３．正方行列 1 正方行列正方行列行と列の数が等しい行列、すなわち n ´ n 行列、 (n , n ) n 次の正方行列という。例型の行列のことを [3] ：１次の正方行列 é- 1 2ù ê ú ：２次の正方行列 ê 2 4ú êë ú û é2 3 1ù ê ú ê ú 1 1 8 ê ú ：３次の正方行列 ê ú ê2 - 2 3ú êë úû 2 正方行列のイメージ一般の行列 m´ n 長方形正方行列 n´ n 正方形 3 単位行列正方行列にしか、単位行列は定義されないので注意すること。正方行列のなかで、対角成分が１で、それ以外の成分は0である行列を単位行列といい、 é1 ê ê0 ê ê E = ê0 ê êM ê ê êêë0 0 0 1 0 0 O L 1 L 0 0ù ú Mú ú ú ú ú 0ú ú ú 1ú ú û で表す。特に、次数にも注意するきには、 En と書いて、 n 次の n´ n の単位行列を表す。 4 例 é1 0ù ú E 2 = êê ú 0 1 êë ú û é1 ê ê0 ê E4 = ê ê0 ê ê0 êë 0 0 0ù ú 1 0 0úú ú 0 1 0ú ú 0 0 1 úú û é1 0 0ù ê ú ê ú E 3 = ê0 1 0ú ê ú ê0 0 1ú êë úû é1 ê ê0 ê ê E = ê0 ê ê0 ê ê0 êë 0 0 0 0ù ú 1 0 0 0ú ú ú 0 1 0 0ú ú 0 0 1 0ú ú 0 0 0 1ú ú û 5 単位行列の性質 Aを任意の正方行列、 A と同じ型の単位行列を E とする。ことのき次式が成り立つ。 AE = EA = A 6 例題 é2 - 1ù ú A = êê ú êë3 1 ú û é1 0ù ú E = êê ú 0 1 êë ú û é2 - 1ùé1 0ù é2 ´ 1 + (- 1) ´ 0 2 ´ 0 + (- 1) ´ 1ù ú= úê ú= ê A E = êê úê0 1ú ê 3 ´ 1 + 1 ´ 0 3 ´ 0 + 1´ 1 ú ê ú êë3 1 úê ú ûë û ë û é1 0ùé2 - 1ù úê ú= EA = êê úê3 1 ú êë0 1úê ú ûë û é1 ´ 2 + 0 ´ 3 1 ´ (- 1) + 0 ´ ê ê0 ´ 2 + 1 ´ 3 0 ´ (- 1) + 1 ´ êë 1ù ú= 1ú ú û é2 - 1ù ê ú ê3 1 ú êë ú û é2 - 1ù ê ú ê3 1 ú êë ú û 7 練習 éa b c ù ê ú ê ú A = êd e f ú ê ú êg h i ú êë úû é1 0 0ù ê ú ê ú E = ê0 1 0ú ê ú ê0 0 1 ú úû ëê とする。このとき、次の式が成り立つことを確かめよ。 AE = EA = A 8 （正方行列の）トレーストレース A = [aij ] に対して、対角成分の総和をトレースといい、 t rA と表す。すなわち、 n t rA º å aii = a11 + a 22 + L + ann i= 1 éa11 a12 L ê êa 21 a 22 A = êê O êM êa L êë m 1 a1n ù ú ú ú Mú ú amn ú ú û 9 例題次の行列のトレースをそれぞれ求めよ。 é3 8ù ê ú A = ê ú êë- 3 - 2ú û é- 2 2 7 ù ê ú ê ú B = ê3 1 - 3ú ê ú ê2 ú 0 4 êë ú û é- 3 ê ê0 ê C = ê ê2 ê ê2 ëê 3 0 ù ú 5 2 - 1ú ú ú 3 4 0 ú ú - 1 1 - 2ú ú û 3 解） tr (A ) = 3 - 2 = 1 tr (B ) = - 2 + 1 + 4 = 3 tr (C ) = - 3 + 5 + 4 - 2 = 4 10 練習次の行列のトレースをそれぞれ求めよ。 é- 2 8ù ú A = êê ú 4 1 êë ú û é- 4 ê ê1 ê C = ê ê- 1 ê ê8 êë - 2 3 - 1ù ú 6 0 1 úú ú 3 7 2 ú ú 2 1 - 1úú û é0 2 6 ù ê ú ê ú B = ê1 2 - 3ú ê ú ê2 0 - 5ú ú ëê û é9 ê ê- 2 ê ê D = ê- 3 ê ê6 ê ê0 êë - 2 4 1 ù ú - 1 0 2 3 ú ú ú 5 3 4 5 ú ú 6 0 2 3 ú ú 7 1 2 - 5ú ú û 4 11 トレースの性質 A = [aij ], B = [bij ] を n´ n 行列とし、 c をスカラーとする。