宇宙科学最前線第1回

鹿児島大学／愛媛大学
宇宙電波天文学特論
第５回
Einstein係数とHI輝線
半田利弘
鹿児島大学大学院理工学研究科物理・宇宙専攻
Mellinger
エネルギー準位
▶ 電子の波動方程式：Schrödinger equation
▶ 定常状態＝エネルギー固有値
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変数分離型
▶ 定常状態でのSchrödinger equation
Mellinger
束縛状態とエネルギー固有値
▶ 境界条件によって答は変わる
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E>0だとEは連続値をとることが可能
E<0（束縛状態）だととびとびの値に限定
▶ 量子力学でも常に離散的とは限らない！
▶ 多くの場合、束縛状態を考える
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固有値・固有関数が離散的になる
Mellinger
原子中の電子、分子中の電子
▶ 原子・分子中の電子
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束縛状態→とびとびのエネルギー固有値
▶ エネルギー準位
Mellinger
エネルギー遷移と物質
▶ エネルギー準位間で電子が遷移
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電磁波の放射・吸収
電磁波の周波数は DE=hn
▶ エネルギー準位の構造＝物質の種類
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放射・吸収する電磁波の波長＝物質の種類
スペクトル線による物質の同定
Mellinger
アインシュタイン係数(1)
▶ 放射と吸収：２準位モデル
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放射の遷移確率 A
 入射光強度とは独立
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吸収の遷移確率 B
 入射光強度に比例
dI = n2 A-n1 B I
Mellinger
アインシュタイン係数(2)
▶ 定常状態 dI=0
dI = n2 A-n1 B I → n2 A = n1 B I
I =(n2/n1)(A/B)
▶ 物質と輻射での熱平衡を考える
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熱平衡→粒子のエネルギーはBoltzmann分布
n2/n1=exp(-DE/kT)=exp(-hn/kT)
熱平衡→Iは黒体放射
I= Bn (T)=(2hn 3/c2)(exp(hn/kT)-1)-1
黒体放射になり得ない!?
Mellinger
誘導放射(1)
▶ もう１つの過程を加える
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気づかれない形で含まれる必要
▶ 誘導放射の導入
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自発放射の遷移確率 A21、吸収の遷移確率 B12
誘導放射の遷移確率 B21
 入射光強度に比例して放射が出る！
dI = n2 A21-n1 B12 I+n2 B21 I
= n2 A21-(n1B12-n2B21) I
 吸収が目減りするだけなので気づかない
Mellinger
誘導放射(2)
▶ 定常状態 dI=0
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n2 A21=(n1B12-n2B21) I
I =A21/[(n1/n2) B12-B21]
熱平衡→粒子のエネルギーはBoltzmann分布
n2/n1=exp(-DE/kT)=exp(-hn/kT)
右辺=(A21/B21)[exp(hn/kT)(B12/B21)-1]-1
熱平衡→Iは黒体放射
I= Bn (T)=(2hn 3/c2)[exp(hn/kT)-1]-1
比べると、 B12/B21=1, A21/B21= 2hn 3/c2
Mellinger
アインシュタイン係数の関係
B12/B21=1, A21/B21= 2hn 3/c2
▶ 統計重率g1, g2がある場合
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Boltzmann分布 n2/n1=(g2/g1)exp(-hn/kT)
g1B12=g2B21, A21=(2hn 3/c2) B21
▶ A21、B12 、B21は物質固有量
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係数間の関係式は非平衡でも成立
A21、B12 、B21：アインシュタイン係数
Mellinger
メーザー(1)
▶ 誘導放射が実在するなら…
dI = n2 A21-(n1B12-n2B21) I
 吸収が目減りするだけなので気づかない。はずだが…
▶ n2>n1(B12/B21)とできたらどうなる？
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n2/n1=exp(-DE/kT)だから、T<0
負の温度、inverse population
▶ 誘導遷移がもろに見える！
Mellinger
メーザー(2)
▶ ３準位系なら実現可能
pomping
inverse population
種光子
maser
Mellinger
メーザー(3)
▶ MASER
初の３個以上の原子からなる星間分子
Microwave Amplification by Stimulated Emission of Radiation
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輻射の誘導放射によるマイクロ波増幅
タウンズによって開発された(1954年)
 星間アンモニアを発見した人でもある
▶ LASER
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マイクロ波→光Light
▶ 誘導放射の光子の特徴
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種光子と周波数、位相、偏波方向が同じ
Mellinger
励起温度
▶ 一般の放射時には
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I=(2hn 3/c2) [(n1/n2) -1]
