第３章：赤道波（重力波も含めて） -擾乱表現の１つの方法＜ー赤道成層圏は波で満ちあふれている？ -風のなかで、繰り返してさしつかえないか- とくに波が鉛直に伝わることについて、 対流圏で作られたものが成層圏に流入してエネルギーな どを運ぶ １章の中のいくつか論文の図から推測−＞対流圏の東西 非一様な擾乱も結構波として表現が可能 −＞ と言う事で 波による気象力学の認識が、ある部分では可能であろう． 後の話しの関係上（成層圏での非線型の作用について）， おもに鉛直の性質を述べる事になる．波が作られる場所 の相互作用でもいいはず．熱だと全運動量は保存するよ うに，山ならDragを考える事．ただし対流圏は複雑でよく わからない． ３−１：比較的小さな現象 しばらくのあいだ地球の回転に比べはやい運動について 考える。ここでは主に波動現象を考察するので、波動の振 動の周期は中緯度では，１０時間くらいよりは短いものと する。 但し赤道域に存在する Kelvin波は振動が１日より長い にも関わらず、本質はこれから議論する内部重力波であ るので、ときどき周期が１日より長いにも関わらず内部重 力波として考察するだろう。 これは赤道に近いと回転があまり効かない為である。コ リオリ項がｆ＝２Ωｓｉｎφで緯度φがゼロになる．また現象に よく現れるのでそのような話しが多い． 補足：回転も入った内部重力波については、あとで。 赤道域の重力波：鉛直波長２－３ｋｍ、水平波長２０００ ｋｍくらいの重力波と考えられている。Tsuda et al., 1994, J. G. R. ３−２ 基本状態 ★１章の形態のところで，平均的な温度の鉛直分布を 示した．ここでは，そのようなものを基本状態として，そ れからのずれの運動としての線型論（微小な振幅の擾 乱）の話しをする． 基本状態として何を選ぶか？ 高さに依存した温度も あるが，ここでは等温の静止大気を選ぶことにする。− ＞そのように基本状態を選ぶとものごとが簡単になる （式の処理として）。 １章での観測からの平均的 温度構造図 −＞まあ等温 大気でもいいであろう？ 等温の静止大気も当然運動方程式を満足しないといけないであろう。運動がないのだから加速の項は０になっている。圧 力項も０になっていないといけないから圧力の東西、南北方向の勾配は０でないといけない。すなわち水平方向の圧力差 はない。 次に鉛直方向のバランスをみてみる。加速項は０であるから、静力学平衡の式になる。だから基本状態である静止した 等温大気は静力学平衡になっている。基本状態を表すのに 0 の下つき添え字を用いることにすると、等温大気の時、 (1) dp 0( z) 0g dz d ln p 0 g 1 dz RT 0 H (2) (3) p 0 p 00 exp( z ) H ここでp00は地上の気圧を示す。密度も同様である。 次に等温大気の場合の温位を見てみる。温位の定義式から温位も高さの g ln / z ln T / z 関数である。 c T p 0 成層圏Ｎ２が大きい，対流圏Ｎ２が小さい． 対流圏周期Ｔ＝２ｘπ／１ｘ１０−２＝６００秒 １０分という事．成層圏は５分くらい 温位は高さの増加関数である。だから等温大気は安定であることがわ かる。 温位の対数の鉛直微分は、 g 1 g 1 d R (4) S N g c 2 0 0 dz p RT 0 RT 0 この値は高さによらず一定である。Sは安定度。 実際は対流圏と成層圏で異なる！ これを今は一定として議論を進める。要するに一定にすると擾乱につ いて鉛直の構造も簡単に解けるからである。 対流圏と成層圏で変化した時？− ＞ｓｔｅｐ的に変化する例もある（惑 星波動の場合）， だいたい飛んでいるようなＮ２である． またそれぞれが一定とすれば解き やすい． −＞ 圏界面にtrapされた波が作られる。 媒質または屈折率がとんでいるか ら。 図：成層圏と対流圏のＮ２の頻度分布． 津田ら(1991)から． ｚ ＜−つなぐ， 圧力と変位が連続 ３−３：基本状態（いまは等温大気）のまわりの微小擾乱 コメント：音波をあつかう事と同様の事をする（ normal mode 論）．鉛直方向に重力が働いていることで，重力波が存在出 来ること． 線形の摂動方程式を書いておく。重力波は基本状態につけ加わる微小擾乱と仮定する。重力波に伴う場の量については 上付きのプライムをつける。すると各々の物理量は以下のように表現される。 (5) u u, w w, 0 , p p 0 p, 0 ,T T 0 T ここでT0 は一定であり他の基本量は高さのみの関数である。速度については基本状態は静止しているので上つきプラ イムの量のみである。ここで簡単のため南北方向の風成分はないとし、また南北方向には一様と仮定する。だからプラ イムの量は u u(x, z, t) のように東西、高さ、時間の関数である。 まず東西方向の運動方程式である。（簡単のためにプライムは落とす、以下付けたり落としたりするが話しの粗筋を理解 しておけば混乱することはないであろう） (6) u p ( ) t x 0 次に鉛直方程式は次のような方程式を採用しよう。 (7) w p ( ) g t z 0 0 この式ではρ0 が z-微分の中に入っている。いま p 1 p 1 p ( ) z 0 0 z 0 H であるからこの近似はスケール・ハイト H が大きい近似である。 次に連続の式は密度の時間変動を落とした以下の方程式を採用しよう。 (8) ( 0 u) ( w) 0 x z 0 熱力学の方程式としては (9) ( ) wS 0 t 0 最後に密度と温位の関係式として、 0 0 (10) (6)から(10)までが内部重力波の方程式である。 内部重力波の分散式を求める為、物理量の形を次のように仮定す る。 z exp(ikx imz it) exp( 分散式は 2 2 N k k 2 2H ) 2 m2 1 2 4H 図に分散関係（東西波数と振動数を与えたときの鉛直波数を示 したもの）をのせるある。N2=4 , cs2 / 4H2 =4.9 として書いた。実 線部が内部波、破線部が外部波。 外部波（exp(-nz)的）と内部波（exp(imz)）の違いの概念図。 Holton(1992)より、この図は山で生成された波の例。 外部波でも大気の内に存在可能である。この波が上下に伝播可 能ならば内部波、上下に伝播しないで強制の場所で振動しその上 下では exponential的に弱くなる場合は外部波と呼ばれる。 補足：風速の高さ方向の振幅変化に注意しよう。内部波の場合、 それは exp (z / 2H)のように高さとともに大きくなることである。例 えば地上で10 cm/sの風速は100kmになるとH=7kmとして127m/s にもなる。 台風で生成された重力波：（Dhaka et al. 2002）94年、 9月29-30日、台風26号：信楽（35N, 136E）でのMUレー ダー観測の結果： 対流圏では激しい対流 成層圏に重力波の振動が みられる。調べてみると、水平波長が30km、鉛直波長 が3kmで周期が50分程度の重力波が卓越している。 ３−４：水平波長の長い重力波（長波） 左図は対流圏の時間的なエネルギー・スペクトルの一例。 アラスカ、８ｋｍの高さ。横軸は上が周期、下が振動数で ある。下の横軸の矢印は浮力振動数である。79年夏の 観測、右は86ｋｍの高度。 対流圏観測によるとエネルギーはレッド・ノイズ的なスペ クトルをもっている。（Balsley and Carter, 1982, G. R. L.）。 レーダー観測による。 −＞Nastrom and Gage(1985, J. Atmos. Sci. Aircraftによる観測で、対流圏界面あたりの観測) の水平スケールに対応したスペクトルなどをなが め、波動として考え、だいたい短周期的な擾乱は 水平波長が短いことを考えると、相対的に水平波 長の長い重力波の方が短い波長の波より気象学 的に重要のようである。そこでここでは比較的水 平波長の長い重力波の考察をおこなう。本当は回 転を考えないといけないがあとで回転は入れよう。 数100kmでスペクトルの傾きが変わっていることに 注意、Rossby波的と重力波的？ Hirota and Niki(1985)によると、f/ωは0.2くらいの重力波が多い よう？ 1977-1982, 広範囲の気象ロケットデータを用いて。中 緯度では数時間の周期対応か 鉛直波長 Sato(1994)の重力波の観測例：信楽（35N, 136E）にあるMUレー ダー、1986-1933の期間。統計的に鉛直波長 2〜3ｋｍ，水平は 数100 kmのものがよく見える．（下部成層圏）ひらべったい重力 波が卓越しているようである。 