確率と統計2010 平成22年12月9日(木) 東京工科大学 亀田弘之 まずは復習から かま学 らたん ず説で や（時 。よに ろこ これ ばを し習 ）う 。 東京工科大学 不学 亦而 説時 乎習 之 確率と統計2010 2 はじめにデータありき ５ ９ ２ ８ １ ６ １ ２ ４ １ ７ 社会調査や実験の実施 により得られる 東京工科大学 確率と統計2010 3 • データを全体として眺めるとき， 集団として何らかの性質を持っている． ＝＞統計的性質 • この性質（分布の様子）を,例えば， (算術)平均・中央値・モードなどの いわゆる代表値や，分散・標準偏差・範囲 (range)などで数値的に捕らえた． 定義や計算方法が重要． 統計ソフトの利用も考えよう． 東京工科大学 確率と統計2010 4 統計ソフトウェア • • • • 参考情報 EXCEL：お手軽？ R：フリーソフトウェア（お勧め？） SPSS：本格的なソフトウェア（有償） SAS：本格的なソフトウェア（有償） • GnunPlot・Maximaなども便利 （いろいろと学んでください．） 日本計算機統計学会のページも参考にしてください。 http://www.jscs.or.jp/etc/softdata.html 東京工科大学 確率と統計2010 5 基本的な統計量 • • • • • • • 平均 (mean) 中央値 (median) モード (mode) 最大値・最小値 (maximum, minimum) 範囲 (range) 分散 (variance) 標準偏差 (standard deviation) など 東京工科大学 確率と統計2010 6 平均 • 定義 ： m =(x1 + x2 + ・・・+Xn)÷n • 意味：データ群の中心（重心） • 考え方：データ群の中心（重心）で，データ群 を代表させる。（代表値） • 特徴：量 T ( x1 m)2 ( x2 m)2 ( xn m)2 の最小値を与える点． （基準点としてふさわしい） 東京工科大学 確率と統計2010 7 中央値 • 定義：データを大きさの順に並べたときに 中央にくるデータ値。 • 意味：順序的観点から真ん中辺り。 • 考え方：順序的観点から中庸を捉えている。 真ん中辺りを代表値とする。 • 特徴：飛び離れ値に影響されない。 量 T | x1 M | | x2 M | | xn M | の最小値を与える点。 東京工科大学 確率と統計2010 8 モード（最頻値） • 定義：度数（出現回数）がもっとも 多いデータ値。 • 意味：多数派がデータ群を代表する。 • 考え方：度数の多いもの程重要。 • 特徴：飛び離れ値に影響されない。 代表値として素直な定義。 東京工科大学 確率と統計2010 9 データの散らばりも大切 • 分散 (variance) • 標準偏差 (standard deviation) • 範囲 (range) 東京工科大学 確率と統計2010 10 範囲（レンジ） • 定義：R = 最大値 ー 最小値 • 考え方：データの存在範囲 （すべてのデータはこの 範囲内にある） • 特徴：計算が簡単 （工場などで実用されている） 東京工科大学 確率と統計2010 11 分散 ( x1 m) 2 ( x2 m) 2 ( xn m) 2 n • 考え方：「各データの平均mからのずれ」に着目して、 その平方数の平均を求め、データ全体の散らばり を捉える。 • 特徴：数学的に取り扱いやすい。 • 定義： 東京工科大学 確率と統計2010 12 標準偏差 • 定義：分散の平方根（√分散） • 考え方：分散をもとに，データと同じ 次元の量にする。 • 特徴：データに対して、足したり 引いたりすることができる。 東京工科大学 確率と統計2010 13 以上で、得られたデータ群の 特徴をとらえることができるよう になった。 東京工科大学 確率と統計2010 14 さてもっと先に進みましょう • Let’s go further! 東京工科大学 確率と統計2010 15 知りたい対象（母集団） 母集団 ４ ３１ ５ １ ６ ７ 東京工科大学 確率と統計2010 16 標本 母集団 ４ ３１ ５ １ ６ ７ ５ １ ３ １ 無作為抽出 東京工科大学 確率と統計2010 17 標本 母集団 ４ ３１ ５ １ ６ ７ ５ １ ３ １ 統計的分析 東京工科大学 確率と統計2010 18 標本 母集団 ４ ３１ ５ １ ６ ７ ５ １ ３ １ 統計的推論 東京工科大学 確率と統計2010 19 抽出法 • 無作為抽出法： どのデータも等確率で抽出されるようなサンプ リング法。つまり、どの単純事象も等確率で取り 出される抽出法。 Laplaceの確率の定義参照。高校で習った確率 の定義でOK。 • より詳しく知りたい人は、社会調査法などの勉強 をしてください。（データは適切に集めなければ、 分析しても意味がない。サンプル数の決め方な ども重要です。） 