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設計基礎コース
もう一度学ぶ材料力学の基礎
梁の曲げ
ここでは以下の事項を説明する。
１．外力としてのSFDとBMDおよびそれらの関係
２．梁の曲げ応力
（外力により発生する内力）
３．梁のたわみの求め方
（静定はりー曲率、微分方程式）
４．力のかかり方による問題の解法の違い
（集中荷重、集中モーメント、切断法）
５．力の釣り合いの他に、たわみの条件を必要とする
解法（不静定問題）
1
設計基礎コース
もう一度学ぶ材料力学の基礎
１．梁の剪断力と曲げモーメント
力のかかり方
X 方向に伸びた長い棒状の構造物を梁とい
い、これに横方向の荷重が作用するとき、
曲げ問題という。
A
Q   dA   P
A'
A
M   z  dA   Pa
A'
力の釣り合い
外力 P は A-A’ 面にはたらく剪断力 τ
の合計力 Q と釣り合う。
モーメントの釣り合い
O点においてはモーメント Pa と A-A’ 面に
おける引っ張り圧縮応力（これを曲げ応
力）による曲げモーメント M と釣り合う。
2
設計基礎コース
もう一度学ぶ材料力学の基礎
剪断力とモーメントの符号の定義
0
(-)
Q
z(+)
(+)
M
面の法線が正（負）のほうを向いた面に
正（負）の方向を向いた剪断力が働くと正の剪
断力と定義する。
その反対だと負。
Q
(+)
(+)
M
x(+)
モーメントの場合正（負）の方向を向いた面に
梁の中心をｚの正の方向に凸にするモーメント
を正のモーメントと定義する。
その反対だと負。
3
設計基礎コース
もう一度学ぶ材料力学の基礎
剪断力図（ＳＦＤ）と曲げモーメント図（ＢＭＤ）
左の図のような片持ち梁にＰが作用
すると、ｘの位置に置いて切り出した
仮想面には一定の剪断力Ｐが働き、
その符号は正。
また同様にこのＰによりｘの位置で
はモーメントＰ(ｌ-x)が働き、その符号は
負である。
これをグラフに描いたものが
ＳＦＤとＢＭＤである。
これはｄｘと言う微小な部分を切り出
して考えてもよい。
4
設計基礎コース
もう一度学ぶ材料力学の基礎
剪断力図（ＳＦＤ）と曲げモーメント図（ＢＭＤ）－－－等分布荷重の場合
Q( x)  q(l  x)
l x
0
M ( x)  dM  
l x
0
q(l  x) 2
qd  
2
5
設計基礎コース
もう一度学ぶ材料力学の基礎
剪断力図（ＳＦＤ）と曲げモーメント図（ＢＭＤ）－－－集中荷重両端支持
左図の様な集中荷重が作用する回転自由
な両端支持の場合を考える。
Ａ，Ｂに反力ＲＡ、ＲＢがはたらく。
力の釣り合い
モーメントの釣り合い
釣り合い式より
RA 
b
P,
l
RB 
P  RA  RB
aRA  bRB
a
P
l
Ｃで分割して左と右に片持ち梁があると考えると考えやすい。すると
b

R
A
P (0  x  a )

l
Q( x )  
a
 RB   P (a  x  l )
l

剪断力分布
6
設計基礎コース
もう一度学ぶ材料力学の基礎
剪断力図（ＳＦＤ）と曲げモーメント図（ＢＭＤ）－－－集中荷重両端支持
b

xR
A 
Px
(0  x  a )

l
M ( x)  
a
(l  x) RB  P(l  x)
(a  x  l )
l

ab
M max  M ( x  a ) 
P
l
となり、絵で描くと
7
設計基礎コース
もう一度学ぶ材料力学の基礎
剪断力図（ＳＦＤ）と曲げモーメント図（ＢＭＤ）－－－集中モーメント両端支持
図のようにＣ点に集中モーメントが働く場合の
ＳＦＤとＢＭＤを求める。
力の釣り合い
RA  RB  0
Ｃ点でのモーメントの釣り合い
 aR A  M  bR B  0
この2式より
RA 
M
M

