ロジスティック回帰分析 ロジスティック変換による推定 1 準備 指数関数と対数関数 2 e という数 n 1 e lim 1 2.71828 n n 3 e の累乗 e は累乗されて議論されることが多い そのため、e の累乗を以下のように表す。 e exp x x 4 exp(x)の値 exp(x) x e 値 exp(-2) e-2=1/e2 0.135 exp(-1) e-1=1/e 0.367 exp(0) e0 1.000 exp(1) e1=e 2.718 exp(2) e2 7.389 5 指数関数と対数関数 y=e x を x について解いた式を x = log y という記号で表す。 x を指数関数と呼び y=e x = log y を対数関数と呼ぶ 6 従属変数が比率のとき • 製造工程における熱処理時間をxとする。 • xを1から7(秒)まで変化させて、各条件で 100個の製品を製造した結果 加熱時間(x) 1 2 3 4 5 6 7 良品数 97 94 79 54 23 9 3 不良品数 3 6 21 46 77 91 97 不良率(y) 3% 6% 21% 46% 77% 91% 97% 7 加熱時間と不良品率の関係 100% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 0% 0 1 2 3 4 5 6 7 8 8 問題 表を完成させなさい i x y x2 xy 1 2 3 4 5 6 7 合計 1 2 3 4 5 6 7 28 0.03 0.06 0.21 0.46 0.77 0.91 0.97 3.41 1 4 9 16 25 36 49 140 0.03 0.12 0.63 1.84 3.85 5.46 6.79 18.72 9 問題 a , b を求めなさい。 x y x y x n a n 2 i i 1 n i i 1 n i i 1 n 2 n xi xi i 1 i 1 n b i n n n i 1 i 1 i 1 i 1 2 i n xi yi xi yi n x xi i 1 i 1 n n 2 2 i 10 普通の回帰分析を適用 • 不良率(y)を従属変数 • 加熱時間(x)を独立変数 y -0.23857 0.181429 x 11 不良率の予測値 110% 100% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 0% -10% 0 1 2 3 4 5 6 7 8 12 予測値の問題点 x 1 2 3 4 5 6 7 予測値 -5.71% 12.43% 30.57% 48.71% 66.86% 85.00% 103.14% 13 ロジスティック回帰 不良品率を y を従属変数とし 加熱時間を x 独立変数とする。 1 yi 1 exp a bxi 14 問題 (a + b xi ) について解きなさい 1 yi 1 exp a bxi yi a bxi log 1 yi 15 (a + b xi)に関して解いた式 yi a bxi log 1 yi 左辺を対数オッズという。 対数オッズを従属変数とする普通の回 帰分析を行えばよい。 16 対数オッズの算出 y 1-y y/(1-y) log(y/(1-y)) x 0.03 0.97 0.03 -3.48 1 0.06 0.94 0.06 -2.75 2 0.21 0.79 0.27 -1.32 3 0.46 0.54 0.85 -0.16 4 0.77 0.23 3.35 1.21 5 0.91 0.09 10.11 2.31 6 0.97 0.03 32.33 3.48 7 17 対数オッズを従属変数とする回帰分析 i y x x2 xy 1 2 3 4 5 6 7 合計 -3.48 -2.75 -1.32 -0.16 1.21 2.31 3.48 -0.71 1 2 3 4 5 6 7 28 1 4 9 16 25 36 49 140 -3.48 -5.50 -3.97 -0.64 6.04 13.88 24.33 30.66 18 問題 対数オッズを従属変数とし、加熱 時間を独立変数として回帰直線を 求めなさい yi 4.89 1.20 xi log 1 yi 19 問題 以下の式を yi に関して解きなさい。 yi 4.89 1.20 xi log 1 yi 1 yi 1 exp 4.89 1.20 xi 20 観測値と予測値 x 1 2 3 4 5 6 7 不良率 3.00% 6.00% 21.00% 46.00% 77.00% 91.00% 97.00% 予測値 2.43% 7.61% 21.43% 47.45% 74.93% 90.82% 97.04% 21 観測値と予測値 100% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 観測値 予測値 30% 20% 10% 0% 0 1 2 3 4 5 6 7 8 22
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