このとき、以下の式が成り立つ。（１）t r( A ± B ) = t r A ± t r B （２） tr (cA ) = c (tr A ) （３） t r(A B ) = t r( B A ) t （４） tr ( A ) = tr A 積のチェックに使える。 12 証明（１） t r( A ± B ) = t r A ± t r B 左辺 = t r (A ± B ) = t r([a ij ] ± [bij ]) n = å ([aii ] ± [bii ]) i= 1 æn ö÷ ç = çå [a ii ]÷± çè i = 1 ø÷ æn ö ççå [b ]÷ ÷ çè i = 1 ii ø÷ = 右辺 13 （２） tr (cA ) = c (tr A ) 左辺 = t r (cA ) = t r( c[aij ]) n = å (c[aii ]) i= 1 æn ö ÷ ç = c çå [aii ]÷ ÷ çè i = 1 ø = 右辺 14 （３） t r(A B ) = t r( B A ) とする。 C = A B = [cij ] D = BA = [dij ] 左辺 = t r (A B ) 右辺 = t r (B A ) = t r([cij ]) = t r([dij ]) n = å n ([cii ]) i= 1 = å ([dii ]) i= 1 æn ö ç = å çå aikbki ÷ ÷ ÷ ç è ø i= 1 k= 1 n æn ö÷ ç = å çå bilali ÷ ç ø÷ i= 1 è l= 1 n よって、左辺＝右辺 15 （３）のイメージ t r(A B ) a11b11 a12b21 L a 21b12 a 22b22 a1kbk 1 L M O M M al 1b1l L alkbkl alnbnl M an 1b1n t r(B A ) a1nbn 1 d11 L ankbkn O M L annbnn c11 c ll dkk 16 t tr ( A ) = trA （４）左辺 = t r (t A ) = t r( t [aij ]) n = å ( [a ]) t ii i= 1 n = å ([aii ]) i= 1 = 右辺 QED 17 例題 1 2 B  3 0   1 1  A  0 2   AB  BA 解 1 AB   0 1 BA   3 およびとする。このとき、 tr  AB   tr  BA を確かめよ。 1  1 2 4     2 3 0 6 2 1 1  1     0 0 2 3 2 0 5 3 よって、 AB  BA tr ( AB)  4  0  4 tr ( BA)  1  3  4 よって、 tr  AB   tr  BA 18   1 2 0   3 1 0    B  A  0 1 0    とする。このとき、 1 1 1  1 0 2  練習 0 1 2 AB  BA および tr  AB  tr  BA を確かめよ。 19 行列のべき乗正方行列に対しては、行列のべき乗が定義できる。 A Î M n (K ) に対して、 Ak º A A42L444 A3 144 k と定義する。また、 A 0 º En とする。 n´ n n´ n n´ n n 次の正方行列同士を乗じると、また n 次の正方行列になる。 20 べき等行列 A A = A となる行列をべき等行列という。べき等行列は、 Ak = A (k ³ 1) も成り立つ。 21 例（１） é- 2 - 6ù ê ú ê1 ú 3 êë ú û é- 2 - 6ùé- 2 - 6ù ê úê ú= ê1 úê ú 3 1 3 êë úê ú ûë û （２） é 4 - 6 12 - 18ù ê ú ê- 2 + 3 - 6 + 9 ú= êë ú û é- 2 - 6ù ê ú ê1 ú 3 êë ú û é- 4 10ù ê ú ê- 2 5 ú êë ú û é- 4 10ùé- 4 10ù é16 - 20 - 40 + 50ù é- 4 10ù ê úê ú ê ú ê ú ê- 2 5 úê- 2 5 ú= ê8 - 10 - 20 + 25ú= ê- 2 5 ú êë úê ú ú ú ûë û êë û êë û 22 べき零行列 Ak = O となる自然数k が存在するような行列。べき等行列は、 Ak' = O (k ' ³ k ) も成り立つ。 