想化確率 p(xi) m 理論平均：   xi p xi   E[ X ] ： Xの期待値 i 1 期待値の例： 2つのサイコロの目の和（実験データとの比較） (1) 確率変数 (2) 度数 (3) 相対度数 (4) 確率 (5) x fx fx / n p(x) x (fx / n) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 23 57 74 111 128 171 137 109 102 49 39 1000 0.023 0.057 0.074 0.111 0.128 0.171 0.137 0.109 0.102 0.049 0.039 1 0.0277778 0.0555556 0.0833333 0.1111111 0.1388889 0.1666667 0.1388889 0.1111111 0.0833333 0.0555556 0.0277778 1 0.046 0.171 0.296 0.555 0.768 1.197 1.096 0.981 1.020 0.539 0.468 7.137 Σ =n (6) 平均 =標本平均 x p(x) 0.0555556 0.1666667 0.3333333 0.5555556 0.8333333 1.1666667 1.1111111 1 0.8333333 0.6111111 0.3333333 7 = E[X] =μ 連続確率変数の場合：例：区間 [0, 1] の逆数平方根分布 F(x) = x 0.5, f(x) = 0.5 x – 0.5 標本＆確率密度 5 f(x)=0.5x^-0.5, 実験 n = 10,000 回標本密度確率密度 4 3 2 1 x 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 連続確率変数の場合： x  計(階級値  相対度数)  計(階級値  密度  級幅)  fi / n  x i   x i  i 1  x i  m 極限を取る： n  , m   (xi  0)  理論平均値：   x f ( x )dx   E[ X ] ： Xの期待値例区間 [0, 1] のベキ乗型分布 a – 1 x a x , F(x) = f(x) = a 1   E[ X ]   x f ( x ) dx 0 1   x (a x 0 a 1 1 ) dx   a x dx 0 1 a  1 a 1  a x   a  1 0 a  1 先の実験例の場合 a = 1 / 2 よって μ = (1/2) / [(1/2) + 1] = 1 / 3 a ■分散と標準偏差理論分散 σ  E[(X  μ) ]  V [ X ] 2 2 m 離散型 V [ X ]   ( x i  μ) 2 p( x ) i 1  連続型 V [ X ]   理論標準偏差 σ  V [X ]  ( x  μ) f ( x)dx 2 2つのサイコロの目の和 x の理論分散 σ2 と理論標準偏差 σ x p(x) (x–7)2 (x–7)2 p(x) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36 36/36 25 16 9 4 1 0 1 4 9 16 25 25/36 32/36 27/36 16/36 5/36 0/36 5/36 16/36 27/36 32/36 25/36 σ2 = 210/36 = 5.833333 σ = 2.415229 Σ ■期待値の計算 E[aX  b]  aE[ X ]  b X, Y を確率変数とすると E[ X  Y ]  E[ X ]  E[Y ] ■分散式の分解 V [ X ]  E [( X  μ) ] 2  E [ X  2 μX  μ ] 2 2  E[ X ]  2 μ E[ X ]  μ  2 μ  E[ X ]  μ 2 2 2 例区間 [0,1] のベキ乗型分布 F(x) = x a, f(x) = a x a – 1 1 1 E[ X ]   x f ( x ) dx   x (a x 2 2 0 1  ax 0 a  a2 0 2 a 1 ) dx 1 a 1  1 a2  dx  a  x  a  2 0 a  a    E[ X ]      a  2  a 1 2 2 2 2 2 a a 1  a  a  a 1 a         a 1 a  2  a 1 a 1 a  2 a 1 1       2 2 a  a  2a  1  a  2a  a   2  a 1 a  2a  1  a  2a  1     先の実験例の場合 a = 1/2、よって σ2 = (1/2) / {[(1/2) + 2][ (1/2) + 1]2 } = 4 / 45 σ = 2 / (3√5) 確率変数 X の標準化 (Standardization) 分散の定義より 2 V [a X  b ]  a V [ X ] V [a X  b ]  a Z X   V[X ]   E[ X ],   と置くと E[Z] = 0, V[Z] = 1 V[X ] 