『解析学』後期の講義の概要２００４年度講義担当：松本茂樹『解析学』対象と方法 • 関数（変量）の研究 • 実数の諸様相が齎す関数探求の方法 – 順序構造：不等式による評価と近似 – 位相構造：極限・連続性の常套 – 代数構造：多項式関数、解析性 ===微分積分学の核心=== 変化を瞬間において捉える • 定性的定式化（第４章） • 定理２６微分係数（瞬間的変化率）がつねに正である区間において関数は単調に増加する。 • Key words:局所と大域、変化率（差商）、平均値定理（⇔ロルの定理）、連続関数の性質（最大・最小値の定理等） • 定量的定式化（第５章） • 「微積分学の基本定理」 • f(b)-f(a) は導関数f’(x) の（区間[a,b]における）定積分で表される。 • Key words:積和（リーマン和）の極限、面積概念に相当する「量」としての積分の定式化平均値の定理を中心に据えたコーシーの微分学 • 定理２５：「微分可能であれば連続である」連続関数の性質を振り出しにした”歴史街道（定理の連鎖）”（１４０ページの下方） • 局所的変化（微分係数＝瞬間的変化率）と大域的変化（区間での増減の様子）を結びつける平均値定理の役割重要な二つの例 • 定理２５（１２８ページ）の逆は不成立（反例あり） – 微分不可能な連続関数の例 – 到る所微分不可能な連続関数の例 • ワイエルストラスの関数（１２９ページ）、高木の関数等 • ある点で微分係数が正であったとしても、「その点の近傍で関数が増加する」とは云えない（１３５ページの問５） – 瞬間的な変化の様子から大域的な変化を導くことの困難さを示すとともに直感的理解の限界を感じさせる例ともいえよう。リーマン積分 • 微分係数は“差商（変化の割合）”の極限 • 導関数（瞬間変化率）から元の関数（変化）を定量的に復元するには、「“積和”の極限」を定式化する必要があり、これが（定）積分である。 • 面積概念を既知とすれば、定積分は平面図形の面積の代数和として定義され「微積分の基本定理」等が初等的に証明される。リーマンによる積分論 • リーマンは積分を「積和の極限」として定義した（１７３ページから１７４ページ） • • • • – リーマン積分の定義を熟読し、１７５ページの問１の解答を考えてよ。積分可能条件（「ダルブーの定理」経由）連続関数の積分可能性（定理３５）微積分学の基本定理（定理３８）「積分の性質」（基本定理の証明にも用いられる）が積分の定義に基づいて明らかにされる教科書『解析入門』第５章 • 面積概念を仮定した定積分（初等微積分） • 「積和の極限」としての（有界関数に対する）リーマン積分（p.１７３～１７４） • 積分可能条件（定理３４＆定理３４’） • 連続関数の積分可能性（定理３５） • 積分の性質（p.186 の例２– p.191） • 「微分積分学の基本定理」の証明（p.191-p.196） • 広義積分（第３節） • いろいろな例題（第４節）後期中間試験について • 日時：２００４年１２月８日（水） 9:10-10:30 • 場所：１４１教室（いつもの講義室） • 出題範囲：後期講義の１１月２４日分まで – 教科書『解析入門』の第４章及び第５章 • 注意：試験は「持込不可」で実施する。復習のための要点（第４章） • • • • 「重要な二つの例」微分可能性に関して、問３（１２７ページ）微分可能性に関して、問４（１２８ページ）ロピタルの定理（１４９ページ） – 定理の内容（仮定と結論）の正確な理解 – 例３、問１７（１５０ページ）、練習問題４の４及び５（１６６ページ） • 凸関数の（不等式による）定義（１５０ページ） • 不等式の証明に関して、定理３２、問１９（１５６ページ）、練習問題４の１１（１６７ページ）復習のための要点（第５章） • リーマン積分の定義（１７３・１７４ページ） • リーマン積分の定義に基づいて、具体的な関数が積分可能かどうかを見極める。 – 問１（１７５ページ）の関数 – 定数関数 – 階段関数 • 不定積分・原始関数（１９４ページ）の定義と相違 – 問１１（１９８ページ）不連続関数の不定積分 – 問１３（１９９ページ） • 広義積分（積分区間or被積分関数が非有界である場合） – 例３、問１４、例６、問１６、例７ • シュワルツの不等式（２１５ページの例９） – 章末の練習問題５の５（２２０ページ）今後の講義予定（第６章） • • • • • １２月１日：級数の収束・発散（第１節）１２月８日： === 中間試験 === １２月１５日：べき級数（第２節）１２月２２日：関数列と一様収束（第３節）１月１２日：級数と一様収束（第４節）