,
a b
l
RB 
M
l
この反力が働くのでｘでのモーメントは
M

xR
A
x (0  x  a )

l
M ( x)  
M
 xRA  M 
( x  l ) (a  x  l )
l

8
設計基礎コース
もう一度学ぶ材料力学の基礎
以上をまとめて、図に描くと左の
ようになる。
9
設計基礎コース
もう一度学ぶ材料力学の基礎
演習1
図の様な一様な荷重が作用する両端支
持梁のＳＦＤとＢＭＤを求めよ。
略解
RA  RB 
ql
2
よって、Ｘにおける剪断力は
Q( x)  q(l  x)  RB 
ql
 qx
2
曲げモーメントも同様に考え
M ( x)  RB(l  x)  q(l  x)
(l  x) qx(l  x)

2
2
10
設計基礎コース
もう一度学ぶ材料力学の基礎
はりの曲げ応力
条件：
はりの断面は梁が曲がっても平面。
θ
b
R
M A
B
h
中立面
A'
中立軸
ひずみは中立軸に関し対称。
（ひずみは z に関し一次的
＝直線変化、よって応力も）
B'
σx(z)
z
微小な距離 AA’ も BB’ もモーメントが働かないときは同一の長さ。
今、モーメント M が作用。曲がってその小さなθの範囲での半径
は Rと考える。
中立面上の AA’ は伸び縮みせず。外は伸び内側は縮む。
ひずみは；
応力は；
( R  z )  R z

R
R
E
 ( z )  E  z
R
 ( z) 
11
設計基礎コース
b
中立軸から z 離れたところの応力は
z
h
中立軸
dA=bdz
もう一度学ぶ材料力学の基礎
 ( z )  E 
E
z
R
（１）
そこの面積は dA よって、中立軸周りのモーメントは
E 2
z dA
R
よって断面全体で合計したモーメントが外部モーメン
トと釣り合う
dM  z ( z )dA 
E h/2 2
E
M   dM   z dA  I
h / 2
R h / 2
R
h/2
（１）、（３）式より
 ( z) M

z
I
よって
 ( z) 
M
z,
I
 ( z) 
（２）
（３）
M
z
EI
ここで積分で表された I のことを断面２次モーメント、EI を曲げ剛性と呼ぶ。
I は断面の形状から決まり、Eは材料のヤング率である。
長方形断面の断面２次モーメント：I は
bh 3
I   z bdz 
h / 2
12
h/2
2
12
設計基礎コース
もう一度学ぶ材料力学の基礎
重要事項の取りまとめ
EI
M
R
z

R
M
 ( z) 
z
I
bh 3
I
12
（長方形断面の場合）
さらに、最大の応力が発生するのは、ｚが最大つまり、はりの上下面。
それぞれまでの最大値をｈ１、ｈ２とすると
 (h1) 
M
M
h1 
I
Z1
ここで、I/h1 を Z1 とする。 Z1 を形状係数と呼ぶ。
今、断面が長方形なら、h1=h/2 より
I
bh 2
Z1  Z 2 

(h / 2)
6
材料から見ると歪は梁の上面か下面で最大となり、応力も最大となるので
M
 max 
Z1
となり、強度だけチェックするときは形状係数がわ
かっていればよい。
13
設計基礎コース
もう一度学ぶ材料力学の基礎
断面２次モーメント
b
z
h
中立軸
中立軸からの距離の２次モーメントを
断面全体で積分したもののこと。
（ねじり中心点からの距離の２次モーメント
（断面極２次モーメント）と区別必要）
I 
dA=bdz
h/2
z 2 dA
h / 2
左のような円形断面の断面２次モーメントは
C
z
D
D
cos ,
2
z
D
sin  ,
2
θ
y
y
D2
dA  2 ydz 
cos 2 d
2
dz
dA
y
dz 
D
cosd
2
z
14
設計基礎コース
もう一度学ぶ材料力学の基礎
D2
D2
2
I   z dA  
sin 
cos 2 d
A
 / 2 4
2
D4  / 2
2
2

