ディジタル信号処理 デザイン情報学科 メディア情報設計 河原英紀 2002.6.13 ディジタル信号処理 1 本日の予定 伝達関数の実現 直接実現 → 標準形 伝達関数と差分方程式 低次システムの直列接続 極、零点配置と伝達特性 離散的Fourier変換 2002.6.13 ディジタル信号処理 2 一般的な伝達関数の直接実現 zの有理関数として表された伝達関数を実 現する。 システムの 直列接続と見る 2002.6.13 ディジタル信号処理 3 一般的な伝達関数の直接実現 zの有理関数として表された伝達関数を実 現する。 分母、分子、それぞれの システムを実現し直列に接続する 2002.6.13 ディジタル信号処理 4 分母のシステムの実現 zの有理関数として表された伝達関数を実 現する。 差分方程式に 変換する 入出力の関係を求める ため、両辺にX(z)を掛ける 2002.6.13 ディジタル信号処理 5 分母のシステムの実現 両辺にX(z)を掛ける システムの出力となるのでY(z)とおく 2002.6.13 ディジタル信号処理 6 分母のシステムの実現 システムの出力をY(z)とおく 両辺に分母 の多項式を掛け 整理する 2002.6.13 ディジタル信号処理 7 分母のシステムの実現 両辺に分母の多項式を掛け整理する 右辺に移項し、出力をX(z)とY(z)の 関数として表す 2002.6.13 ディジタル信号処理 8 分母のシステムの実現 右辺に移項し、出力をX(z)とY(z)の関数とし て表す 推移定理を使い 差分方程式にする ー 2002.6.13 ディジタル信号処理 9 分母のシステムの実現 推移定理を使い差分方程式にする 差分方程式を 実現する回路に 変換する 2002.6.13 ディジタル信号処理 10 分母のシステムの実現 + 差分方程式を実現する回 路に変換する 2002.6.13 ディジタル信号処理 - 11 一般的な伝達関数の直接実現 zの有理関数として表された伝達関数を実 現する。 分母、分子、それぞれの システムを実現し直列に接続する 2002.6.13 ディジタル信号処理 12 分子のシステムの実現 zの有理関数として表された伝達関数を実 現する。 入出力の関係を求める ため、両辺にX(z)を掛ける 2002.6.13 ディジタル信号処理 13 分子のシステムの実現 入出力の関係を求めるため、両辺にX(z)を 掛ける システムの出力となるのでY(z)とおく 2002.6.13 ディジタル信号処理 14 分子のシステムの実現 システムの出力をY(z)とおく 推移定理を使い 差分方程式にする 2002.6.13 ディジタル信号処理 15 分子のシステムの実現 推移定理を使い差分方程式にする 差分方程式を 実現する回路に 変換する 2002.6.13 ディジタル信号処理 16 分子のシステムの実現 差分方程式を実現する回 路に変換する 2002.6.13 ディジタル信号処理 17 分子、分母のシステムの接続 分母の システム 分子の システム 2002.6.13 ディジタル信号処理 18 分子、分母のシステムの接続 遅延素子は 二重に必要か？ 2002.6.13 直列につながったシステムは 順序を入れ替えても同じ ディジタル信号処理 19 構成の簡単化 2002.6.13 ディジタル信号処理 20 構成の簡単化 分母側を 入力側に 移す 2002.6.13 ディジタル信号処理 21 構成の簡単化 共通化 できる 同じ情報を 順送りしている 2002.6.13 ディジタル信号処理 22 一般的な伝達関数の直接実現 原理的には これで どのような 伝達特性でも 実現できる 2002.6.13 M,Nが大きいとき 桁落ちによる 精度劣化が生ずる ディジタル信号処理 23 低次システムの接続による実現 実係数の代数方程式は実根あるいは共役複素根を持つ b0(k ) b1(k )z1 b2(k )z2 H(z) (k ) 1 (k ) 2 1 a1 z a2 z k d (l ) 0 d1(l ) z1 b0(m ) b1(m )z1 b2(m )z2 l m 1 c (n) 1 1 n 2002.6.13 ディジタル信号処理 z 1 a ) 2 z a(m 2 z (m ) 1 1 r 24 直接実現と低次システムの接続 による実現の比較 加算器での相対誤差が 0.001の場合 ある周波数成分が1/1000になると仮定 3段の接続で実現できると仮定 100%の 相対誤差！ 直接実現の相対誤差 = (0.001+1/1000)/0.001-1 = 1 約3%の 相対誤差！ 低次システムの接続による実現の相対誤差 = (0.1+1/1000) (0.1+1/1000) (0.1+1/1000) /0.001-1 = 0.030301 2002.6.13 ディジタル信号処理 25 低次システムの接続による実現 共役複素根を持つ場合の例 零点 b0(k) 1 zkP z1 1 z*kP z1 b0(k ) b1(k )z1 b2(k )z2 H(z) (k ) 1 (k ) 2 1 * 1 1 a z a z 1 z z 1 z k 1 2 k kQ kQ z 2002.6.13 ディジタル信号処理 極 26 低次システムの接続による実現 零点 1 z z 1 z z H(z) 1 z z 1 z z 1 (k ) 0 b kP 1 k zkQ e j z e j * kQ 2002.6.13 kQ * 1 kP * 1 kQ 極 * は共役複素数を表す ディジタル信号処理 27 極零配置と伝達特性 zkQ e j z e j * kQ 2002.6.13 ディジタル信号処理 28 極零配置と伝達特性のデモ 複素平面 振幅周波数特性 2002.6.13 ディジタル信号処理 29 離散的Fourier変換 Discrete Fourier Transform (DFT) （後で出てくるFFTは、DFTを高速化したもの。 計算している内容はDFTと同じ） DFTは、周期的な離散信号のFourier変換 0 以外の整数 2002.6.13 ディジタル信号処理 30 周期的な離散信号 2002.6.13 ディジタル信号処理 注目する区間が 繰り返されると見なす 31 周期的な離散信号 2002.6.13 ディジタル信号処理 円環上の信号 32 複素指数関数を用いた表現 総和の上限は どこまで？ 2002.6.13 ディジタル信号処理 33 離散的複素指数関数の性質 周波数領域にも 周期性がある （配付資料ではkとnが入れ代わっている） 2002.6.13 ディジタル信号処理 34 複素指数関数を用いた表現 標本点と同じ個数の 複素指数関数の和で表すことができる 2002.6.13 ディジタル信号処理 35 複素指数関数の係数を求める を両辺に掛けてN個の総和を求める n = 0,1,...N-1 2002.6.13 ディジタル信号処理 36 複素指数関数の係数を求める 2002.6.13 ディジタル信号処理 37 複素指数関数の係数を求める 直交性を利用して計算する 2002.6.13 ディジタル信号処理 38 離散的複素指数関数の直交性 課題：等比級数の部分和の公式を利用して 上記の関係が成立することを確かめよ。 2002.6.13 ディジタル信号処理 39 複素指数関数の係数を求める 2002.6.13 ディジタル信号処理 40 複素指数関数の係数を求める 離散的フーリエ変換 2002.6.13 ディジタル信号処理 41 離散的Fourier変換と逆変換 離散的 Fourier変換 (DFT) 離散的 Fourier逆変換 (IDFT) 2002.6.13 ディジタル信号処理 42 数値例（課題） x[n],n 0,1,2,3,4,5 1,1,1,0,0,0 N 6 x[n],n 0,1,2,3 1,0,1,0 N 4 について、DFTを求めよ。 2002.6.13 ディジタル信号処理 43
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