運動方程式からわかること運動量、力積、運動エネルギー 1 運動方程式 ma  F からわかること問題１：運動量 p  mv を使って、運動方程式は dp dt と書けることを示せ。 F 運動量：運動の勢いを現す。教科書p.51-52 問題２：前問の結果より、 t2  力積により p2  p1  Fdt 運動量が変化する。 t1 を示せ。教科書p.55 問題３：運動方程式と速度ベクトルの内積をとることにより、 P1 1 1 2 2 mv1  mv 0   F  dr P0 2 2 を示せ。運動エネルギーの変化＝仕事 2 教科書p.20 問題１の解答 ma  F 運動量 p  m v 問題１ dp d ( mv )  dt dt dv  m dt  ma  F (1) を使って、書き換える。運動量：運動の勢いを現す。質量mは時間によらず一定だとする。 3 問題２の解答前問より dp F dt 微分の逆は積分 p   Fdt 時間t1, t2における運動量をp1, p2とすると、 t2 p 2  p1   Fdt 力積により運動量が変化する。 t1 4 問題３の解答 ma  F (1)の両辺と v の内積を取ると、ma  v 左辺は、右辺は、よって (1)  Fv (2) dv d 1 2 ma  v  m  v   m v  dt dt  2  dr Fv  F dt d 1 2 dr  mv   F dt  2 dt  5 dv d 1 2 v   v  dt dt  2  解答の補足 v  v x  v y  vz 2 2 2 2 2 dvy 2 2 dvx dv dvz    dt dt dt dt 合成関数の微分 2 の証明右辺から出発する。 2 df df dy  dt dy dt を右辺第1項に使う。 2 dvx dvx dvx dvx   2vx dt dvx dt dt dvy  dvx d 2 dvz  v  2 v x  vy  vz  dt dt dt   dt dv  2 v  dt 他の項も同様 6 解答続き d  1 2  dr  mv   F  dt  2 dt  1 2 dr mv   F  dt   F  dr 2 dt 点P0から点P1への変化は、 P1 1 1 2 2 m v 1  m v 0   F  dr P0 2 2 運動エネルギーの変化＝仕事 7 運動量 momentum p  mv 運動量 = 質量 x 速度重い物ほど運動量が大きい。速いほど運動量が大きい。衝突の時の勢いを表す。方向も示す。 dp F dt 力を受けると、運動量が変化する。 8 力積（りきせき）  t2 t1 Fdt impulse 力積＝力 x 時間運動量の変化は力積に等しい。 t2 p 2  p1   Fdt t1 9 仕事 F  d r  work ・内積 F 仕事＝力 x 距離 dr 経路に沿った微小長さ。接線方向 dr (微小=非常に小さい) 例：水平面上に物体があり、水平から60度の角度で5Nの力を加えて 3m引っ張った場合、した仕事は、 5N x 3m x cos60°=7.5N・m 10 運動エネルギー kinetic energy 1 2 mv 2 1 2 運動エネルギー   質量  速度 2 11 単位の話 ma  F SI (MKS)単位系 International System of Units Le Système International d'Unités 力学では、次の３つを使う。時間 s(秒）長さ m(メートル）質量 kg(キログラム) 参考：SIではない単位の例長さ：マイル、フィート面積：アール、ヘクタール体積：ガロン質量：ポンド熱量：カロリー secondの略 12 ma  F 単位の問題下記の単位をSI単位系で書け。理由も書くこと。問題１動径ベクトル問題２速度と加速度問題３力の単位、N(ニュートン）ヒント：運動方程式を使う。問題４運動量問題５ p  mv 運動エネルギー 1 2 mv 2 の単位、Ｊ（ジュール） 13 問題１の解答動径ベクトルは、位置を表す。 r  xe x  ye y  ze z  x(1,0,0)  y(0,1,0)  z(0,0,1)  ( x, y, z) 長さなので、単位はm(メートル）。 14 問題２の解答速度は、 dr r (t  t )  r (t ) v  lim dt t 0 t より、距離の単位÷時間の単位になるので、 m/s (メートル毎秒）加速度は、 dv v(t  t )  v(t ) a  lim dt t 0 t より、速度の単位÷時間の単位になる。 m/s2 (メートル毎秒毎秒） 15 問題３の解答力の単位 N (ニュートン）は、 ma  F より質量の単位 x 加速度の単位 = kg ・m/s2 読み方：キログラム、メートル毎秒毎秒注意：質量mの単位をm(メートル）と書く人がたまにいるが、ma = Fのmはmass(質量m)の略。 16 問題４の解答運動量の単位は、 p  mv より、 kg ・m/s 読み方は、キログラム、メートル毎秒 17 問題の解答問題５運動エネルギー 1 2 1 2 mv 2 は単なる数なので、単位はない。 2 mv の単位は、質量の単位 x 速度の単位の２乗 = kg・(m/s)2 = kg・m2/s2 18 偏微分、 gradベクトル、 -> ポテンシャル 19 偏微分：２変数以上の関数で、１つの変数について微分する教科書p.376 p ( x, y )  q ( x, y ) x  x ：xについて微分する。(ｙを一定とみる）「偏微分（へんびぶん）」と呼ぶ。図形的には、z=p(x,y)の関数を、 y一定の断面で見た時の、傾き z 問題：関数z=p(x,y)=xyを図示せよ。また p ( x , y ) を求めよ。 x y x 20 偏微分の記号  f x 読み方はいろいろある。・ラウンドディー・パーシャルディー・ディー英語では、・rounded d ・partial d ・d 英語なら、rounded f over rounded x partial derivative of f with respect to x 日本語なら、ラウンドx 分のラウンドf fのxに関する偏微分またはディーf, ディーｘ（これだと普通の微分と同じ読み方になるので、ラウンドの方がよい。） 21 偏微分の記号の書き方  f x 数字の６（ろく）をそのまま書かないこと。左右ひっくり返して書く。アルファベットのd(ディー）ではない。ギリシャ文字のδ（デルタ）ではない。ギリシャ文字のσ（シグマ）ではない。ミニワーク f 偏微分の記号に注意しながら、をアンケート用紙の x 上部に大きくはっきり３つ書いて下さい。 22 ２変数関数のグラフの書き方 z  p( x, y)  x  y 2 2 z x,y,zの表を作る。 x y 0 0 0 1 1 1 など。 z 0 1 2 x 1 1 y xとyの値を与えた時に、zの値をプロットする。 23 偏微分の例 p( x, y)  x y  sin x cos y 3 xについての偏微分 2 （yは定数だと思って微分する。） p( x, y ) 2 2  3x y  cos x cos y x yについての偏微分（xは定数だと思って微分する。） p( x, y) 3  x  2 y  sin x  ( sin y) y  2 x y  sin x sin y 3 24