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第1回勉強レポート:優秀レポートの基準
1) 指示を守っていること。
A4レポート用紙、左上をとじる、など。
2) 発展問題を解いていること。
授業の例と似ているものは除外。例 3x2など。
3) ベクトルをベクトルらしく書いていること。
太字または上に矢印
4) 「力」を列挙する問題で、力以外のものが含まれていないこと。
圧力、電力は力ではない。
1
運動方程式の例2:重力
2
基本ベクトルの復習
ex , e y , ez
x軸、y軸、z軸方向の単位ベクトル(長さ1)。
もし軸が動かない場合は、座標で書くと、
z
e x  (1,0,0)
e y  (0,1,0)
ez
ex
e z  (0,0,1)
O
y
ey
x
参考:動く電車の中で基本ベクトルを考える場合は、
基本ベクトルは時間の関数になるので、
時間で微分して0にならない場合がある。
3
動径ベクトル
復習
r
位置ベクトルとも言う。
r  xe x  ye y  zez
z
原点Oから物体までのベクトル。
r
ez
ex
x
P(x,y,z)
O
ey
y
r  x(1,0,0)  y(0,1,0)  z(0,0,1)  ( x, y, z)
4
動径ベクトルを微分する。
r  xe x  ye y  zez
補充問題(前ではやりません)
e ,e ,e
基本ベクトル
が定数(動かない)の時、
x y z
動径ベクトルを微分して以下を示せ。
dr dx
dy
dz
 dx dy dz 
v   ex  e y  ez   , , 
dt dt
dt
dt
 dt dt dt 
d x d y d z
dv d x
d y
d z
a   2 e x  2 e y  2 e z   2 , 2 , 2 
dt dt
dt
dt
 dt dt dt 
2
ヒント:積の微分法
2
2

 fg   f g  fg 
2
2
を使う。
2
5
運動方程式の例:重力場中
ma  F
質量x 加速度
=力
例2:重力が質量mの質点に働いているなら、
z
下向けにmgの力を受ける。
mg
gは重力加速度。
y
g= 9.8 m/s2
x
ベクトルで書くと、  m ge z
運動方程式は、
はz軸方向に
2
e
z
d r
上向けの長さ1の
m 2  m ge z
ベクトル。
dt
成分で書くと、
tは時間
(0,0,1)
問題2 例2の運動方程式の両辺を、x,y,z成分で書け。
微分方程式を解いて、運動を求めよ。(一般解を求めよ。)
6
g 重力加速度
このページは試験に
出ません。
gravity 重力
参考
「gr」がつく単語は
重いものが多い。(例外もある)
grave 重大な、墓
grief 悲しみ
gray 灰色
grim 陰鬱な
2
d
r
例2の解答
m 2  m ge z
z
dt
mg
y
成分で書くと、 r  ( x, y, z ), e  (0,0,1) より x
z
2
d x
dx
m 2 0
 vx0
x(t )  vx 0t  x0
dt
dt
d2y
dy
y(t )  vy 0t  y0
m 2 0
 vy0
dt
dt
d 2z
gt2
dz
m 2  m g
 vz 0t  z0
  gt  v z 0 z (t )  
dt
2
dt
vx0 , vy 0 , vz 0 , x0 , y0 , z0 は定数。初期条件で決まる。
野球場でボールを打つ。初期速度は例えば1塁と2塁の
間のある方向。初速度の方向には等速、
z方向には重力が働き等加速度運動。
現実には空気抵抗、ボールの回転も影響する。
8
例2の解答の前半:成分で表す。
d 2r
m 2  m ge z
dt
2
2
2

d r
d x d y d z
  2 , 2 , 2 
2
dt
 dt dt dt 
2
運動方程式は、
2
 d 2x d 2 y
d z
 m 2 , m 2 , m 2   m g(0,01)  (0,0,m g)
dt
dt 
 dt
2
2
2
d x
d y
d z
m 2  0, m 2  0, m 2  m g
dt
dt
dt
9
例2:x方向の運動からわかること。
x方向の運動
d 2x
m 2 0
dt
d 2x
0
2
dt
質量mは0ではないため
dx
 vx0
dt
x(t )  vx 0t  x0
力を受けない方向には、等速度で進む。
・野球のボール場合には、空気抵抗があるので、
速度はだんだん小さくなる。
では、一定の力を受ける場合は? → 次のページへ。
10
z方向の運動からわかること。
d 2z
d 2z
m 2  m g
 g
2
dt
両辺をmで dt
2
割る
gt
z (t )  
 vz 0t  z0
2
dz
  gt  v z 0
dt
右辺にマイナスがある理由
z座標は上向けにプラス。
重力は下向けに働く。
一定の力を受ける場合は、
・落下の速さ(速度の絶対値)がどんどん大きくなる。
・落下距離は、時間tの2次関数になる。
問題 原点から出発、初速度がx方向の時の
速度、動径ベクトルの各成分を求めよ。
さらに、xとzの式から時間tを消去して、zをxの関係として
表し、軌道が放物線になることを確認せよ。
11
ネアンデルタール人とクロマニヨン人の話
・ネアンデルタール人の骨が発見された。
・肋骨に槍(やり)による傷跡。
斜め45度から。
・ネアンデルタール人は森で生活。
近くまで行ってから、動物を槍で刺していた。
・一方、クロマニヨン人は、大平原で暮らしていた。
遠くの動物に槍を投げて刺す。
・ネアンデルタール人はクロマニヨン人に
殺されたのかも。
12
補足
初期条件とは:
出発地点の位置rと速度vのこと。
13
運動方程式からわかること
運動量、力積、運動エネルギー
14
運動方程式
ma  F からわかること
問題1: 運動量 p  mv を使って、
運動方程式は
dp
と書けることを示せ。dt
F
運動量:
運動の勢いを現す。
教科書p.51-52
問題2:前問の結果より、
t2
p  p   Fdt
力積により
運動量が変化する。
2
1
t1
を示せ。
教科書p.55
問題3:運動方程式と速度ベクトルの内積を
とることにより、
P1
1
1
2
2
m v 1  m v 0   F  dr
P0
2
2
を示せ。
運動エネルギーの変化=仕事
15
教科書p.20
問題1の解答
ma  F
運動量 p  m v
問題1
dp d (mv )

dt
dt
dv
 m
dt
 ma
 F
(1)
を使って、書き換える。
運動量:
運動の勢いを現す。
質量mは時間によらず
一定だとする。
16
問題2の解答
前問より
dp
F
dt
微分の逆は積分
p   Fdt
時間t1, t2における運動量をp1, p2とすると、
t2
p 2  p1   Fdt
力積により運動量が変化する。
t1
17
運動量
momentum
p  mv
運動量
= 質量
x 速度
重い物ほど運動量が大きい。速いほど運動量が大きい。
衝突の時の勢いを表す。方向も示す。
dp
F
dt
力を受けると、運動量が変化する。
18
力積(りきせき)

t2
t1
Fdt
impulse
力積=力
x 時間
運動量の変化は力積に等しい。
t2
p 2  p1   Fdt
t1
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仕事
F

d
r

work
・内積
F
仕事=力 x 距離
dr
経路に沿った微小長さ。接線方向
dr
(微小=非常に小さい)
例:水平面上に物体があり、
水平から60度の角度で5Nの力を加えて
3m引っ張った場合、した仕事は、
5N x 3m x cos60°=7.5N・m
20
運動エネルギー
kinetic energy
1 2
mv
2
1
2
運動エネルギー   質量  速度
2
21