電磁気学C

電磁気学C
Electromagnetics C
5/29講義分
電磁波の反射と透過
山田博仁
今後のスケジュール
・ 5/29(第8回目)
電磁波の反射と透過 (第2回レポート出題)
・ 6/5(第9回目)
電磁波の偏波と導波路
・ 6/12(第10回目) 光導波路と光共振器 (第2回レポート締め切り)
・ 6/19(第11回目) 電磁ポテンシャルとゲージ変換
・ 6/26(第12回目) 遅延ポテンシャルと先進ポテンシャル (第3回レポート出題)
・ 7/3(第13回目)
電気双極子による電磁波の放射
・ 7/10(第14回目) 電気双極子による電磁波の放射 (第3回レポート締め切り)
・ 7/17(第15回目) 点電荷による電磁波の放射
・定期試験 7/24(木)以降
界面での電磁波の反射と透過
2種類の媒質が x-y 平面 (z = 0) を境に接し
ており、 z > 0 を媒質Ⅰが、 z < 0 を媒質Ⅱ
が満たしている。平面電磁波が媒質Ⅰから
媒質Ⅱに入射角 qi で斜め入射し、その一部
が反射角 qr で反射され、またその一部が透
過角 qt で媒質Ⅱ内に透過する場合を考える
ここで図のように、入射波の電場ベクトルは
x-z 平面内にのみ存在し、磁場ベクトルは y
方向成分のみを有するとすると、
z
Hi
qi
Z1
媒質Ⅰ
媒質Ⅱ
Z2
磁場(ベクトル)が界面に平行に入射した場合の電界透過係数
Et
2Z 2 cosqi

Ei Z1 cosqi  Z 2 cosqt
Hr
Ei
磁場(ベクトル)が界面に平行に入射した場合の電界反射係数
Z cosqt  Z1 cosqi
E
r  r  2
p.210 (12.62式)
Ei Z1 cosqi  Z 2 cosqt
t 
qr
Er
p.210 (12.62式)
ただし、Z1, Z2は、それぞれ媒質1, 2の固有インピーダンス
x
y
qt
Ht
Et
界面での電磁波の反射と透過
次に図のように、入射波の磁場ベクトルが
x-z 平面内に存在し、電場ベクトルは y 方向
成分のみを有するとすると、
入射波
Ei  (0,  Ei , 0)
 E

E
H i    i cosq i , 0,  i sin qi 
Z1
 Z1

反射波
Er  (0,  Er , 0)
 Er

Er

H r   cosqi , 0,  sin qi 
Z1
 Z1

透過波
Et  (0,  Et , 0)
 E

E
H t    t cosqt , 0,  t sin qt 
Z2
 Z2

z
Ei
qi
qr Er
Hi
Hr
Z1
媒質Ⅰ
媒質Ⅱ
Z2
q r  qi
x
y
qt
Et
Ht
Z1, Z2は、それぞれ媒質1, 2の電磁インピーダンス
界面での反射と透過
界面での電場 E および磁場 H の接線成分の連続性より、
Ei  Er  Et
Hix  H rx  Htx

Ei cosqi Er cosqi
E cosqt

 t
Z1
Z1
Z2
従って、
電場(ベクトル)が界面に平行に入射した場合の電界反射係数
r 
Er Z 2 cosqi  Z1 cosqt

Ei Z 2 cosqi  Z1 cosqt
例題12.3 (p.212)
電場(ベクトル)が界面に平行に入射した場合の電界透過係数
t 
Et
2Z 2 cosqi

Ei Z 2 cosqi  Z1 cosqt
例題12.3 (p.212)
ただし、Z1, Z2は、それぞれ媒質1, 2の固有インピーダンス
界面での電磁波の反射と透過
12.57式と12.63式より、
sin qi v1 Z1
 
sin qt v2 Z 2
従って、 Z 2 
sin q t
Z1
sin qi
この関係を用いると、
磁場(ベクトル)が界面に平行に入射した場合の電界反射係数は、
Er Z 2 cosq t  Z1 cosq i sin q t cosq t  sin q i cosq i