水平波長 衛星観測で見積もられた下部成層圏の重力波の水 平スケール、Preusse et al., 2003, JGR, 1000km程度のスケールが卓越、中高緯度はスケー ルがより小さい。 Vincent and Reid (1983) -水平波長数10km程度 が卓越（中間圏高度で は）、Adelaide, Australia (35S, 138E)でのHF Doppler観測。 観測例：Koch et al. (1993, Mon. Wea. Rev. ) Lx=150km、 周期が２時間程度の重力波：この重力波はshear不安定 でできているらしい。また、５ｋｍ高度にcritical level（４ 章）があるらしい。 鉛直波長は数ｋｍ程度のものがよく観測される（これは大気 の厚さが約１００ｋｍ程度であることと、観測方法によるので あろう？）。重力波の分散式 を思い出そう。水平波長が100 ｋｍ程度より長ければ分散式で水平波数 k2 の項を落として もよいことがわかる。これから以降はこのような波を主に考 察する。k2 の項を落とすことはもとの基礎方程式ではどの ような近似になるか？それは鉛直方向の運動方程式におい て静力学平衡の仮定をすることである。 log-p座標（１章補足）での式を使い、線型方程式を書くと（東 西・鉛直の２次元のみ） (12) u ( ) t x RT z H u w w 0 x z H w N 2 0 t z この式から波を仮定して分散式を導くと， 2 2 (13) N k 2 m2 1 2 4H メソ現象の中に多く内在しているよう。 ３−５：内部重力波の鉛直構造について 一般的には、内部重力波はいろいろな原因（風が山岳にあたって出来る、または基本場の不安定によって作られる。波 の生成の問題は別章）で対流圏において作られ、成層圏に上方伝播している。あるときは、大振幅の波となりそれが原因 でまた別の波が成層圏で作られ下方にも伝わることもあるが。実際はもっと複雑であろう。いろいろの所に重力波はある が、全貌はよくわかっていない。 この節では上方伝播しつつある内部重力波の構造をみる。伝播の方向はよく知られているようにエネルギーの伝播の 方向により決定される。またそれはよく知られているように群速度で表される（例えばランダウの流体力学参照）。 いまの場合に分散式は として exp( ikx imz it) 2 Cg x 東西、鉛直方向の群速度は以下のように表される。 長波の分散式を k , mで 各々微分すると 2 2 2 上式を整理して、 (15) のように表される。 p 2 2 N k N k m , 1 2 k (m 2 1 ) m 2 (m 2 2) 4H 4H いま以下のような波の形にすると（k,m,ω正として）上方伝 播する exp(ikx i t imz) 上記で表現された波動の位相は東に伝播し、下に伝わり ます。ところが群速度の式をみると上向きということにな ります。この場合、鉛直方向には位相の向きとエネル ギーの伝播する向きが反対ということになります。 いま簡単に上向き伝播の重力波の構造をみるためにス ケール・ハイトに比べ波長が短い場合を仮定します。鉛 直速度は以下の形を仮定します。 w A exp(ikx i t imz) m A exp(ikx i t imz ) k u m A exp(ikx i t imz ) 2 k k u 4H 2 , Cg z k m 東西風等にはH の項を無視して、 2 N 2k N k , 2 2m 2 k m2 1 m 2 (m 1 2 ) 2 4H N2 k2 1 4H 2 m2 0 2 g N 0 i A exp(ikx i t imz ) 東および上方にエネルギーが 伝播していく内部重力波の構 造。太い実線は振幅、波の先 端は振幅が小、真中の高度で 定常状態になっている。東西風 が正(負）のとき、鉛直風は正 （負）。東西風が最大のところで 高圧。温度構造も理解出来る。 右にうごかすと（東方伝播して いるから）、位相は下向きに動 いているように見える。こんな 形で運動する 慣性重力波について: 簡単のために基本状態の密度は一定としよう，ただし安定成 層はしているとする．