4
sin

cos
d



/
2
32
D4  / 2 2

sin 2 d



/
2
32
D 4  / 2 1  cos 4

d



/
2
32
2
 /2
2
D4

64

 /2
1




sin
4



4
 / 2
D 4
円形断面の断面２次モーメント
64
15
設計基礎コース
もう一度学ぶ材料力学の基礎
断面２次モーメントの平行軸の定理
中立軸 y’ から e 離れた y 軸を中立軸として曲げるとき
断面２次モーメントは
I   (e  z ) 2 dA   (e 2  2ez  z 2 )dA
A
A
 e 2  dA  2e  zdA   z 2 dA
A
A
A
図心（重心）は中立軸 y’ 上にあるので第２項はゼロ。
第１項の積分は単に面積、第３項は Iy’ 。
I  I 'e A
2
の関係がある。
同じ量（断面積が同じ）の材料を使っても曲げる中立軸から遠くに材料を集
めると、元の固さより、e 2 A 分だけ固くなることを意味する。
16
設計基礎コース
もう一度学ぶ材料力学の基礎
たわみ＝＞（１）曲率とは
EI
M
R
書き換えると
1 M

R EI
である。
実は、この１／R は曲率と呼ばれていて
0
x
dθ
R
ds
z
dx
dθ dz
θ
1
d
d


R Rd ds
図より
１ｍ進んだ時の向きの変化量：曲率
(ds ) 2  (dx) 2  (dz ) 2
2
ds
 dz 
 1     1  ( z) 2
dx
 dx 
dx
1
 cos 
ds
1  ( z) 2
dz / dx  tan 
17
設計基礎コース
もう一度学ぶ材料力学の基礎
d  dz 
d (tan  ) d
1 d



 z 
dx  dx 
d
dx cos 2  dx
1
d
d


R Rd  ds
さてここで
d
 z  cos 2 
dx
なので
1 d dx

 z cos 2 
R dx ds

よって
1
1  z 
1
2 2
z
1  z 
1
 z
R
3
2 2
材力のたわみの問題の場合
梁の傾き z’<<1 となるように座標を通常とる
ので、
とみなせる。
18
設計基礎コース
もう一度学ぶ材料力学の基礎
たわみ＝＞（２）たわみを求める式は
以上の議論より、たわみを求めるには
1
d 2 z ( x) M ( x)


,
2
R( x)
dx
EI
d 2 z ( x)
M ( x)

2
dx
EI
なる方程式を解くことに帰着する。
１）BMDより、ｘの位置におけるモーメントがｘの関数として求まる。
２）曲げ剛性 EI を設計で決める。
E は材料により決まるヤング率という剛性。
I は梁の断面形状により決まる剛性。
３）上の微分方程式を解き変形曲線を求め、境界値を用い、たわみ曲線を決定
することとなる。
19
設計基礎コース
もう一度学ぶ材料力学の基礎
梁の曲げたわみの求め方１（単純片持ち梁）
左のような片持ち梁を考える。
M ( x)   P(l  x)
これを曲げの方程式に代入
d 2 z P(l  x)

2
dx
EI
P
x2
z ( x) 
(lx   C1)
EI
2
P l 2 1 3
z ( x) 
( x  x  C 1 x  C 2)
EI 2
6
境界条件は x=0 で z’=z=0. より C1=C2=0.
よって、たわみを表す関数は
P
z ( x) 
(3lx 2  x 3 )
6 EI
20
設計基礎コース
もう一度学ぶ材料力学の基礎
梁の曲げたわみの求め方２（等分布荷重両端単純支持）
M  q (l  x)
(l  x) ql
 (l  x)
2
2
q
  ( x 2  lx)
2
M ( x) q ( x 2  lx)
z  