Ei Z1 cosq i  Z 2 cosq t sin q i cosq i  sin q t cosq t
r 


(sin q i cosq t  sin q t cosq i )(cosq i cosq t  sin q i sin q t )
(cosq i cosq t  sin q i sin q t )(sinq i cosq t  sin q t cosq i )
tan(q t  q i )
tan(q i  q t )
磁場(ベクトル)が界面に平行に入射した場合の電界透過係数は、
t 

Et
2Z 2 cosq i
2 sin q t cosq i


Ei Z1 cosq i  Z 2 cosq t sin q i cosq i  sin q t cosq t
2 sin q t cosq i
sin(q i  q t ) cos(q i  q t )
界面での電磁波の反射と透過
電場(ベクトル)が界面に平行に入射した場合の電界反射係数は、
r 

Er Z 2 cosq i  Z1 cosq t sin q t cosq i  sin q i cosq t


Ei Z 2 cosq i  Z1 cosq t sin q t cosq i  sin q i cosq t
sin(q t  q i )
sin(q t  q i )
電場(ベクトル)が界面に平行に入射した場合の電界透過係数は、
t 

Et
2Z 2 cosq i
2 sin q t cosq i


Ei Z 2 cosq i  Z1 cosq t sin qt cosq i  sin qi cosq t
2 sin q t cosq i
sin(q t  q i )
r or t
これらはFresnelの式と呼ばれている
以上で求めた r , t , r , t を、
入射角 qi に対して図示せよ
0
qi  qt 
(今回の出席レポート)
(6/5提出〆切)
例えば、 r を図示すると、
-r or -t

2
 qi
2
界面での電磁波の反射と透過
以上の結果から分かるように、磁場ベクトルが界面に対して平行に入射した場合
の電界反射係数は、入射角 qi と透過角(屈折角) qt の和がちょうど直角になる時
にゼロ、つまり無反射となる。この時の入射角度 qi のことを Brewster 角という。
Brewster 角qi は、
qi  qt 

