行列の微分と導関数行列の微小変化行列 A の各要素 aij が微小変化して、a'ij になったとする。 A  [aij ]M  N a'ij  aij  aij (| aij | 1) 変化した要素を持つ行列を A ' とすると、 A'  [a'ij ]M  N  [aij  aij ]M  N  [aij ]M  N  [aij ]M  N したがって、ここで、 A'  A  A A  [aij ]M  N 行列の関数とその微分行列 x の関数を f とし、 x が x を変化したとき、関数 f の変化量（増分）は次のように表現することができる。 f (x  x)  f (x)  f (x) ここで、 f (x)  f (x  x)  f (x) x が非常に小さいとき、つまり、| xij | 1 が成り立つ場合、もし、下記の近似式が成り立つなら、 f (x)  f ' (x)x つまり、 f (x  x)  f (x)  1  1 f ' (x)x が成立するなら、行列の関数とその微分 f ' (x)x f ' ( x) はは f が x に関する1次微分と定義し、 f の１次導関数と定義する。今日の宿題１：  x1    x   x2   x3  とする。 f f (x)  3xT x  x の導関数を求めなさい。行列と２次形式２次式次のように表すことができる f は x1 , x2 ,..., xn1 , xn に関する関数 x1 , x2 ,..., xn1 , xn の２次式と呼ぶ。 f ( x1 , x2 ,..., xn 1 , xn )  a x x 1i  j  n ij i 例えば、 f ( x, y)  x 2  xy  y 2 g ( x, y, z )  x 2  3 y 2  z 2  5xz j ２次形式 f ( x1 , x2 ,..., xn 1 , xn )  うに表すことができる。 a x x 1i  j  n ij i j を行列を用いて次のよ f ( x1 , x2 ,..., xn1 , xn )  xT Qx このような表現は x  x1 T f の２次形式と呼び、ここで、 x2 ... xn  Q  [quv ]nn  auv  2  quv   auu  avu  qvu   2 Q は正方形の対称行列である。 uv uv uv 今日の宿題２： f ( x, y, z )  2 x  3xy  4 y  6 yz  7 z 2 の２次形式で表しなさい。 2 2 ２次形式の微分と極値２次形式の導関数 f ( x1 ,..., xn )  f (x)  x Qx T f (x  x)  (x  x) Q(x  x) T  xT Qx  xT Qx  xT Qx  xT Qx x Qx は一個の数値（１ｘ１の行列）なので、 T   T   x Qx  x Qx  x Q x T T T T T T  xT QT x ２次形式の微分と極値 Q は正方形の対称行列なので、 QQ T   T x Qx  x Qx  x Q x  x Qx T T T T T 従って、 f (x  x)  x Qx  x Qx  x Qx  x Qx T T T T  x Qx  2x Qx  x Qx T T T   f (x  x)  f (x)  2x Q  x Q x 従って、 T f ' (x)  2xT Q T ２次形式の微分と極値束縛のある極値 g ( x)  0 に従う関数 f (x) の極値ラグランジュ(Lagrange)未定乗数法によると、下記の式が得られる。 h(x,  )  f (x)  g (x)  h  x  0  h  0   ２次形式の微分と極値 x12  x22 ,..., xn2  1 に従う２次式 f (x)  xT Qx の極値 x12  x22 ,..., xn2  xT x したがって、 g (x)  xT x  1  0 ラグランジュ(Lagrange)未定乗数法によると、下記の式が得られる。 h(x,  )  f (x)  g (x)  xT Qx   (xT x  1) ２次形式の微分と極値  h T T  2 x Q  2  x 0  x  h T   x x 1  0    Qx  x   | x | 1 ２次形式の微分と極値 l は Qの固有値とし、 vは Qの正規化固有ベクトルとすると、 Qv  lv   | v | 1 従って、   は Qの固有値であり、 x は Q の正規化固有ベクトルである。このとき、 f (x) の値は f (x)  x Qx  x lx  lx x  l T T T 従って、 f (x) の最大値は、 Q の最大固有値で、 f を最大にする xは、最大固有値と対応している固有ベクトルである。行列の関数とその微分行列 x の関数を f とし、 x が x を変化したとき、関数 f の変化量（増分）は次のように表現することができる。 f (x  x)  f (x)  f (x) ここで、 f (x)  f (x  x)  f (x) x が非常に小さいとき、つまり、 xij  1 が成り立つ場合、もし、下記の近似式が成り立つなら、 f (x)  f ' (x)x つまり、 f (x  x)  f (x)  1  1 f ' (x)x が成立するなら、行列の関数とその微分 f ' (x)x f ' ( x) はは f が x に関する1次微分と定義し、 f の１次導関数と定義する。今日の宿題１：  x1    x   x2   x3  とする。 f f (x)  3xT x  x の導関数を求めなさい。