23 例１．２． é1 - 1ù ú A = êê ú 1 1 êë ú û é1 - 1ùé1 - 1ù úê ú= A = êê úê ú 1 1 1 1 êë úê ú ûë û 2 é0 0ù ê ú ê0 0ú= O ú ëê û é2 4 - 3ù ê ú ê ú B = ê1 3 - 2ú ê ú ê3 7 - 5ú êë ú û é2 4 - 3ùé2 4 - 3ù ê úê ú ê úê ú B 2 = ê1 3 - 2úê1 3 - 2ú= ê úê ú ê3 7 - 5úê3 7 - 5ú úê ú ëê ûë û é- 1 - 1 1ù ê ú ê ú 1 1 1 ê ú ê ú ê- 2 - 2 2ú ú ëê û é- 1 - 1 1ùé2 4 - 3ù ê úê ú ê úê ú B 3 = ê- 1 - 1 1úê1 3 - 2ú= ê úê ú ê- 2 - 2 2úê3 7 - 5ú úê ú ëê ûë û é0 0 0ù ê ú ê ú 0 0 0 ê ú= O ê ú ê0 0 0ú êë ú û 24 例２次の一連の行列はべき零行列である。 é0 1ù é0 2 ú (J ) = ê J 2 = êê 2 ú ê0 0 0 êë ú êë û é0 1 0ù é0 1 ê ú ê ê ú 3 J 3 = ê0 0 1ú (J 3 ) = êê0 0 ê ê ú ê0 0 ê0 0 0ú êë êë úû é0 1 0 0ù ê ú 4 ê0 0 1 0ú ê ú (J 4 ) = O J4 = ê ú 0 0 0 1 ê ú ê ú ê0 0 0 0ú êë úû 1ùé0 1ù úê ú= ú 0úê 0 0 úê ú ûë û é0 0ù ê ú ê0 0ú êë ú û ùé0 1 0ù 0ùé 0 1 0 úê úê ú úê úê ú 1úê0 0 1úê0 0 1ú= úê úê ú úê úê 0úê0 0 0úê0 0 0ú ú ûë ûë û é0 0 1ùé0 1 0ù ê úê ú ê úê ú 0 0 0 0 0 1 ê úê ú ê úê ú ê0 0 0úê0 0 0ú êë úê ú ûë û 25 対称行列 A = A なる n 次の正方行列を（ n 次の）対称行列という。すなわち、 t A = [aij ]が対称行列 Û aij = a ji = a ji aij n´ n 鏡 26 対称行列の例 é 2 - 2 2ù ê ú ê ú ê- 2 - 4 3ú ê ú ê2 ú 3 6 êë ú û é1 2 ù ê ú ê2 3 ú êë úû é- 2 1 - 3 ê ê1 1 4 ê ê ê- 3 4 3 ê ê1 0 7 êë 1ù ú 0úú ú 7ú ú 6 úú û éx a b c ù ê ú êa y d e ú ê ú ê ú êb d z f ú ê ú êc e f w ú êë úû 27 練習以下の行列はすべて対称行列である。このとき、x , y , z を求めよ。（１） éê0 x ùú ê6 - 3 ú êë úû é6 ê （３） êê4 ê êy ê ê5 êë 4 - 3 5ù ú 3 x 0úú ú 4 - 1 2ú ú 0 z 5úú û （２） éê7 8 ùú ê ú 9 2 1 ê ú ê ú ê8 x 3 úú êë û （4） y é2 ê êy ê ê ê1 ê êz êë 2 ù ú 1 0 - 1úú ú 0 3 2 ú ú - 1 2 6 úú û 1 x 28 交代行列 A = - A なる n 次の正方行列を（ n 次の）交代行列（歪対称行列）という。すなわち、 t A = [aij ]が交代行列 a12 L a1n ù é0 ê ú ê- a12 0 a 2n úú ê ê ú O Mú ê M ê ú ê- a1n - a 2n L 0 ú êë úû Û aij = - a ji 対角成分はすべて０ = aij - a ji n´ n 29 交代行列の例 é0 - 2 ê ê2 0 êë ù ú ú úû é 0 - 2 5 - 3ù ê ú ê2 ú 0 3 6 ê ú ê ú -ê 5 3 0 1ú ê ú ê3 - 6 - 1 0 ú êë úû é 0 - 3 4ù ê ú ê ú 3 0 2 ê ú ê ú ê- 4 - 2 0ú êë ú û é0 - 1 - 2 2 ù ê ú ê1 ú 0 5 3 ê ú ê ú 2 5 0 4 ê ú ê ú ê- 2 - 3 4 0 úú êë û 30 練習以下の行列はすべて交代行列である。