▶ 熱非平衡： n1/n2はBoltzmannにならない
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でも温度で表せると便利
▶ 励起温度Tex
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(g2/g1)exp(-DE/kTex)= n2/n1 で定義
Tex=-DE/{k ln[(g1/g2)(n2/n1)]}
Mellinger
放射係数
▶ 放射係数(emissivity) e をEinstein係数で表す
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放射が等方なら…
体積dV, 時間dt, 方向dWへの放射エネルギーdEn
dEn =hn j(n) n2 A21 dV dt dW/(4p)
= (hn )/(4p) j(n) n2 A21 dS dx dt dW
放射のみの場合
dIn =dEn /(dt dS dW) =en dx
すなわち
en = (hn )/(4p) j(n) n2 A21
Mellinger
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吸収係数(1)
▶ 吸収係数 k をEinstein係数で表す
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吸収が等方なら…
体積dV, 時間dt, 方向dWからの放射エネルギー
dEn = -hn j(n) (n1 B12 -n2 B21) In dV dt dW/(4p)
= -(hn )/(4p) j(n) ) (n1 B12 -n2 B21) In dS dx dt dW
吸収のみの場合
dIn =-dEn /(dt dS dW) =-kn In dx
すなわち
kn = (hn )/(4p) j(n) (n1 B12-n2 B21)
Mellinger
吸収係数(2)
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（承前）
kn = (hn )/(4p) j(n) (n1 B12-n2 B21)
= (hn )/(4p) j(n) n1 B12[1-(g1n2)/(g2n1)]
= (hn )/(4p) j(n) n1 B21(B12/B21-n2/n1)
= c2/(8pn 2) j(n) n1A21 (g2/g1)[1-(g1n2)/(g2n1)]
= c2/(8pn 2) j(n) n1A21 (g2/g1)[1-exp(-hn)/(kTex)]
Mellinger
源泉関数
▶ 源泉関数Sn=en /kn
Sn =(n2 A21 )/(n1B12-n2B21)
=(2hn 3/c2)/[(g2n1)/(g1n2)-1]
=(2hn 3/c2)/{exp[(hn)/(kTex)]-1}
▶ 熱平衡なら、Tex=T (熱平衡の相手の温度）
▶ 局所熱平衡LTE
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すべての準位で励起温度が等しい
Mellinger
中性水素原子
▶ 陽子＋電子
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陽子proton スピン1/2の素粒子２値をとる
電子electron スピン1/2の素粒子２値をとる
 素粒子のスピン＝磁場と関係する
 スピン同士で相互作用する
A10=2.86888×10-15 [s-1], n =1.420405751786[GHz]
Mellinger
HI輝線(1)
▶ A10=2.86888×10-15 [s-1]
 遷移が遅いので星間ガスの密度で十分に励起
 励起すればメーザーになる→水素メーザー時計
▶ 吸収係数
kn = c2/(8pn 2) j(n) n0A10 (g1/g0){1-exp[(-hn)/(kTex)]}
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■
■
g0=1←縮退なし, g1=3←F=+1,0,-1が縮退
nH=n0+n1= n0 {1+(g1/g0) exp(-hn/kTs)}
HIでは、Tex=Ts（スピン温度）と書く
Mellinger
HI輝線(2)
▶ hn/kTs ≪ 1で近似してよい
 hn/k
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=0.07 [K]≪Ts~100 [K]
１次近似
 1-exp[(-hn)/(kTs)]}=
(hn)/(kTs)
 nH= n0 {1+(g1/g0) exp(-hn/kTs)}=4n0
■
kn = c2/(8pn 2) (3/4) nH A10 (hn)/(kTs) j(n)
=2.6×10-15 (nH /Ts) j(n) [cgs]
Mellinger
HI輝線(3)
▶ 柱密度は定義により
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NH=∫nH dx= 1/(2.6×10-15) ∫ Tstn dn [cgs]
▶ 光学的に薄ければTB= Ts(1-e-t)= Tstn
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NH= 1/(2.6×10-15) ∫ TB dn [cgs]
▶ ドップラー効果換算のdn =(n /c) dvを使うと
NH[cm-2]=1.8224×1018 ∫ TB dv [K km s-1]
▶ 注意：上式の成立条件
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光学的に薄い
Mellinger
自然幅j(n)の１つの解釈
▶ 量子遷移が起こる時間 Dt
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■
0ではない ∵波である電磁波が出ている
∞ではない ∵有限時間で遷移が完了する
▶ 徐々に強まり、徐々に弱くなるはず
▶ フーリエ変換すると幅ができる
波
粒子
波束wave packet
Mellinger
レポート
▶ 電子メール添付。締切11/15
■
[email protected]まで
▶ 課題
1. Einstein係数の関係式を導け
2. 中性水素原子１個が遷移する平均時間は？
Mellinger

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