2
Snell の法則より、
sin q i Z1 n2


sin q t Z 2 n1
従って、 Brewster 角qi は、
Z
n
q i  tan 1  tan 1 2
Z2
n1
1
z
Brewster角
Hi qi
Er
qr
Hr
Ei
Z1
媒質Ⅰ
媒質Ⅱ
Z2
x
直角
y
qt
Ht
Et
また、入射角と Brewster 角との大小関係により、電界反射係数の符号が反転する
Brewster 角の物理的意味
このような Brewster 角が存在する物理的意味は ?
電磁波が反射するメカニズムは、入射波によって界面に誘起された誘電分極から
の電磁波の放射と考えることができる
Brewster 角で媒質Ⅱに入射する電磁波は、媒質Ⅱ内の界面付近に分極を生じ
るが、その分極は反射角の方向には電磁波を放射できないため
Brewster 角の身近な例
Brewster角 z
海面や雪面からの反射が眩しい時、
偏光サングラスをかけると眩しくな
くなる理由は?
偏光子
偏光子
qi
この方向には、
電磁波を放射
できない
Ei
媒質Ⅰ
媒質Ⅱ
E
qr
x
y
E
qt
完全導体による電磁波の反射
完全導体(s =∞)表面における電磁波の境界条件は、
E t  0
導体表面に
電荷が現れる
場合がある
電場 E
Bn  0
完全導体
界面での電場の
s =∞ E = 0 接線成分 E はゼロ
完全導体
電場の法線成
分 En は必ずし
もゼロではない
En ≠ 0
E=0
t
磁場の接線成
導体表面に
電流が流れる分 Ht は必ずし
もゼロではない
場合がある
Ht ≠ 0
完全導体
完全導体内では
E = 0、従って rot E = 0
静磁場に対
しては必ずし
もゼロでない
Bn = 0
完全導体
変動磁場
B  0
静磁場
B0  0
B
より
rot E  
t
変動磁場の法線
成分 Bn はゼロ
変動磁場静磁場
B0  0
B  0
従って、電磁波は完全導体内
には進入できず、全反射される
完全導体による電磁波の反射
z < 0 の領域を固有インピーダンス Z の媒質が占め、x-y (z = 0) 平面を境にして
z > 0 の領域の完全導体と接しているとする。さらに、電磁波は x 方向に偏光し
た正弦波とし、その角周波数を  とする。媒質中 (z < 0) から導体界面に対して
垂直に入射した場合を考え、電場と磁場を入射波と反射波の和として表せば、
E x  Eix  Erx  Ei 0 cos(kz  t )  Er 0 cos(kz  t )
1
H y  H iy  H ry  Ei 0 cos(kz  t )  Er 0 cos(kz  t )
Z
k    は電磁波の波数
x
媒質: Z
Eix
Hiy 入射波
反射波 0
完全導体中への透過波は存在しないため、導体表面で Hry Erx
Ex = 0 であり、
Ei 0  Er 0  0
従って、媒質中の電磁場は、
E x  Ei 0 cos(kz  t )  Ei 0 cos(kz  t )  2 Ei 0 sin kz sin t
Hy 
完全導体
1
Ei 0 cos(kz  t )  Ei 0 cos(kz  t )  2 Ei 0 coskz cost
Z
Z
z
完全導体による電磁波の反射
電場
反射端(導体表面)
l
入射波
反射波
z
定在波
z=0
定在波の腹の位置
定在波の節の位置
出展: http://www8.plala.or.jp/ap2/chishiki/teizaiha.html
電場の節
z
n
l
 n 
k
2
電場の腹
(n = 0, 1, 2 ‥)
磁場の節
1  l 

z   n   
2  2 

1  l 

z   n   
2  2 

(n = 0, 1, 2 ‥)
磁場の腹
(n = 0, 1, 2 ‥)
z
n
l
 n 
k
2
(n = 0, 1, 2 ‥)
伝送線路との比較
受電端を短絡した場合に対応
送電端
Is
無損失線路(a = 0)
Vs
Z0
xs
I0 受電端
Ix
Vx
V0= 0 短絡
x=0
全反射
x
Vx  Z 0 I 0 sin b x  cos t
I x  I 0 cos b x  sin  t
定在波
3

3
t  
0
244
5
2
2
3
2


2
bx=0
電圧
電流
短絡
xs
x=0
波の反射と定在波
+x方向に進行する波
t = 0

4

2
3
4

l
反射波
反射端
定在波=進行波+反射波
x
定在波
l
反射端(全反射)
進行波
反射波
定在波
定在波の腹の位置
定在波の節の位置
反射端(r=0.5)
進行波
反射波
定在波
反射端(r=0.1)
進行波
反射波
定在波
出展: http://www8.plala.or.jp/ap2/chishiki/teizaiha.html
電磁波の共振器
平行平板共振器 (Fabry-Perot共振器)
完全導体による平行平面で挟まれた
空間に存在する電磁波はどのように
表される?
簡単のため、電磁波は x 方向に偏光
した正弦波とし、z = 0, L に位置する
完全導体面に対して、垂直に入射し
ているものとする。
n=1
完
全
導
体
n=2
n=3
?
z=0
電界 Ex は、いつの瞬間においても完全導体表面でゼロとなるから、
Ex  Ei 0 cos(kz  t )  Ei 0 cos(kz  t )  2Ei 0 sin kz sin t
において、z = 0, L において Ex = 0 となるためには、
n
(n = 1, 2, 3 ‥)
z sin t
L
2 n
よって、 k 
であるから、 L  n l 

l
L
2
E x  En 0 sin
(n = 1, 2, 3 ‥)
完
全
導
体
z=L

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