解析学

『解析学』
後期の講義の概要
2004年度
講義担当:松本茂樹
『解析学』
対象と方法
• 関数(変量)の研究
• 実数の諸様相が齎す関数探求の方法
– 順序構造:不等式による評価と近似
– 位相構造:極限・連続性の常套
– 代数構造:多項式関数、解析性
===微分積分学の核心===
変化を瞬間において捉える
• 定性的定式化(第4章)
• 定理26 微分係数(瞬間
的変化率)がつねに正で
ある区間において関数は
単調に増加する。
• Key words:局所と大域、
変化率(差商)、平均値
定理(⇔ロルの定理)、連
続関数の性質(最大・最
小値の定理等)
• 定量的定式化(第5章)
• 「微積分学の基本定理」
• f(b)-f(a) は導関数f’(x)
の(区間[a,b]における)
定積分で表される。
• Key words:積和(リーマ
ン和)の極限、面積概念
に相当する「量」としての
積分の定式化
平均値の定理を中心に据えた
コーシーの微分学
• 定理25:「微分可能であれば連続である」
連続関数の性質を振り出しにした”歴史街
道(定理の連鎖)”(140ページの下方)
• 局所的変化(微分係数=瞬間的変化率)
と大域的変化(区間での増減の様子)を結
びつける平均値定理の役割
重要な二つの例
• 定理25(128ページ)の逆は不成立(反例あり)
– 微分不可能な連続関数の例
– 到る所微分不可能な連続関数の例
• ワイエルストラスの関数(129ページ)、高木の関数等
• ある点で微分係数が正であったとしても、「その
点の近傍で関数が増加する」とは云えない(13
5ページの問5)
– 瞬間的な変化の様子から大域的な変化を導くことの
困難さを示すとともに直感的理解の限界を感じさせる
例ともいえよう。
リーマン積分
• 微分係数は“差商(変化の割合)”の極限
• 導関数(瞬間変化率)から元の関数(変化)を定
量的に復元するには、「“積和”の極限」を定式
化する必要があり、これが(定)積分である。
• 面積概念を既知とすれば、定積分は平面図形
の面積の代数和として定義され「微積分の基本
定理」等が初等的に証明される。
リーマンによる積分論
• リーマンは積分を「積和の極限」として定義した
(173ページから174ページ)
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– リーマン積分の定義を熟読し、175ページの問1の解
答を考えてよ。
積分可能条件(「ダルブーの定理」経由)
連続関数の積分可能性(定理35)
微積分学の基本定理(定理38)
「積分の性質」(基本定理の証明にも用いられる)
が積分の定義に基づいて明らかにされる
教科書『解析入門』第5章
• 面積概念を仮定した定積分(初等微積分)
• 「積和の極限」としての(有界関数に対する)リーマン積
分(p.173~174)
• 積分可能条件(定理34&定理34’)
• 連続関数の積分可能性(定理35)
• 積分の性質(p.186 の例2– p.191)
• 「微分積分学の基本定理」の証明(p.191-p.196)
• 広義積分(第3節)
• いろいろな例題(第4節)
後期中間試験について
• 日時:2004年12月8日(水) 9:10-10:30
• 場所:141教室(いつもの講義室)
• 出題範囲:後期講義の11月24日分まで
– 教科書『解析入門』の第4章及び第5章
• 注意:試験は「持込不可」で実施する。
復習のための要点(第4章)
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「重要な二つの例」
微分可能性に関して、問3(127ページ)
微分可能性に関して、問4(128ページ)
ロピタルの定理(149ページ)
– 定理の内容(仮定と結論)の正確な理解
– 例3、問17(150ページ)、練習問題4の4及び5(16
6ページ)
• 凸関数の(不等式による)定義(150ページ)
• 不等式の証明に関して、定理32、問19(156
ページ)、練習問題4の11(167ページ)
復習のための要点(第5章)
• リーマン積分の定義(173・174ページ)
• リーマン積分の定義に基づいて、具体的
な関数が積分可能かどうかを見極める。
– 問1(175ページ)の関数
– 定数関数
– 階段関数
• 不定積分・原始関数(194ページ)の定義と相違
– 問11(198ページ) 不連続関数の不定積分
– 問13(199ページ)
• 広義積分(積分区間or被積分関数が非有界で
ある場合)
– 例3、問14、例6、問16、例7
• シュワルツの不等式(215ページの例9)
– 章末の練習問題5の5(220ページ)
今後の講義予定(第6章)
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12月1日:級数の収束・発散(第1節)
12月8日: === 中間試験 ===
12月15日:べき級数(第2節)
12月22日:関数列と一様収束(第3節)
1月12日:級数と一様収束(第4節)