経済統計学第8回 Business Statistics

経済統計学第７回
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Business Statistics
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流れ：区間推定から検定へ
• 推測統計の二本の柱：区間推定と検定
• 区間推定と検定は表裏一体。
• 信頼係数９５％の信頼区間に収まらないと
いうことは、５％という低い確率。
• 母集団特性値が信頼区間外にあるとは考
えにくい。
• だから、母集団特性値が信頼区間外にあ
るという仮説なら却下できる。
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検定の考え（母集団平均）
• μの区間推定の際、ｔ-分布を考えた。
t
X 
2
~ t (n  1).
s n
Xはサイズ nの標本平均で、 s 2は標本分散。
Pr( t0.025,n 1  t  t0.025,n 1 )  95%.
• ｔ-分布の性質より、ｔ-値がゼロから大きく乖
離することはほとんどない。
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検定の手順（母集団平均） ①
（１）まずμの値について、仮説を立てる。
例）Ｈ０：μ＝０Ｈ１：μ≠０．
①通常、主張したい内容をＨ１に盛り込み、
Ｈ０を否定することで、自分の主張が統計
学的に支持されることを示す。
②Ｈ０を棄却仮説、Ｈ１を対立仮説と呼ぶ。
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検定の手順（母集団平均） ②
（２）Ｈ０の下で、ｔ-値を計算する。
t
X 
s
2
~ t (n  1).
n
μにはＨ０で想定した値を代入する。
・ｔ-値が、例えばｔ0.025を超えれば、「有意水準
５％」でＨ０を棄却できる。
・ｔ-値が、ｔ0.025を超えなければ、「有意水準
５％で」Ｈ０を棄却できない。
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検定の考え（母集団比率）
• ｐの区間推定の際、正規分布を考えた。
x n p
Z
~ N (0,  2 ).
x n (1  x n)
n
ここで、 x nはサイズ nの標本から
計算した標本比率である。
Pr( 1.96  Z  1.96)  95%.
• Ｚが1.96を超えることは５％未満の確率。
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検定の手順（母集団比率) ①
（１）まずｐの値について、仮説を立てる。
例）Ｈ０：ｐ＝０Ｈ１：ｐ≠０．
①通常、主張したい内容をＨ１に盛り込み、
Ｈ０を否定することで、自分の主張が統計
学的に支持されることを示す。
②Ｈ０を棄却仮説、Ｈ１を対立仮説と呼ぶ。
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検定の手順（母集団比率) ②
（２）Ｈ０の下で、Ｚを計算する。
Z
x n p
~ N (0,  2 ).
x n (1  x n)
n
ｐにはＨ０で想定した値を代入する。
・Ｚが1.96を超えれば、「有意水準５％」でＨ０
を棄却できる。
・Ｚが1.96を超えなければ、「有意水準５％」
でＨ０を棄却できない。
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両側検定と片側検定
• 両側検定の例
Ｈ０：μ＝０Ｈ１：μ≠０
• 片側検定の例
Ｈ０：μ＝０Ｈ１：μ＞０
• 有意水準５％で片側検定をやるなら、
critical value はｔ0.05を使う。
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使える応用：比率の差の検定
• 二つの母集団の比率を比べる：Ｐ１とＰ２
• 仮説は、Ｈ０：Ｐ１＝Ｐ２Ｈ１：Ｐ１≠Ｐ２。
x1
Z 
n1

x2
ˆ (1  p
ˆ )(
p
ここで、
n2
1
1

)
n1
n2
~ N (0,1)
x1  x2
ˆ 
p
.
n1  n2
Pr( 1.96  Z  1.96)  95%.
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比率の差の検定（例）
• 男性有権者の中から1,200人、女性有権者
の中から900人を選んで、内閣支持者を調
べたところ、各々432人、276人であった。
男性の支持率をｐ１、女性の支持率をｐ２と
表し、男女で内閣支持率に差があるか否
か検定せよ。
• （仮説）Ｈ０：ｐ１＝ｐ２Ｈ１：ｐ１＝ｐ２。
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比率の差の検定（例）続
検定の結果
n1  1200, n2  900, x1  432, x2  276である。
432  276
708

,
1200  900 2100
432
 276
1200
900
Z
 2.56.
708
708
1
1
(1 
)(

)
2100
2100 1200 900
Z  1.96 なので、有意水準５％でＨ 0を棄却。
pˆ 
 結論：男女間で、内閣支持率に差がある。
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