微分積分学続論 I (担当：浅岡) レポート問題 5 月 13 日 17 時までに全学共通教育レポート BOX に提出すること． 1. R2 上ベクトル場 X を X(x, y) = (−y + 1, x + 1) で定める．曲線  (t, 0) (t ∈ [0, 1]) l(t) = (1, t − 1) (t ∈ [1, 2]) (t ∈ [0, 1]) k(t) = (t, t2 ) ∫ ∫ 2 1 X · dl, について，線分積分 0 X · dk を求めよ． 0 2. R2 上のベクトル場 X, Y を次のように定めたとき，それぞれについてスカラーポテンシャルを持つ場合にはそれを一つ求めよ．そうでない場合は，持たない理由を答えよ． X(x, y) = (6x5 − 5x4 y 3 + y, 4y 3 + 3x5 y 2 − x) Y (x, y) = (6x5 − 5x4 y 3 + y, 4y 3 − 3x5 y 2 + x). 3. R2 上のベクトル場 X と実 2 次行列 A に対して，R2 上のベクトル場 Y を Y (⃗x) = A · X(A−1⃗x) で定める．このとき，すべての ⃗x について， div Y (⃗x) = (div X)(A−1⃗x) が成り立つことを示せ． 4. RN の凸な開部分集合 U と p⃗ ∈ U , f ∈ C ∞ (U ) に対して，U 上のベクトル場 X = (X1 , . . . , XN ) を ∫ Xi (⃗x) = 0 1 tN −1 (xi − pi )f ((1 − t)⃗p + t⃗x) dt (ただし，⃗x = (x1 , . . . , xN ), p⃗ = (p1 , . . . , pN )) で定めたとき，div X = f となることを示せ．(実は U が凸でないときも，すべての f ∈ C ∞ (U ) に対して，div X = f となる X ∈ X(U ) は存在する．可能ならば，これも示せ) 5 月 18 日までに，略解を浅岡の web page http://www.math.kyoto-u.ac.jp/~asaoka/lectures/ に置いておきます．微分積分学続論 I (担当：浅岡) レポート問題略解 (注) あくまで略解なので，細部は自分で埋めること． ∫ 2 ∫ 1 ∫ 2 1. X · dl = (1, t + 1) · (1, 0) dt + (2 − t, 2) · (0, 1) dt = 3. 0 0 1 ∫ 1 ∫ 1 ∫ 1 7 2 t2 + 2t + 1 dt = . (−t + 1, t + 1) · (1, 2t) dt = X · dk = 3 0 0 0 ∂X1 ∂X2 ̸= なので，X はスカラーポテンシャルを持たない． ∂y ∂x Y は f (x, y) = x6 + y 4 − x5 y 3 + xy をスカラーポテンシャルとして持つ． 2. 3. A = (aij ), A−1 = (aij ) と置くと， 2 ∑ aki aij = A−1 · A の (k, j)-成分 = δkj i=1 (ただし，∂kj = 1 (j = k), 0 (k ̸= j)) であることに注意すると， Yi (⃗x) = 3 ∑ aij Xj (A−1⃗x) j=1 より， 2 ∑ ∂ div Y (⃗x) = ∂xi i=1 = 2 ∑ ( = ) aij Xj (A ⃗x) j=1 Xj −1 ∂ k1 (A ⃗x) · (a x1 + ak2 x2 + ak3 x2 ) xk ∂xi aij ∂Xj −1 (A ⃗x) · aki ∂xk i,j,k=1 2 ∑ ∂Xj −1 = (A ⃗x) · δkj ∂x k j,k=1 = 2 ∑ ∂Xj j=1 −1 aij i,j,k=1 2 ∑ 3 ∑ ∂xj (A−1⃗x) = (div X)(A−1⃗x). 4. 今の状況 (C ∞ 級関数の区間の上の積分) では微分と積分の順序の交換が可能なので，l(t) = (1 − t)⃗ p + t⃗x と置くと， N ∑ ∂Xi i=1 ∂xi =t N −1 ∫ 1 = ∫ 0 · ( N ∫ ∑ i=1 0 1 ( ) ∂f (l(t)) · t dt f (l(t)) + (xi − pi ) ∂xi ) N ∑ ∂f (l(t)) · (xi − pi ) dt N tN −1 · f (l(t)) + tN · ∂x i i=1 ] d [N t · f (l(t)) dt 0 dt [N ]1 = t · f (l(t)) 0 = f (⃗x). = 1