このとき、x , y , z を求めよ。（１）（３） é0 x ù ê ú ê3 0 ú êë úû é0 ê êx ê ê ê- 5 ê ê2 êë 2 5 - 2ù ú 0 4 - 6úú ú y 0 z ú ú 6 7 0 úú û （２） é0 2 4 ù ê ú ê ú -ê 2 x - 1ú ê ú êy z 0 ú êë ú û （4） é0 - 1 ê êx 0 ê ê ê- 3 - 5 ê ê- 1 y êë 1ù ú 5 3 úú ú 0 - 4ú ú z 0 úú û 3 31 対称行列と交代行列の性質１ n´ n 任意の行列 A に対して、 A + t A は対称行列であり、 A - tA は交代行列である。証明 t t (A t t t (t A ) = t t t t (t A ) = t + A )= A + (A - A )= A - A +A A - A = - (A - t A ) QED 32 対称行列と交代行列の性質２任意の正方行列 A は、対称行列と交代行列の和で表現できる。証明 A + t A は対称行列であり、 A - t A は交代行列である。よって、 A = 1 1 t A + A + ( ) (A - t A ) 2 2 QED 33 例 é0 4 - 1ù ê ú ê ú A = ê- 2 - 3 - 4ú ê ú ê5 ú 0 2 êë ú û é0 4 ê ê A + t A = ê- 2 - 3 ê ê5 0 êë é0 4 ê ê A - t A = ê- 2 - 3 ê ê5 0 êë é - 1ù ú ê0 ú ê - 4ú+ ê 4 ú ê ê- 1 2ú ú û êë é - 1ù ú ê0 ú ê - 4ú- ê 4 ú ê ê- 1 2ú ú û êë - 2 5ù ú ú - 3 0ú= ú - 4 2ú ú û - 2 5ù ú ú - 3 0ú= ú - 4 2ú ú û é0 2 4ù ê ú ê ú ê2 - 6 - 4ú ê ú ê4 - 4 4 ú êë ú û é 0 6 - 6ù ê ú ê ú -ê 6 0 - 4ú ê ú ê6 4 0 ú êë ú û é0 1 ù é 0 3 - 3ù 2 ê ú ê ú 1 1 ê ú ê ú t t A + A + A A = 1 3 2 + 3 0 2 ( ) ( ) ê ú ê ú= 2 2 ê ú ê ú ê2 - 2 2 ú ê 3 2 0 ú êë ú ú û êë û é0 ù 4 1 ê ú ê ú -ê 2 - 3 - 4ú= A ê ú ê5 0 2ú êë ú û 34 練習次の行列を対称行列と交代行列の和で表せ。（１） é- 2 5ù ú A = êê ú êë 3 4ú û é1 ù 0 0 ê ú ê ú B = 2 5 2 ê ú （２） ê ú ê3 0 0ú êë ú û 35 正則行列（重要）正則行列 n ´ n 行列 A に対して、 AX = XA = E を満たす正方行列 X があるとき、 A を正則行列という。また、このとき、 X を A の逆行列といい、 A 1 と書く。逆行列が存在する行列が正則行列である。正則行列の逆行列もまた正則行列である。 36 正則行列の性質１（逆行列の一意性）正則な行列 A の逆行列は唯一つ存在する。証明）背理法による。２つの逆行列X 1, X 2(¹ X 1 ) が存在すると仮定する。（背理法の仮定）定義より、 A X 1 = X 1A = E L (1) A X 2 = X 2A = E L (2) が成り立つ。ここで、（１）の両辺に X 2 を左から乗じる。 AX1 = E \ X 2 (A X 1 ) = X 2E \ (X 2A )X 1 = X 2 \ EX 1 = X 2 \ X1 = X2 これは矛盾である。 QED 37 正則行列の性質２（正則行列と演算） A , B を n ´ n の正則行列とする。このとき、次式が成り立つ。（１） A - 1 （２） A B （３） A t も正則行列であり、 (A - 1 - 1 ) = A 。 - 1 - 1 - 1 A B = B A ( ) ( )( )。も正則行列であり、 t - 1 も正則行列であり、( A ) = t (A - 1 )。 38 証明（１） (A - 1 - 1 ) = A C º A - 1 とおく。 C A = A - 1A = E AC = AA- 1 = E よって、定義より A は C の逆行列。 \ A =C - 1 = (A - 1 - 1 ) 39 - 1 - 1 - 1 A B = B A ( ) ( )( ) （２） C º AB とおく。 C (B - 1A - 1 ) = (A B )(B - 1A - 1 ) = A (BB - 1 )A - 1 = A EA - 1 = A A - 1 = E (B - 1A - 1 )C = (B - 1A - 1 )(A B ) = B - 1 (A - 1A )B = BEB - 1 = BB - 1 = E よって、定義より(B - 1A - 1 ) は C の逆行列。 - 1 - 1 - 1 - 1 B A = C = (A B ) ( )( ) 40 （３） - 1 t (A) C º A - 1 (A ) とおく。 - 1 (A ) = t - 1 (A )C t C t t t = t = よって、定義より t A t - 1 t t t (A ) = (A - 1A ) = - 1 (A ) A t - 1 = (A A - 1 ) = t E = E t E = E - 1 A ( ) は C の逆行列。 (A ) = C - 1 = t - 1 (A) QED 41 ２次の逆行列（復習） a b A  c d   とする。 A の求め方乗算する符号が正 a b   c d   A  ad  bc 乗算して符号が負 A 1 の求め方 A  0 を確認して、 a b   c d   交換乗算して符号が負 1 A 1  d b  A    A  c a  1 倍 42 例題 é7 5ù ê ú A = ê ú êë- 3 - 2ú û é1 0 ù ú B = êê ú êë2 - 1ú û に対して、次式が成り立つことを確かめよ。（１） (A 解）（１） - 1 - 1 ) = A - 1 （２） (A B ) = (B - 1 - 1 )(A ) t - 1 （３）( A ) = t A = 7 ´ (- 2) - 5 ´ (- 3) = 1 é- 2 - 5ù - 1 ú \ A = êê ú 3 7 êë ú û - 1 A =1 é7 5ù - 1 - 1 ú \ (A ) = êê ú 3 2 êë ú û é7 5 ùé- 2 - 5ù ê úê ú= ê- 3 - 2úê 3 7ú êë úê ú ûë û é1 0ù ê ú ê0 1ú êë ú û é- 2 - 5ùé 7 5ù ê úê ú= ê3 7 úê - 3 - 2ú êë úê ú ûë û é1 0ù ê ú ê0 1ú êë ú û 43 (A - 1 ) - 1 - 1 - 1 A B = B A ( ) ( )( ) （２） é7 5ù ê ú A = ê ú êë- 3 - 2ú û B = 1 ´ (- 1) - 0 = - 1 é1 0 ù ú B = êê ú 2 1 êë ú û é7 5 ùé1 0 ù úê ú= A B = êê úê ú 3 2 2 1 êë úê ú ûë û é17 - 5ù ê ú ê- 7 2 ú êë ú û A B = 17 ´ 2 - (- 5)(- 7) = - 1 1 éê2 5 ù ú= \ (A B ) = - 1 êêë7 17ú ú û - 1 \ B - 1 B A - 1 - 1 1 éê- 1 0ù ú= = - 1 êêë- 2 1ú ú û é1 0 ùé- 2 - 5ù úê ú= = êê úê 3 7ú êë2 - 1úê ú ûë û é1 0 ù ê ú ê2 - 1ú êë ú û é- 2 - 5 ù ê ú ê- 7 - 17ú êë ú û é- 2 - 5 ù ê ú ê- 7 - 17ú êë ú û 44 t - 1 （３）( A ) = t (A - 1 ) é7 5ù ê ú A = ê ú êë- 3 - 2ú û t t A - 1 é- 2 - 5ù ú = êê 7ú êë 3 ú û é7 - 3ù ú A = êê ú 5 2 êë ú û A = 7 ´ (- 2) - (- 3) ´ 5 = 1 \ t - 1 (A) é- 2 3ù ú = êê ú êë- 5 7ú û \ t é- 2 3ù (A ) = êê- 5 7úú êë ú û - 1 45 n 次の逆行列について n 一般の次の逆行列は、２次の逆行列を求めるときのうように、簡単に求めることはできない。２次公式 a b A  c d   1  d b  A    A  c a  1 n次 A A' 行列の行基本変形 A '' A 1 46