【第四講義】接空間と接写像 1 【質問】剛体回転において， y ●有理比回転の場合，〔〕個の〔〕が存在する． ●無理比回転の場合，〔〕個の〔〕が存在する． ●無理比回転の場合，軌道は〔〕である．という性質が成り立つ． W 0 0 x 1 【前回の復習】【質問】不変集合が，カオス的であるための３条件を述べよ．【回答】コンパクト性，分解不可能性，不安定性．【質問】分解不可能性の定義を一つ挙げよ．【回答】位相推移性あるいは位相混合性．【質問】コンパクトな不変集合が，位相推移的であるとき，いかなる軌道が存在するか．【回答】稠密な軌道．【質問】カオス的不変集合が，満たすと期待される４つの様相を述べよ．【回答】乱雑な軌道．可算個の周期軌道が存在し，その全体は稠密．非可算個の非周期軌道，稠密な軌道【質問】右の写像の不変集合は，カオス的であることを説明せよ．【質問】有理回転と無理回転のそれぞれで，右の写像は，カオス的ではないことを説明せよ．【質問】周期点が漸近安定であるための必要十分条件を述べよ．【不動点定理と漸近安定性】【定義：縮小写像】完備な距離空間(U,d)上の写像F : U→Uが，任意の元x,yに対して d(Fx,Fy) ≦ s d(x,y) < d(x,y) を満足するならば，Fを縮小写像という．【定理：不動点定理】距離空間(U,d)上の縮小写像F : U→Uは，・唯一の不動点pを持つ・任意のxに対して， limn→∞ xn→p なる大域的漸近安定性を満足する．【証明の手順】・軌道{xn}は，コーシー列である．・コーシー列であるならば，完備性より不動点へ収束する．・不動点が存在するならば，１つである．【質問】縮小写像の不動点は唯一である理由を述べよ．【質問】線形写像F : x |→ Axが，縮小写像である場合，作用素Aが満たす条件を述べよ．【回答】||Ax-Ay||= ||A(x-y)|| ≦ s ||x-y|| において，リプシッツ定数sは，s = sup||e||=1 ||Ae|| を満足する．右辺は，行列Aのスペクトルノルム||A||である．よって，||A|| < 1. 【解析学の復習】【質問】(x,y,z) = (a,b,f(a,b)) における陰関数表現された曲面0= f(x,y) - z の接平面を求めよ．【回答】(x,y,z) = (a,b,f(a,b)) における曲面0 = f(x,y) - z の法線ベクトルは？ n = grad(f(x,y) – z)](x,y,z)=(a,b,f(a,b)) = (fx(a,b),fy(a,b),-1). よって，接平面は， 0 = n・(x-a,y-b,z-f(a,b)) = fx(a,b)(x-a) + fy(a,b)(y-b) - (z-f(a,b)) ．【質問】可微分写像F(x,y)=(f(x,y),g(x,y))の(x,y) = (a,b) における線形近似を求めよ．  x   f (a, b)  f x (a, b)(x  a)  f y (a, b)( y  b)  【回答】 F :     y   g (a, b)  g (a, b)(x  a)  g (a, b)( y  b)     x y   f (a, b)   f x (a, b) f y (a, b)  x  a           g (a, b)   g x (a, b) g y (a, b)  y  b   f ( a, b )   x  a   DF( x , y )( a ,b )      g ( a, b)   y  b ヤコビ行列【接空間と接写像】【定義：接空間と接写像】２次元可微分同相写像 F : U → Uにおいて， x=aで定義される線形空間TaUを接空間といい，線形写像 F*a :  TaU  DF xa  TFaU を接写像という． F*a TaU TFaU Fa F a U 【定義：n周期点の特性乗数】２次元可微分同相写像 F : U → Uにおいて，周期点{p0,p1,..,pn-1}に関する合成接写像 F* pn1 F* pn2    　F* p1 F* p0 :  Tp0U  DFx pn1     DFx po  Tp0U の固有値を特性乗数という．【周期点の接空間】 B=DF] x=p1 Tp1R2 ua ub Tp2R2 P2 P1 vb va F P0 ABCua = aua R2 A=DF] x=p0 C=DF] x=p2 Tp0R2 wb wa A，BおよびCの各々の固有空間ではなく，ABC, BCA, CABの固有空間である．【周期点の安定性分類】 Im 安定ノード：|a|<|b|<1 サドルノード：|a|<1<|b| Re 安定フォーカス：s2w2<1 【質問】不安定ノードおよび不安定フォーカスの極配置を示せ．