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第１回勉強レポート：優秀レポートの基準
1) 指示を守っていること。
A4レポート用紙、左上をとじる、など。
2) 発展問題を解いていること。
授業の例と似ているものは除外。例 3x2など。
3) ベクトルをベクトルらしく書いていること。
太字または上に矢印
4) 「力」を列挙する問題で、力以外のものが含まれていないこと。
圧力、電力は力ではない。
1
運動方程式の例２：重力
2
基本ベクトルの復習
ex , e y , ez
x軸、y軸、z軸方向の単位ベクトル（長さ１）。
もし軸が動かない場合は、座標で書くと、
z
e x  (1,0,0)
e y  (0,1,0)
ez
ex
e z  (0,0,1)
O
y
ey
x
参考：動く電車の中で基本ベクトルを考える場合は、
基本ベクトルは時間の関数になるので、
時間で微分して０にならない場合がある。
3
動径ベクトル
復習
r
位置ベクトルとも言う。
r  xe x  ye y  zez
z
原点Ｏから物体までのベクトル。
r
ez
ex
x
P(x,y,z)
O
ey
y
r  x(1,0,0)  y(0,1,0)  z(0,0,1)  ( x, y, z)
4
動径ベクトルを微分する。
r  xe x  ye y  zez
補充問題（前ではやりません）
e ,e ,e
基本ベクトル
が定数（動かない）の時、
x y z
動径ベクトルを微分して以下を示せ。
dr dx
dy
dz
 dx dy dz 
v   ex  e y  ez   , , 
dt dt
dt
dt
 dt dt dt 
d x d y d z
dv d x
d y
d z
a   2 e x  2 e y  2 e z   2 , 2 , 2 
dt dt
dt
dt
 dt dt dt 
2
ヒント：積の微分法
2
2

 fg   f g  fg 
2
2
を使う。
2
5
運動方程式の例：重力場中
ma  F
質量x 加速度
＝力
例２：重力が質量mの質点に働いているなら、
z
下向けにmgの力を受ける。
mg
gは重力加速度。
y
g= 9.8 m/s2
x
ベクトルで書くと、  m ge z
運動方程式は、
はz軸方向に
2
e
z
d r
上向けの長さ１の
m 2  m ge z
ベクトル。
dt
成分で書くと、
tは時間
(0,0,1)
問題２例２の運動方程式の両辺を、x,y,z成分で書け。
微分方程式を解いて、運動を求めよ。（一般解を求めよ。）
6
g 重力加速度
このページは試験に
出ません。
gravity 重力
参考
「gr」がつく単語は
重いものが多い。（例外もある）
grave 重大な、墓
grief 悲しみ
gray 灰色
grim 陰鬱な
2
d
r
例２の解答
m 2  m ge z
z
dt
mg
y
成分で書くと、 r  ( x, y, z ), e  (0,0,1) より x
z
2
d x
dx
m 2 0
 vx0
x(t )  vx 0t  x0
dt
dt
d2y
dy
y(t )  vy 0t  y0
m 2 0
 vy0
dt
dt
d 2z
gt2
dz
m 2  m g
 vz 0t  z0
  gt  v z 0 z (t )  
dt
2
dt
vx0 , vy 0 , vz 0 , x0 , y0 , z0 は定数。初期条件で決まる。
野球場でボールを打つ。初期速度は例えば１塁と２塁の
間のある方向。初速度の方向には等速、
z方向には重力が働き等加速度運動。
現実には空気抵抗、ボールの回転も影響する。
8
例２の解答の前半：成分で表す。
d 2r
m 2  m ge z
dt
2
2
2

d r
d x d y d z
  2 , 2 , 2 
2
dt
 dt dt dt 
2
運動方程式は、
2
 d 2x d 2 y
d z
 m 2 , m 2 , m 2   m g(0,01)  (0,0,m g)
dt
dt 
 dt
2
2
2
d x
d y
d z
m 2  0, m 2  0, m 2  m g
dt
dt
dt
9
例２：x方向の運動からわかること。
x方向の運動
d 2x
m 2 0
dt
d 2x
0
2
dt
質量mは0ではないため
dx
 vx0
dt
x(t )  vx 0t  x0
力を受けない方向には、等速度で進む。
・野球のボール場合には、空気抵抗があるので、
速度はだんだん小さくなる。
では、一定の力を受ける場合は？ → 次のページへ。
10
z方向の運動からわかること。
d 2z
d 2z
m 2  m g
 g
2
dt
両辺をmで dt
2
割る
gt
z (t )  
 vz 0t  z0
2
dz
  gt  v z 0
dt
右辺にマイナスがある理由
z座標は上向けにプラス。
重力は下向けに働く。
一定の力を受ける場合は、
・落下の速さ（速度の絶対値）がどんどん大きくなる。
・落下距離は、時間tの２次関数になる。
問題原点から出発、初速度がx方向の時の
速度、動径ベクトルの各成分を求めよ。
さらに、xとzの式から時間tを消去して、zをxの関係として
表し、軌道が放物線になることを確認せよ。
11
ネアンデルタール人とクロマニヨン人の話
・ネアンデルタール人の骨が発見された。
・肋骨に槍（やり）による傷跡。
斜め４５度から。
・ネアンデルタール人は森で生活。
近くまで行ってから、動物を槍で刺していた。
・一方、クロマニヨン人は、大平原で暮らしていた。
遠くの動物に槍を投げて刺す。
・ネアンデルタール人はクロマニヨン人に
殺されたのかも。
12
補足
初期条件とは：
出発地点の位置rと速度vのこと。
13
運動方程式からわかること
運動量、力積、運動エネルギー
14
運動方程式
ma  F からわかること
問題１：運動量 p  mv を使って、
運動方程式は
dp
と書けることを示せ。dt
F
運動量：
運動の勢いを現す。
教科書p.51-52
問題２：前問の結果より、
t2
p  p   Fdt
力積により
運動量が変化する。
2
1
t1
を示せ。
教科書p.55
問題３：運動方程式と速度ベクトルの内積を
とることにより、
P1
1
1
2
2
m v 1  m v 0   F  dr
P0
2
2
を示せ。
運動エネルギーの変化＝仕事
15
教科書p.20
問題１の解答
ma  F
運動量 p  m v
問題１
dp d (mv )

dt
dt
dv
 m
dt
 ma
 F
(1)
を使って、書き換える。
運動量：
運動の勢いを現す。
質量mは時間によらず
一定だとする。
16
問題２の解答
前問より
dp
F
dt
微分の逆は積分
p   Fdt
時間t1, t2における運動量をp1, p2とすると、
t2
p 2  p1   Fdt
力積により運動量が変化する。
t1
17
運動量
momentum
p  mv
運動量
= 質量
x 速度
重い物ほど運動量が大きい。速いほど運動量が大きい。
衝突の時の勢いを表す。方向も示す。
dp
F
dt
力を受けると、運動量が変化する。
18
力積（りきせき）

t2
t1
Fdt
impulse
力積＝力
x 時間
運動量の変化は力積に等しい。
t2
p 2  p1   Fdt
t1
19
仕事
F

d
r

work
・内積
F
仕事＝力 x 距離
dr
経路に沿った微小長さ。接線方向
dr
(微小=非常に小さい)
例：水平面上に物体があり、
水平から60度の角度で5Nの力を加えて
3m引っ張った場合、した仕事は、
5N x 3m x cos60°=7.5N・m
20
運動エネルギー
kinetic energy
1 2
mv
2
1
2
運動エネルギー   質量  速度
2
21

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