EI
2 EI
q ((1 / 3) x3  (1 / 2)lx 2  C1)
z 
2 EI
q ( x 4  2lx 3  C1 x  C 2)
z
24 EI
境界条件は x=0 , x=l で z=0.
よって、
たわみ曲線は
C 2  0,
C1  l 3
q ( x 4  2lx 3  l 3 x)
z
24 EI
21
設計基礎コース
もう一度学ぶ材料力学の基礎
梁の曲げたわみの求め方３（切断法）
（集中荷重や集中モーメント、部分荷重等ある位置でBMDが別の形になる場合）
C で右と左のBMDが別の式となる。そこで別に
考え、境界条件で左右を結合する。
RA, RB は求められている。よって
Pb
x,
l
Pa
MB ( y ) 
y,
l
MA( x) 
x
y
(0  x  a )
(0  y  b )
よって、たわみの方程式は
Pb
z A  
x
EIl
Pa
z B  
y
EIl
22
設計基礎コース
もう一度学ぶ材料力学の基礎
これらの２式をそれぞれ積分して
Pb 3
( x  C 1 x  C 2)
6 EIl
Pa 3
zB  
( y  C 3 y  C 4)
6 EIl
zA  
x=0, y=0 でたわみゼロより C2=C4=0
さらに、 x=a, y=b で zA=zB の条件と傾き角が等しい条件、 z’A=-z’B より、
a 2  C1  b 2  C 3
 b(3a 2  C1)  a (3b 2  C 3)
ただし、向きの違いにより＋－逆にして
いる。
この連立方程式を解くと
C1  (a 2  2ab)
C 3  (2ab  b 2 )
23
設計基礎コース
もう一度学ぶ材料力学の基礎
よって、たわみの曲線を表す式は
Pb 3
( x  (a 2  2ab) x)
6 EIl
Pa 3
zB  
( y  (2ab  b 2 ) y )
6 EIl
zA  
最終的に、y=l-x と置き換え x で統一して説明する式とし、


 Pb
2

x
x
 a (a  2b) , (0  x  a )
 6 EIl
z ( x)  
 Pa (l  x) (l  x) 2  b(2a  b) , (a  x  l )
 6 EIl


24
設計基礎コース
もう一度学ぶ材料力学の基礎
切断法の演習：集中モーメントの場合
左図に示したような集中モーメン
トがC点に作用する場合の
梁のたわみを求めよ。
25
設計基礎コース
もう一度学ぶ材料力学の基礎
不静定はりのたわみ
静定問題とは、
垂直力とモーメントのつり合いより、BMDが求められ、
たわみの微分方程式が直接求められ、
たわみ分布が求められる。
不静定問題とは
力とモーメントのつり合いだけでは決まらない外力があり、
それらを未知のまま問題を解き、
最後に傾き角などの、幾何条件（境界条件）を含めて、
決まってない定数を決めてやるという方法を取らざるを得な
い問題のこと。
26
設計基礎コース
もう一度学ぶ材料力学の基礎
不静定はりのたわみの例１
a
MA
A
RA
l
P
C
b
B
RB
x
左の問題を解く。
力のつり合いより
P=RA+RB
モーメントのつり合いより
MA=-Pa+RBl
力とモーメントのつり合いからでは反力とモーメントが３個あり決められない。
よってこのまま変数として置いておいたまま、たわみの微分方程式を解く。
たわみ角、たわみ量が、求まったのち、Aでのたわみ角、たわみ量ゼロ
Cでのたわみ量、たわみ角はともに分割した左右で同一、Bでのたわみ量ゼロと
いう５条件を加わえ、積分定数４個と上記の反力とモーメントの合計７個を決定
し、問題を解く。
変形条件を入れないと解けない問題を不静定問題という。
説明ではわかりづらいので、この問題を解いてみる。
27
設計基礎コース
a
MA
l
P
b
C
A
B
x
A点から x を、B点から y 座標を取りC点での
切断法を考える。
梁の垂直方向つり合い
P  RA  RB
RB
RA
x
もう一度学ぶ材料力学の基礎
梁のモーメントのつり合い（A点回り）
y
MA   Pa  RBl
よって、 RA, RB を MA で表すと、
C点より左のたわみの微分方程式は
たわみは
at
x  o,
RA 
Pb  MA
,
l
z  
RB 
Pa  MA
l
1
( RAx  MA)
EI
1
z
( RAx3  3MAx 2  C1 x  C 2)
6 EI
z  z  0
より
1  Pb  MA 3

