確率･統計Ⅰ

確率･統計Ⅰ
第4回確率変数の平均（続き）、確率変数の分散
ここです！
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確率論とは
確率変数、確率分布
確率変数の独立性／確率変数の平均
確率変数の平均（続き）、確率変数の分散
確率変数の共分散、チェビシェフの不等式
ベルヌイ試行と二項分布
二項分布（続き）、幾何分布など
二項分布の近似、ポアソン分布、正規分布
正規分布とその性質
i.i.d.の和と大数の法則
中心極限定理
統計学の基礎1（母集団と標本、確率論との関係）
統計学の基礎2（正規分布を用いた推定・検定）
確率変数の平均（続き）、
確率変数の分散
1. 「平均」の概念
2. 確率変数の平均の公式(1)(2)(3)
3. 確率変数の分散（定義と意味）
4. 確率変数の分散の公式(1)(2)(3)
「平均」の概念
x1 , x2 ,, xn の平均
x1  x2    xn
と思っていたら小学
生！ n
1
1
1
x1  x2    xn
n
n
n
つまり、 x1 , x2 ,, xn のそれぞれに1/nず
つの重み（重みの和=1）をつけて合計
「平均」の概念
x1 , x2 ,, xn の平均（重みつき）
1
1
1
x1  x2    xn
n個全部同じ重みなら
n
n
n
x1 , x2 ,, xn のそれぞれに異なる重み（重
みの和=1）をつけて合計
m1 x1  m2 x2    mn xn
「平均」の概念
x1 , x2 ,, xn の重みつき平均
m1 x1  m2 x2    mn xn
ただし、 m1 + m2 +
・・・
+ mn = 1
「平均」の概念
x1 , x2 ,, xn の重みつき平均
m1 x1  m2 x2    mn xn
ただし、 m1 + m2 +
・・・
+ mn = 1
例 a と b を結ぶ線分を m : n に内分する位置ベクトルは
a
m
n
b
na  mb
mn
n
m

a
b
mn
mn
確率変数の平均
確率変数 X のとりうる値すべて x1 , x2 ,, xn
に関する確率重みつき平均
m1 x1  m2 x2    mn xn
↑
↑
↑
P(X=x1) P(X=x2)
X の平均 E(X) =
x
k
k
期待値の略
P(X=xn)
 P( X  xk )
離散的確率変数の平均
X の平均 E(X) =
x
k
 P( X  xk )
k
連続的確率変数の平均
E(X) =



x  P( X  dx)

  x  f ( x)dx

確率密度
確率変数の平均（続き）、
確率変数の分散
1. 「平均」の概念
2. 確率変数の平均の公式(1)(2)(3)
3. 確率変数の分散（定義と意味）
4. 確率変数の分散の公式(1)(2)(3)
平均の公式
① E( aX + b ) = aE(X) + b
② E( X + Y ) = E(X) + E(Y)
③ X と Y が独立ならば、
E(XY) = E(X) E(Y)
確率変数の平均（続き）、
確率変数の分散
1. 「平均」の概念
2. 確率変数の平均の公式(1)(2)(3)
3. 確率変数の分散（定義と意味）
4. 確率変数の分散の公式(1)(2)(3)
確率変数の分散
確率変数 X のとりうる値すべて
に関する偏差の2乗の、確率重みつ
き平均
偏差…平均との差（平均からのズレ）
E(X)=μ とすれば
V(X) = E[ (X -μ)2 ]
確率変数の分散
例：サイコロを1回投げ、出た目の数を X とする。
1
1
1
1
1
1
E (X )  1  2   3   4   5   6 
6
6
6
6
6
6
1
21
 (1  2  3  4  5  6)  
 3 .5
6
6
確率変数の分散
偏差は
X=1 : 1  3.5  2.5
X=2 : 2  3.5  1.5
X=3 : 3  3.5  0.5
X=5 : 5  3.5  1.5
X=4 : 4  3.5  0.5
X=6 : 6  3.5  2.5
したがって分散は


