第6週：時間応答（2） 1/12 ２次系 高次系 むだ時間系 TUT, System & Control laboratory 2/12 今週の授業の目的今週の大きな目的２次系でのインパルス応答，インディシャル応答について学ぶ．また，高次系，むだ時間系についても学ぶ．今週の授業内容も，実対象の応答をシミュレーション，解析する際に利用できる．  ２次系の実例を学ぶ  ２次系のインパルス応答，インディシャル応答について学ぶ  高次系について学ぶ  むだ時間系について学ぶ TUT, System & Control laboratory 3/12 ２次系（機械モデルによる一例） Kn G( s)  2 2 s  2n s  n 2 x(t) m c f(t) k (1 / m) G( s)  2 s  (c / m) s  (k / m) n 2 k  m n  k m c 2n  m k c 2  m m c   2 km 1 m k 1 K  m m 1 K  k Kn  2 TUT, System & Control laboratory 4/12 ２次系（インパルス応答）（１）減衰係数が 0<<1 の場合，伝達関数 y (t )  L1[Y ( s )] Kn G( s)  2 2 s  2n s  n 2 入力信号出力のs領域出力の時間領域 U ( s)  1  1   2n  n / 1   2   L K 2 2 2  s  n   1   n  1 K  n  t 2 e sin 1   nt 2 1  n  Y ( s )  G ( s )U ( s ) Kn  2 2 s  2n s  n 2 課題１：出力の時間領域の応答を導出すること．（導出過程を丁寧に記述すること） 1   2 n  n / 1   2 K 2 2 2 s  n   1   n TUT, System & Control laboratory 5/12 ２次系（インパルス応答）（２）減衰係数が 0<<1 の場合，  減衰係数が =1 の場合， n  t 2 y (t )  K e sin 1   n t 2 1  n y(t) K  y(t )  Kn tent 2 y(t) n  t e 1  2 n 0 t n  t K e 1  2 0 n t y(t) 減衰係数が >1 の場合，  K n  n t  n y (t )  e e 2 2  1  2 1t e  n  2 1t  0 t 6/12 ２次系（インディシャル応答）（１）減衰係数が 0<<1 の場合，伝達関数入力信号 Kn G( s)  2 2 s  2n s  n 2 U (s)  1 s 出力のs領域 Y ( s )  G ( s )U ( s ) K n 1  2 2 s  2n s  n s 2  s  2n 1  2  2 s  2n s  n s   1  ( s  n )  n / 1   2n  1   2n    K    2 2 2 2 2 2  s   ( s   )  ( 1   )   s     1    n n n n   ２次系（インディシャル応答）（２）減衰係数が 0<<1 の場合，出力のs領域 Y ( s )  G ( s )U ( s ) 7/12 課題２：出力の時間領域の応答を導出すること．（導出過程を丁寧に記述すること）   1  ( s  n )  n / 1   2n  1   2n    K    2 2 2 2 2 2  s   ( s   )  ( 1   )   s     1    n n n n   出力の時間領域 y (t )  L1[Y ( s)]    nt  2 2   K 1  e cos 1    t  sin 1   n t n 2  1     特に，減衰係数が =0 の場合，   y (t )  K 1  cos(nt )       8/12 ２次系（インディシャル応答）（３）減衰係数が =1 の場合，伝達関数 Kn Kn G( s)  2  2 s  2n s  n s  n 2 2 2 入力信号 U (s)  出力のs領域 1 s 出力の時間領域 y (t )  L1[Y ( s)]  K 1  (1  nt )e nt  Y ( s )  G ( s )U ( s ) K n 1  s  n 2 s 2 1 n 1    K    2  s s  n  s  n  TUT, System & Control laboratory 9/12 ２次系（インディシャル応答）（４）減衰係数が >1 の場合，出力の時間領域 y (t )  L1[Y ( s )] 伝達関数 Kn G( s)  2 2 s  2n s  n 2   入力信号 U (s)  出力のs領域   1 e  nt n 2  K 1       1 e 2 2  1       1 e 1 s 2 n  2 1t  2 1t  Y ( s )  G ( s )U ( s ) K n 1  2 2 s  2n s  n s 2          1     2 1 / 2  2 1    2 1 / 2  2 1  K    2 2 s s       1  s       1n  n n n    10/12 ２次系（インディシャル応答）（５）減衰係数が 0<<1 の場合，    n t  2 2  y (t )  K 1  e cos 1    t  sin 1   n t n 2  1    減衰係数が =1 の場合，  減衰係数が >1 の場合，  1 e  nt n 2 y (t )  K 1       1 e 2 2  1          y (t )  K 1  (1  nt )e nt     2 1t      1 e 2 n  2 1t  y(t) K =0.1 =0.5 =1 =5 0 t TUT, System & Control laboratory 11/12 高次系１入力１出力の線形システムは，ai（i=1，2，・・・，n）， aj（j=1，2，・・・，m）を定数として，一般に次の微分方程式で表される． an y ( n ) (t )  an1 y ( n1) (t )    a1 y (1) (t )  a0 y (t )  bmu ( m ) (t )  bm1u ( m1) (t )    b1u (1) (t )  b0u (t ) ( n1) (1) ( m1) (1) y ( 0 )    y ( 0 )  y ( 0 )  u ( 0 )    u (0)  u (0)  0 ただし伝達関数 Y ( s ) bm s m  bm1s m1    b1s  b0 G(s)   U ( s ) an s n  an1s n1    a1s  a0 一般にn≧mであり， n＞mのとき厳密にプロパーな伝達関数， n≧mのときプロパーな伝達関数と呼ぶ．（制御工学ではn≧mの場合を取り扱う）伝達関数G(s)において，分母多項式のsの次数が３以上の高次系については，１次遅れ系，２次遅れ系の合成系としてみなすことができる． TUT, System & Control laboratory 12/12 むだ時間系信号の伝達に遅れが生じる系．例えば，ネットワークを利用するような遠隔制御などのことである．むだ時間L>0とすると，入出力信号は， y(t)=u(t-L) の関係となる．また，伝達関数は以下の式である． Y ( s) G( s)   e sL U ( s) u(t) u(t) 入力 0 t U(s) 出力 e-sL Y(s) 0 t L TUT, System & Control laboratory