また長波を仮定する． u t v t fv fu x y ( ( p ) 0 p Tsuda et al. (1994)：熱帯域で前に示した図 ) 0 p z ( ) g u v w 0 x y z ( g ) wN t 0 0 0 2 0 0 exp( ikx ily imz it ) これまでのように（南北方向も含む） の形を仮定すると，分散式として 2 または これからわかるように は伝播しない． m2 N 2 (k 2 l 2 ) f 2 m2 m2 2 2 2 N (k l ) ( 2 f 2 ) 慣性周期は3.8日、波の周期は2日で、k=lとして L=2000kmとすると、鉛直波長はLx=2km程度にな り、上図に対応している。 が よりゆっくり振動するとき，鉛直に f ＊これから赤道は鉛直に伝播しやすい事がわかる 線形 波動 の分 散図 対流圏では水平波長は短い？（数100km）。 Sato et al. (1997, G. R. L. )：（中緯度、35N, 136E）MUレーダー観 測 1995年４月：周期２０時間、鉛直波長3.5km near 22km c=-10～-20m/sの西向き慣性重力波。水平波長は 1000km 程度。 熱帯域の慣性重力波： Kawatani et al. (2003, G. R. L. )、周期は１日である、ITCZからつくら れたもの、モデル結果 残りの式は ３−６ 赤道波について u v 1 0 1 ) ( 2 ( z )) 0 ( z ) z N z gh ( ) x y t 1 u 2 v sin ( p ) t x 0 のような式で、赤道 y β- 平面近似をおこなう。 sin 2 として、 a を導入する。ここで、β a = 2.29 x 10 1m-1 である 等価深さ：式は -11 s- u p y v ( ) t x 0 v p yu ( ) t y 0 ( 0 u) ( 0 v) ( 0 w ) 0 x y z p ( ( )) w N 2 0 t z 0 上の式から， 1 (u) (v) ( w) x y 0 z 0 ( のようにする。方程式の左辺は水平演算子のみ、真ん 中は鉛直のみで、それらが比例定数を通じて等しい式 になる。それぞれの式は ( ) gh( (u) (v)) 0 t x y 1 0 1 ( 2 ( ( z)) ( z) 0 z N z gh h となる． は等価深さ（変数分離定数）で、 h の浅水方程式と同じ形をしている． の深さ 浅水波の問題として赤道波の分散式をもとめる： 1 0 p (u) (v) ( ( ( ))) 0 x y 0 z N 2 t z 0 １、２項が水平の演算子，第３項は鉛直の演算子になって いて，それらが等しいから変数分離定数を通して比例関係 にないといけないであろう（変数分離可能）。そこで， p として 0 u u( x, y, t) ( z) ( x, y, t) の形とすれば，水平運動方程式はそのままで， u t v t x yu y yv 浅い海の波、ただし上図では H が平均深さ になっている。 u y v ( ) t x v y u ( ) t y ( ) gh( (u) (v )) 0 t x y これまでと同様にして、 北方向は係数βy がある）。 exp( ikx i t) の形を仮定する（南 vのみの式に変形すると d 2 v 2 k 2 2 2 k y v 0 2 dy gh gh y le le ( gh)1/ 4 1/ 2 d 2v ( gh)1/ 2 2 k 2 ( ) v 0 ( k2 ) 2 d gh の式が導かれる。ｙ＝∞でゼロなる解を求める。境界条件を満たすためには、トビトビの固有値になる。 この方程式には重力波だけではなくて、赤道Rossby波も含まれる。 赤道波全体の分散式の図：n=-1は特別例（v=0の解）。 (gh)1/ 2 2 k ( k 2 ) 2n 1 (n 0,1,...) gh 下図は n=0, k=0.5の西向き波動（Rossby重力波） 観測で見られ るRossby-重 力波らしいシ グナルの時間 変化 横軸は東西波数、縦軸は周波数。n は南北の波数、大きくなるほど南北 の構造は複雑になる。この図ではω負が東進波 上図はn=１ 西向き重力波 Ｎ２が一定の時，前と同様に (z) exp(z / 2H imz) とおけば， 赤道ケルビン波について 長波の内部重力波の代表的な例として赤道ケルビ ン波について述べておこう。運動方程式から、 (16) 1 1 1 (m 2 ) N2 4H2 gh u yv ( p ) t x 0 となり，これは鉛直波長と等価深さの関係式になる． 