微分法の始まり

赤阪正純 (htt“ グ nupH web.fc2 com)
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微分法は,関数 υ=/(2)上の点 A(α ,/(α ))における接線の方程式を求めることから始ま
ま
り
するま昨t7J
しかしながら曲線上にただ 1点のみで接する直線を引くことなど現実問題として不可能なので我々極
`よ
限の考えを用いて接線の傾きを定義するのでした
,
一ｈ
A,Bを
中
まず,関数 υ=/(″ )上に 2点
直線 AB
イ慣竜11
とり
,
A(α ,/(α )),B(α 十力,ノ (α +力 ))とします
2点
A,Bを通る直線を考えます
直線 ABの傾
ll;鎌
きは
A!ミあ
,
…①
です (この直線 ABの傾きを 2点
…います )
率とも言
ここで ,点
直線
Bを点 Aに限りなく近づけていくと
,
ABは点 Aにおける接線に限りなく近づいて
いきます
k
α十カ
.
力とは点
点
AB間の平均変化
Aと点 Bの
″座標の差 (間隔 )なので
Bが点 Aに限りなく近づくということは ,力
が
限りなく 0に近づくということです .したがって
A(α ,/(α ))に
きの式① で,力
↓ Bを Aに近づけていく
,
υ
直74PA3
,
ぽ
おける接線の傾きは,先ほどの傾
を0に近づければよく
,
rl繰
Aにおけ〕
胸中
というように極限の形で表現されます
接線を直接に求めるのは不可能なので,接線に近
存線
づけるという方法をとるのです
1・
「く7■ 1を ,、か
この極限値を υ=/(″ )上の点 A(α ,/(α ))に
おける微分係数とよび,/′ (α )で表します (または
α+カ
問陽 (1ルヽど砒・ん,障くな3
単に″=α における微分係数といいます)
a∼
tく (微分係数の定義
バ α十力)一 /(α )
ん
υ=/(″ )の ″=α における微分係数 /(α )
微分係数/′ (α )とは,曲線υ=ノ (″ )上の点A(α ,/(α ))における接線の傾きを意味している
―→「定義に従って微分係数を求めよ」と言われたら,この定義に従って極限値の計算をします
「υ=/(″ )の ″=α における接線のltIきを求めよJ
「υ=ノ (″ )の ″=α における微分係数を求めよ」
「ノ′
」
(α )を求めよ
という言い回しは , どれも同じ意味です
ヽ︱、ｆｉｌプ
´注
.
習静か御
クス7・ 3ら ,tみ ,たゃ3?
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y=/(″ )の
′
い
い
と
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導
関
ま
す (のを
か
数
単
き
ま
すg螢と
か
υ
洗
Pointく (導関数の定義・微分の定義
7F′
(″ )を
求めることを微分するという
.
か
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萩姜`=うとぅす3」 ●孝普う
え嗜ほしちがうんな可が―
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スの=胸玉壁与三Ω
υ=/(■ )の導関数
関数 /(″ )から導関数
,
/(″ )と
/′
ヽ
数
，関
そ
さて,微分係数 ′(α )は αの値によって定まるので,α についての関数とみなすことができます
∠豊」ゴ二」皇2としたものを
で,定数 αを関数としての変数 ″でおきかえて,ノ ′
(π )=)嶋
劣
―→「定義に従って微分せよJと言われたら,この導関数の定義に従って極限値の計算をします
.
挙
とても重要な注意
☆
たものが,微分係数 ′(α )すなわち曲線 y=/(″ )上の
逆に言うと,導関数ノ′
(″ )に ″=α を代入し
よく
点A(α ,/(α ))における接線の傾きですよく「υ=/(■ )の接線の傾きが/′ (″ )である」という人がい
P.Tス〕ますが,これは鳳雙いです導関数 /′ (″ )に ″=α を代入して初めて点A(α ,/(α ))における接線の傾
´2‐
き ′(α )になるのです /′ (α )は傾きではありません微分係数/′ (α )と導関数/′ (″ )をしっかりと区別
エ
ラ
た
Jt,
し
ご滲ノみよく諄乙∼
しよう
y=/(″ )=″ 2+3″ を定義に従って微
例】
【
【
例】 υ=/(″ )=″ 2+3″ のとき,定義に
従って微分係数 /′ (1)を求めよ
分せよ
ｍ
ｍ
ｍ
向ｉ同
ｉ痢ｉ
︲
︲
︲
一
一︷
一
〓
″
／
/(″
+ん )― /(″ ) (´
薇うχ穴iに
'
カ
(″
十力)2+3(″ 十力)―
カ
″2+2″ 力 +力 2+3″
/′
(1)=胸
(22+3″ )
←′
晟み教
彙
・メ
/(1+力 )一 /(1)
=胸
=脇
+3/1-″ 2_3″
ウ0う
えなあ3
'■
0.メリ hlrOセイヘ
先ほどのように「定義に従って ¨ 」と指示されたら,極限値計算をせねばなりませんが,一般的には,次
の公式,ルールに従って計算するのが普通です
書いてあるので各自で見ておいてください
― >PoinK(微分の公式)
(″
=3″ 2,(″
3)′
(″ )′
=1,
(ο
2)′
)′
なぜ ,このような公式 ,ルールが成立するのかは教科書に
´
―
ん
は
クい灘
,見
Pointく (微分計算のルール
① 項別にそれぞれ微分する
② 係数は残る
③ 展開してから微分する
=2″
=0(ο
は定数 )
一般的に,Cr)′ =π ″ηlが成立します
先ほどの【
例】を公式を用いて計算してみると
【
例】 υ=/(″ )=″ 2+3″ を微分せよ - 0微
分の公式より,′ (″ )=2″
【
例】 υ=ノ (″ )=″ 2+3″ のとき,微分係数 ′(1)を求めよ
- 0/′
-こ
(″
マィrぅと
t7J(7も
ιで多巧
+3
)=2″ +3より,/′ (1)=2・
L,■ キ
カンタン
1+3=5
のように, とても簡単に計算することができるので,これからは公式を使って微分していこう
.
斃￢

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