1
 2.5   1.5   0.5  0.5  1.5  2.5 
6
2
2
2
2
2
2
 2.91666 
確率変数の分散（離散型）
式で書くと
Var.の略
X の分散 V(X) =
 x
k
 E( X )  P( X  xk )
2
k
見やすくするため E(X)=μ, P(X=xk) = pk と書いて
∑ (xk -μ)2 pk
離散的確率変数の分散
X の分散 V(X) =
(x
k
  )  P( X  xk )
2
k
連続的確率変数の分散
V(X) =



( x   )  f ( x)dx
2
確率密度
分散の意味
• 同じ平均でも、分布のバラツキが大きいと、
分散が大きい
0.30
0.30
0.25
0.25
0.20
0.20
0.15
0.15
0.10
0.10
0.05
0.05
0.00
0.00
1
2
3
4
5
1
6
23
V (X ) 
 1.916 
12
<
2
3
4
5
6
47
V (X ) 
 3.916 
12
確率変数の平均（続き）、
確率変数の分散
1. 「平均」の概念
2. 確率変数の平均の公式(1)(2)(3)
3. 確率変数の分散（定義と意味）
4. 確率変数の分散の公式(1)(2)(3)
分散の性質(1)
X の一次式で与えられる確率変数の
分散については、次の式が成り立
つ：
V (aX  b)  a V ( X )
2
（課題1）これまでに習った公式を用いて、これ
を証明せよ。
分散の性質(1)
例：サイコロを1回投げ、(出た目の数×2)－3 を Y とする。
Y の分散 V(Y) を求めよ。
V (Y )  V (2 X  3)
 4V ( X )  4 2.91666 
分散の性質(2)
2つの独立な確率変数 X と Y の和
X+Y の分散について、次の式が成り
立つ：
V ( X  Y )  V ( X )  V (Y )
分散の性質(2)
したがって、n個の独立な確率変数
X1,…Xn の和の分散については、
V ( X1  X 2    X n )
 V ( X1 )  V ( X 2 )    V ( X n )
分散の性質(2)
例：サイコロを10回投げ、出た目の数の和を Y とす
る。Y の分散 V(Y) を求めよ。
i 回目に出る目の値を Xi とすると、 V( Xi )=2.91666… で、
X1,…,X10 は独立だから、
V (Y )  V ( X1  X 2   X10 )
 V ( X1 )  V ( X 2 )   V ( X10 )
 2.9166 10  29.166 
分散の性質(3)
分散と平均の関係
V ( X )  E( X )  E( X )
2
二乗平均
2
平均の二乗
（課題2）確率変数 X の分散 V(X) は、E[ (Xμ)2 ] と書けることを用いて、これを証明せよ。た
だしμ=E(X)
分散の性質(3)
例：サイコロを1回投げ、出た目の数を X とする。
X の分散 V(X) を求めよ。
1 91
E ( X )  (1  2  3  4  5  6 )  
6 6
2
2
2
2
V ( X )  E( X )  E( X )
2
2
2
2
2
前の計算と一致
91
91 49 35
2
  3.5  

 2.91666 
6
6
4 12
分散の公式（まとめ）
① V( aX + b ) = a2E(X)
② X と Y が独立ならば、
V( X + Y ) = V(X) + V(Y)
③ V(X) = E(X2) - E(X)2
［演習］確率変数と分布関数・平均・分散
(離散型)
[1] 偏りのないコインを3回投げる実験で、表の出る
回数を X とする。
(1) 確率変数 X の確率分布を求めよ。
(2) Xの平均E(X)、分散V(X)を求めよ。
(3) 表が出たら2ドル貰え、裏が出たら1ドル失うとし
て、獲得金額を Y とするとき、確率変数 Y の平
均E(Y)、分散V(Y)を求めよ。
［演習］確率変数と分布関数･平均・分散
（連続型）
[2] 区間[0,1]に針を落とすとき、落ちる位置
の座標を X とする。風の影響で、確率変数
Xの確率分布が右下図のような形をしてい
るものとするとき、次の問いに答えよ。
(1) X の確率密度関数 f (x) を求めよ。
(2) P ( 0.2 < X < 0.6 ) を計算せよ。
f(x)
(3) X の平均 E(X) 、分散 V(X) を求 a
めよ。
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