同様に南北方向の線形の運動方程式は v yu ( p ) (17) 前と同じような雲の時系列の図を示す、 スペクトル解析もあり t y 0 v=0 なる解である。v=0とすると(16)はこれまでの ２次元重力波の方程式と全く同じである。南北方 向の運動方程式はいわゆる地衡風バランスの方 程式（コリオリ力と圧力傾度力がバランス）となる。 (18) １つの分散式にのること？ ｈ＝20ｍ ２ にのるとすると，4Ｈ の項は無視，対流 圏はＮ＝1ｘ10−２の値とすると，鉛直波長 は−＞10ｋｍ程度となる（半波長が5ｋｍ はうすい感じ）．熱帯は17ｋｍ程度の高さ． p yu ( ) y 0 − ＞熱の放出を考えれば、hを小さくする こと（浅い海の波の位相速度に対応）は ３時間ごとのGMS赤外 可能である（波の生成とからんで次章で データの解析（Takayubu, のべる）。 1994, J. M. S. J. ） 1982/1983 DJF で緯度 4.5S-5.5S、1.0-3.5dayの filterあり 上のシグナルをスペクトル解析し たもの（波数、周期）。緯度は2.5S ケルビン波 波の形を仮定すると p i u ik 0 だから (19) k p ( p ) y 0 y 0 これを積分してy-方向の構造のみをみてみると (20) p k 2 exp ( y ) 0 2 ここで k > 0 ,ω > 0 ならば東方伝播の波であり、 このときは y が無限のとき０に収束。一方 ω < 0 のとき波は西方伝播の波となるが、y が無限のと き振幅は無限となり物理的ではないので西方伝 播のKelvin波は存在しない。 ケルビン波の観測例： Kelvin波はこの様に構造が簡単のためかどこにでも存在し （海の中から100ｋｍの高さの大気まで）、いろんな所で重要 な役割を果たしている。例えば言葉の羅列ですが、QBO（下 部成層圏）、Semi-annual Oscillation（成層圏界面、中間圏 界面）、Intraseasonal Oscillation（対流圏）、ENSO（海の中）、 に重要な役割を果たしている。波の例として解析された Kelvin波について述べておく． 100hPaでの温度 のスペクトル。 15S-15Nの平均。 1990-1999年の間 で解析。Kelvin波 に対応したシグナ ルが見れる。 ケルビン波温度の 経度・高度断面図。 季節変化、1月、4 月、7月、10月。 70hPa付近が最大 の値をもっている。 5S-5Nの平均 図は赤道下部成層圏のケルビン波の時間−高度断面図（上 が東西風で下が温度）。1963年の夏、場所はカントン島（南緯 3度）。ただし、上下図の時間軸がずれていることに注意。周 期が15日くらいの振動が見える。 Kelvin波の経度依存性： Suzuki and Shiotani, 2002, ISSVC abstract Kelvin波の季節性： 上：100hPaでの温度 の季節・経度断面図。 この高度では0度付 近がシグナルが強い。 5S-5Nの1990-1999 年の平均。 中：OLRの季節・経 度断面図。15S-15N の平均。 下：風の季節・経度 断面図 ★赤道上部成層圏の中のKelvin波についての観測： Coy and Hitchman(1984, J. Atmos. Sci.): 熱帯の４０日振動：インド洋から西大平洋に東に伝 播する振動、構造の１部がKelvin波的になっている。 図：k=2の温度擾乱。100ｍｂあたりから波群がでている， 位相は下向き，群速度は〜2.8ｋｍ／day，40ｋｍ近くまで， それ以上は見えない，吸収されているよう．位相速度も 同程度である．鉛直波長は15ｋｍ程度，周期は6日位 基本流 =-10m/s程度がある時は u0 k Nk m を使って，周期は6日を入れ，東西波数は２を入れて 鉛直波長を評価してみると，15ｋｍになる． 鉛直群速度は Nk m m2 と表されるから，これで鉛直群速度を評価すると3.1ｋ ｍ／dayとなる 上の評価は観測と矛盾しないと言う事でこの波動は Kelvin波と考えられている。 赤道でKelvin波的に見える。Hayashi and Golder, 1988, J. Atmos.Sci. から
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