z
x  3MAx 2 

6 EI 
l

28
設計基礎コース
もう一度学ぶ材料力学の基礎
C点より右のたわみの微分方程式は、B点から y 軸を取り
RB
Pa  MA
z  
y
y
EI
EIl
1  Pa  MA 3

z
y  C3 y  C4 

6 EI 
l

たわみは
at
y  o,
z0
より
z
1  Pa  MA 3

y

C
3
y


6 EI 
l

左右のはりそれぞれで、 x=a, y=b でたわみは等しいので
( Pb  MA)a 3  3MAa 2l  ( Pa  MA)b3  D1bl
（１）
29
設計基礎コース
また、同様に
at
x  o,
z  0
もう一度学ぶ材料力学の基礎
より
Pb  MA 2
Pa  MA 2
3a  6 MAa  
3b  C 3
l
l
（２）
（１）、（２）式を連立させると
Pab
MA  2 (a  2b),
2l
3Pa 2b
C3  
2l
よってたわみは次の式で与えられる。


Pb
2
2
3
2
(
3
a

4
ab

2
b
)
x

3
al
(
a

2
b
)
x
, (0  x  a )
3
12 EIl
Pa
2
3
2
z( y)  
(
2
a

3
ab
)
y

3
abl
y , (0  y  b )
3
12 EIl
z ( x)  


30
設計基礎コース
もう一度学ぶ材料力学の基礎
これらの２式を y を (l-x) で置き換え z を x 軸で統一して表現すると、


Pb

2
2
3
2

(
3
a

4
ab

2
b
)
x

3
al
(
a

2
b
)
x
, (0  x  a )
 12 EIl 3
z ( x)  
 Pa (2a 2  3ab)(l  x)3  3abl 2 (l  x) , (a  x  l )
 12 EIl 3


という答えにたどり着く。
31
設計基礎コース
もう一度学ぶ材料力学の基礎
不静定はりのたわみの例２（重ね合わせの原理）
材料力学の問題は応力とひずみ、荷重と変形の関係が比例します。
つまり線形問題で、二つの力が作用するとき影響を分離・重ね合わせできます。
l
q
M0
x
B
A
R0
=
R0
M0
（１）の条件のたわみはスライド２１で
l
（１）
q
x
B
A
（２）
R0
A
q ( x 4  2lx 3  l 3 x)
z1 
24 EI
R0
+
l
M0
左上図の梁のたわみは、した二つの計算の
合計である。
境界条件は二つのたわみの式の合計で与え
られた式が x=0 で傾かず、かつたわまないと
考えたものである。
M0
x
B
32
設計基礎コース
もう一度学ぶ材料力学の基礎
（２）に関しては梁全体が M0 の同一モーメント。よって
たわみの微分方程式は
l
M0
A
M0
B
x
M0
EI
M0 2
z2  
( x  C 1 x  C 2)
2 EI
z  
境界条件は x=0, l で z=0 である。よって
M0 2
z2  
( x  lx)
2 EI
重ね合わせのたわみは
q
M0
4
3
3
z  z1  z 2 
( x  2lx  l x) 
x(l  x)
24 EI
2 EI
重ね合わせたたわみの境界条件は（１）、（２）ともにたわみはすでにゼロであ
るが、 x=0 で z’=0 が必要である。
33
設計基礎コース
もう一度学ぶ材料力学の基礎
よって、
q
M0
M 0l
(4 x3  6lx 2  l 3 ) 
x
24 EI
EI
2 EI
ql 3
M 0l


24 EI 2 EI
0
z(0) 
これより
ql 2
M0 
12
結果として、たわみ曲線は
q
z ( x) 
( x 4  2lx 3  l 2 x 2 )
24 EI
たわみ曲線の形状の力を借りないと力やモーメントが決められない問題が
不静定問題である。
34

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