経済統計学第4回 Business Statistics

統計学
12/13（木）
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講義全体の流れ
第１部記述統計：データの特性を記述
第２部確率論：推測統計への橋渡し
第３部推測統計：データから全体像を推測
・推測統計とは
・母集団平均の区間推定
・母集団平均の検定 ←今日はここ！
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前回までの内容①
• 推測統計の四つのキーワード
母集団 ⇔ 標本（サンプル）
母集団特性値 ⇔ 標本統計量
⇒母集団の特徴を数値化したものを、データ
（標本）から計算した統計量で推測する。
• 推測統計の二本柱：区間推定と検定
⇒実はこの二つは表裏一体。
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前回までの内容②
• （母集団平均μの）区間推定
μの値は未知。
⇒μの値を推定するには誤差がつきもの
⇒誤差を含めて、μの値が（例えば９５％の確
率で）どれくらいの範囲に収まるかをデー
タから推定。
⇒方法：中心極限定理の応用
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前回の復習：区間推定
と  2は母集団平均と母集団分散。
中心極限定理より、 Z 
X 
2 n
～N (0,1)
 2は未知なので、標本分散s 2を代入。
t
X 
s2 n
～t n 1.　自由度n  1の t - 分布
の信頼係数95％の信頼区間は
X  t 0.025 ,n 1 s 2 n    X  t 0.025 ,n 1 s 2 n .
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今日やること：（仮説の）検定
• 母集団平均μの値に関して仮説を立てる
（例：μ=３）。
• その仮説を受け容れるべきか却下すべき
か「検定」する。（例：μ=３ or μ≠３？）
重要ポイント
①再び「中心極限定理」を使う
②区間推定と検定は表裏一体（次頁参照）
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考え方：区間推定から検定へ
前回例：某工場製の電球の平均寿命μ
Ｑ：「電球の平均寿命μが2500時間である」と
いう仮説は受け容れられるか否か？
⇒信頼係数９５％で区間推定をやると
2537.78時間≦μ≦2648.62時間。
⇒2500時間かもしれないが、その可能性は
５％以下。よって、仮説は却下してよい。
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検定における慣例：背理法
重要：二つの仮説（H0とH1）を立てる。
①主張したいことは、H1（対立仮説）に。
②その反対の内容をH0（帰無仮説）に。
H0のもとで議論を展開して矛盾を導く。
⇒矛盾があれば、H0を棄却。H1受け容れ。
注：いつも矛盾が見つかるとは限らない。
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検定の手順：中心極限定理
例：H0：μ＝３、H1：μ≠３
①H0 :  ３の下で Zを計算： Z 
X 3
2 n
～N (0,1).
②もし Z  1.96、或いは Z  1.96なら僅か５％の
確率でしか起こらないので、矛盾といえる。
③最初に想定した H0 :   3を「有意水準５％で」
却下し、 H1 :   3を受け容れる。
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検定の修正
母集団分散σ2の値は未知←要推定
n
s2 
Z

( X i  X )2
i 1
n 1
X  X
2 n
これを代用して Zを再計算。
～N (0,1)  t 
X  X
s2 n
～t n 1
自由度n  1の t - 分布（前回参照）に従う。
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仮説検定の例
• 某工場で製造中の電球の平均寿命を推定
• １０個の電球を標本調査。
• 標本の平均は2,593.2時間、標準偏差は
77.48。
• t‐分布表より、自由度９（＝１０－１）の時、
2.5％の臨界値は2.262。
⇒Q：平均寿命は2700時間といえるか？
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仮説検定の例（続）
H0：   2700,　H1
：   2700
2693.2  2700
t
 4.359  t0.025 (9)  2.262
77.48 10
t - 検定量がこの値を取る可能性は５％未満。
 矛盾。最初に想定した 2700という値が変。
 有意水準５％で H0を却下。 H1を採択。
 結論：電球の寿命が 2700時間といえない。
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付論①：有意水準について
• 有意水準５％でH0を棄却する意味
• H0が正しい可能性は５％以下なので、H0
を棄却し、H1を受け容れる。
⇒しかし、H0が正しい可能性も５％残る。
⇒用語：第１種の誤り
H0が本当は正しいのに、誤って棄却すること
⇒第１種の誤りが起こる確率＝有意水準
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第１種の誤りの特性
• 小標本（ｔ-分布から境界値）なのに大標本
法を採る（正規分布から境界値）と、第１種
の誤り（正しいH0を否定）の確率が高い。
例：自由度10で t = 2.0。H0は正しいとする
有意水準５％の境界値はそれぞれ
ｔ-分布：2.228 → H0を棄却できない
正規分布：1.96 → H0を棄却できる
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第２種の誤り
• 第２種の誤りとは
「本当は誤っているH0を棄却できないこと」。
第１種の誤りの可能性を小さくするには、
有意水準を下げる（例：５％→１％）こと。
→その場合、第２種の誤りの可能性が高くな
る（棄却域が狭くなってしまうから）。
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第１種の誤りと第２種の誤り
H0を採択
H0は正しい ○
H0は誤り
第２種誤り
H0を棄却
第１種誤り
○
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付論②：両側検定と片側検定
（例）H0：μ＝３のとき、
両側検定
H1：μ≠３ ←等号の両側を考慮
片側検定 ↓等号の片側だけを考慮
H1：μ＞３（あるいは、H1：μ＜３）
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片側検定のための境界値
• 有意水準５％で検定をするならば、境界値
として、
小標本：ｔ0.05（≠ｔ0.025 ）
大標本：1.645（≠1.96）
↑なぜそうなるのかは確率分布図を描いて理
解せよ。
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