東京工科大学 確率と統計2010 20 分析法 • 統計的推定 • 統計的検定 この授業では「モデルに基づく分析」を主に 取り扱っているが、近年モデルに基づかない 分析法も重要になっている。 （例：データマイニングの分野） 東京工科大学 確率と統計2010 21 統計的推定 • 点推定 • 区間推定 – 信頼区間 – 信頼限界 興味のある人は、教科書p.136～p.142を 参照のこと。 東京工科大学 確率と統計2010 22 統計的検定 • この授業では、まず、これを学んで欲しいと 思っています。 （理由：とにかく役に立つから。 そして、慣れないと結構難しいから。） 東京工科大学 確率と統計2010 23 仮説検定の考え方 • 前提： – 調査や実験によりある事実Eが得られた． – この事実からあることを主張したい． （これを仮説という．） • 方法論： – モデルを仮定する（仮説設定：帰無仮説H0） – その仮説が正しいとして，事実Eの生起確率pを計算する． – pの値が異常に小さければ，仮説H0を棄却する． （誤謬法/背理法の考え方） 東京工科大学 確率と統計2010 24 検定の考え方の例 • 実験：サイコロを600回振ったら、１の目が 180回出た（事実E）． • 主張したいこと：１の目が出やすい． • 仮説の設定：どの目も等確率で出る． 180 420 181 419 • Eの生起確率pの計算： 1 5 1 5 p 600 C180 600 C181 p≒0 6 6 6 6 182 418 600 0 1 5 1 5 • 判断：出易い． 600 C182 600 C600 6 6 6 6 計算方法と判断の基準の理解が重要 東京工科大学 確率と統計2010 25 (重要)確率分布の相互関係図 東京工科大学 確率と統計2010 26 事実： ２項分布は正規分布で近似できる • この事実（定理）に着目して計算をする。 （先週のお話しましたよね！） 1. ２項分布の平均mと分散s2を求める B(m, s2 )。 2. Nが十分大きければN(m, s2 )で近似。 3. 標準化する。 X m Z s 4. 標準正規分布N(0,12)の数表を利用して、 確率計算する。 東京工科大学 確率と統計2010 27 例題（教科書p.163例１） ある市役所ではこれまで数年間銘柄Aの電球 を購入していたが，銘柄Bの電球の方が価格 が安いのでBへの切り替えを考えている．銘 柄Bのセールスマンは自社の製品が品質に おいてAの製品と同じであると主張している． 数年間の経験によれば，製品Aの平均寿命 は1180時間で，標準偏差は90時間であった． 東京工科大学 確率と統計2010 28 製品Bのセールスマンの主張をテストするため， その銘柄の電球100個を正規販売店から購 入して試験をした．その結果，m=1140,s=80が 得られた．電球の品質の尺度として平均寿命 時間を考えるとすれば，どう結論すべきか？ 東京工科大学 確率と統計2010 29 問題の整理 • 事実：製品Bのm=1140,s=80 製品Aのm=1180,s=90 • 知りたいこと：Bの方が劣っている． • 仮説：AとBは品質的に同等． • 確率の計算：Bのデータの生起確率pを， 平均μ=1180,分散σ2=902の母集団から の抽出として計算する． • 危険率（有意水準）αを設定：α＝１０％とする． 東京工科大学 確率と統計2010 30 確率の計算をしてみよう • （いままでと少し違うところが出てきます！） 東京工科大学 確率と統計2010 31 理論的根拠（１） • 標本平均の平均mは母平均と等しい． • 標本平均の分散σm2は母分散のｎ分の１倍． (nは標本の大きさ) つまり， E(m) = μ E(σm2)=σ2/n 東京工科大学 確率と統計2010 32 理論的根拠（２） • ｘが平均μ，分散σ2 の任意の分布に従うとき， 大きさｎの無作為標本に基づく標本平均mは， ｎが限りなく大きくなるとき， 平均 μ，分散 σ2 /n の正規分布に近づく． 中心極限の定理 （統計学で１番重要な定理） 東京工科大学 確率と統計2010 教科書p.130 定理２ 33 計算 • 標本平均の標準偏差： 90/√100 = 9 • 標準化： Z = ((1140 – 1180) -0)/ 9 = -40/9 = -4.4 • 標準正規分布表（教科書p.295 表IV）： Zがー∞～－4.4の範囲の値をとる確率は， p≒0． 東京工科大学 確率と統計2010 34 判断 • 確率p≒０ < 0.1 (10%) ． • おきにくい事が起きたのではなく，仮設が間 違っていると考えて，仮設を棄却する． • 最終結論： 有意水準10％において， 銘柄BはAよりも劣っている． 東京工科大学 確率と統計2010 35 コメント • 確率の計算方法を理解するためには、数学 の勉強が必要であるが、検定を目的とするの であれば，基本的考え方と手順とをしっかりと マスターすればよい。 • 理論的なものは、必要に応じて，必要になっ たものだけを一生かけてゆっくり、かつ、じっく り勉強してください。 東京工科大学 確率と統計2010 36 χ2検定 • いろんな場面で使えて便利な検定法． （先ほどのサイコロの例を再び取り上げてみ る．） 東京工科大学 確率と統計2010 37 （自分で表を作ってください） １の目が 出る回数 他の目が 出る回数 実測値A １８０ ４２０ ６００ 理論値B １００ ５００ ６００ (A-B)2/B 64 64/5 合計 ７６．８ 自由度φ= ２－１＝１ 東京工科大学 確率と統計2010 38 • χ2 = 76.8 ＞ χ02 = 6.6(有意水準1%) • 結論：有意水準１％のもとで，１の目は出や すい． 手法は異なっても結論は同じ！ 東京工科大学 確率と統計2010 39 ２つの平均の差の検定 • 先の電球A, Bの品質の差の問題を再度取り 上げる。これは２つの平均同士に差があるか どうかの検定と考えることもできる。 これを「２つの平均の差の検定問題」という。 教科書p.172～p.176 東京工科大学 確率と統計2010 40 定理 • x1,x2がそれぞれ独立に平均μ1,μ2，標準偏 差σ1,σ2の正規分布に従うとき，変数x1-x2 は 平均 μ1ーμ2, 標準偏差 σx1-x2 = √(σx12+ σx22) = √(σ12/n1 + σ22/n2) の正規分布に従う。 東京工科大学 確率と統計2010 41 • 仮説：Aの平均とBの平均とは等しい。 • 計算： 変数x1-x2は、 – 平均 = ０ – 標準偏差 = √（90*90/100 + 80*80/100） = 12 の正規分布に従う． • Z＝(1140-1180)/12=-40/12=-10/3=-3.3 • Zがー3.3以下か＋3.3以上になる場合の正規分布曲線の面 積を求めると、表VIより，p≒0 • 結論：AとBの平均の差は同じではない。 東京工科大学 確率と統計2010 42 コメント • 「２つの平均の間に差があるのか？」はしばし ば問題となるので、この検定方法は役に立つ。 • ただし今の場合、母分散σ1,σ2が既知である。 これらが既知でない場合はもう一工夫が必要 となる（t検定を導入する必要がある）。 東京工科大学 確率と統計2010 43 練習問題 東京工科大学 確率と統計2010 44 Problem1 さいころを180回投げて、１の目の出る 確率が28回以上、34回以下である確率を 求めよ。 東京工科大学 確率と統計2010 45 ヒント 1. B(n,p)の二項分布は、nが十分大きければ、 平均np, 分散np(1-p)の正規分布で近似でき る。 2. N(μ, σ2)の正規分布は、標準化変換 Z = (X – μ)/σ により、標準正規分 N(0, 1)に変換される。 3. 標準正規分布に関する計算は、数表を利用 することができる。 東京工科大学 確率と統計2010 46 Problem2 • １つのさいころを120回投げたら以下のように なった。このさいころは正しく作られている か？ 有意水準5%で検定せよ。 目の数 １ 出現回数 １９ ２ ３１ ３ ４ ５ ６ 合計 １７ ２３ １１ １９ 120 東京工科大学 確率と統計2010 47 Problem3 • ある町で無作為に選ばれた618名に対して、 とある伝染病の予防接種の効果を調べたら、 以下のようになった。この予防接種は有効と いえるか？有意水準5%で検定せよ。 罹病 健康 合計 予防接種した ４ ３５４ ３５８ 予防接種せず ９ ２５１ ２６０ １３ ６０５ ６１８ 計 東京工科大学 確率と統計2010 48 Problem4 • 結婚に対する適応性に関してのアンケート 調査を行ったら次ページのような結果が得 られた。“学歴”と“結婚に対する適応性” の間には関係があるといえるか？ ただし、 有意水準5%。 学歴 結婚に対する適応性 非常に低い 低い 高い 非常に高い 大学卒 高校卒 小中学 卒 １８ １７ １１ ２９ ２８ １０ ７０ ３０ １１ １１５ ４１ ２０ ２３２ １１６ ５２ 計 ４６ ６７ １１１ １７６ ４００ 東京工科大学 確率と統計2010 計 49 ヒント I. 理論値 学歴 結婚に対する適応性 非常に低い 低い 高い 非常に高い 計 大学卒 高校卒 小中学 卒 ２７ １３ ６ ３９ １９ ９ ６４ ３２ １４ １０２ ５１ ２３ ２３２ １１６ ５２ 計 ４６ ６７ １１１ １７６ ４００ II. 自由度φ ＝ (行数 ー 1)× (列数 ー 1) ＝ (3－１)・(4ー1) ＝6 III. 計算値χ2 = 20.7東京工科大学 ＞ 確率と統計2010 χ02 = 12.6 50
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