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Ⅴ 古典スピン系の秩序状態と分子場理論
１．古典スピン系の秩序状態
２．ハイゼンベルグ・モデルの分子場理論
３．異方的交換相互作用
Ⅴ－１古典スピン系の秩序状態
 
H   J ij Si  S j
i, j
if J ij  0 for all i, j ,
強磁性状態は正確
Siz  S (ferromagnetic ground state) な基底量子状態。
if J nn  0 ( J ij  0 for otherpairs),
反強磁性状態は固有
量子状態ではない。
S 2zi  S , S 2zi 1   S (antiferromagneticstate)
 
1  
z z
Si  S j  Si S j  Si S j  Si S j
2

スピンを古典的なベクトルと見なして、
エネルギーを最小にするスピン配列を
求める。

Fourier成分（ｑ－空間）でスピン系のエネルギーを考える
格子Fourier展開

1
Sq 
N
（単位胞あたり磁性イオン１個を仮定する。）
 iqR

境界：



n
 Sn e , Rn  n1a1  n2a2  n3a3：Bravais格子 N1xN2xN3
n
逆格子
  
   
b1, b2 , b3 : b1  a2 , b1  a3 ,
   
b2  a1, b2  a3 ,
   
b3  a1, b3  a1,






 
b1  a1  2
 
b2  a2  2
 
b3  a3  2
逆格子ベクトル




K n  n1b1  n2b2  n3b3
 
 
iK n Rm
K n  Rm  2l e
1


波数ベクトル




 
q  q1b1  q2b2  q3b3 , q  Rn  2 (q1n1  q2n2  q3n3 )
qi 
逆変換
ni
Ni

1
Sn 
N
Ni Ni 

n



 i

2
2 

 iqR
 Sq e n
q
1st Brillouin zone
    
  1
     
H   J ij Si  S j   J Rl S Ri  S Ri  Rl
2 i ,l
i, j
 
 
1
S Ri 
N
1
H 
2N


 iqR
  
1
i
S
e
,
S
R

R

 q
i
l
N
q
 
   i q  k R ikR
i
l
J
R
S

S
e
e
 l q k
i ,l , k , q
 
  
1
  J Rl S q  S -q e
2 l ,q
  
1
  J q  S q  S -q
2 q
 
iq  Rl

 ikR ikR
 Sk e i e l
k

  
 
1
i q  k Ri
直交関係
e
 qk

N i
 
 iqR

l
J q    J Rl e
l
束縛条件（各サイトのスピンの大きさが一定）
 
 
2
S

S

S

S

NS
 i i  q q
i
q


J(q)を最小にするｑ=Qに対して、 SQ  0, S-Q  0

その他のｑでは、 Sq  0


 
 








1
S 2  Si  Si 
2SQ  S Q  SQ  SQ e 2iQRi  S Q  S Q e 2iQRi
N

1
SQ 
N

Riによらず一定であるにはゼロ
であることが必要
 iQ R
 Sn e n
n






 
 
2
2
SQ  RQ  iI Q , SQ  RQ  iI Q SQ  SQ  RQ  I Q  2iRQ  I Q  0


 
 
2
2
1  iQ Ri  iQ Ri
RQ  I Q , RQ  I Q  0
S Ri 
SQe
 S -Q e
N


 
 
1
ヘリカル・スピン構造

2 RQ cos Q  Ri  2 I Q sin Q  Ri
N
 
 cos Q  Ri 

  
 S   sin Q  Ri 


0


Q
 









簡単な例
１．２次元正方格子（最近接反強磁性相互作用）
a
J


2iq y
2iq y
2iq x
 2iq x


J q Je
e
e
e
 2 J cos2q x   cos 2q y


２部分格子反強磁性構造

Q


1 1
Q  qx , q y   ,  で最小値を取る。
2 2

a


２．ルチル構造（MnO2）
スピン・フラストレーション

？
J1


J２



iq y
iq y
iq x
iq x
2iq z
 2iq z
J q   J1 e
e
 J2 e  e
e
e
eiqz  e iqz
 
 2 J1 cos2q z   8 J 2 cosq x  cos q y cosq z 
qx , q y , qz で微分して
 
cosq x sin q y cosq z   0
sin q x  cos q y cosq z   0
 
J1 sin 2q z   2 J 2 cosq x  cos q y sin q z   0
1
, Q y は任意
2
Case 2: Qx  Qy  0, Qz  1
Case 1: Qx  Qz 
J2
Case 3: Qx  Q y  0, cosQz  
J1
 J2



 J  1
 1


Case 1: Qx  Qz 
1
, Q y は任意
2
Case 2: Qx  Qy  0, Qz  1
J Q   2J1
J Q  2 J1  8J 2
2
 J2

J

 J Q   2 J  4 2

1
 J

1
 1

J1
Q
J
Case 3: Qx  Q y  0, cos z   2
2
J1
ヘリカル構造
J2
J
 1ならヘリカル構造が安定。　2  1なら Case 2が安定。
J1
J1
Case 1:
J1
Case 2:
？
J２
J1
J２
３．３角格子
逆格子
第１Brillouin域

a2

b1

b2
J

a1
中心点(0,0)とJで結ばれている格子点：(1,0), (-1,1), (0,1), (0,-1), (1,1), (-1,-1)


J q   J e 2iq1  e 2iq1  e 2iq2  e 2iq2  e 2i q1  q2   e 2i q1  q2 
 2 J cos2q1   cos2q2   cos 2 q1  q2 
最小値
 J
 q  0
 1

 J  0
 q
 2
q1  q2
sin2q1   sin 2 q1  q2   0 case1: q1  q2  q1
sin2q2   sin 2 q1  q2   0

強磁性
(q1  q2  0)
１２０度構造
1
case 2 : q1  q2  1  q1 (q1  q2  )
3
１２０度構造
 1 1
q  ,

 3 3

a2

q

a1
フラストレーションの強い格子の例
カゴメ格子
正３角形
     
J 2
J S1  S 2  S 2  S3  S3  S1  ST  const.
2

  
ST  S1  S 2  S3


正４面体
       
J S1  S 2  S2  S3  S3  S4  S 4  S1 
J 2
ST  const.
2

パイロクロア格子
最低エネルギー状態にマクロな縮退が残る

Ⅴ－２ハイゼンベルグ・モデルの分子場理論
 
 
 cos Q  R j 
H   J ij S j  Si


  
j
S j     sin Q  R j 



有効磁場 gB H eff
0


 
   J ij cosQ  R j 
 
SBS S J (Q) / kBT 



H eff

 


g B 



j
 
 J ij sin Q  Rj
j
0



 JQ

g B







  cos Q  Ri

 
 sin Q  Ri

0






 SgB H eff 
 S J (Q) 
 BS 
  BS  

S
kT
kT 



 S J (Q) 
S 1
S ( S  1) J (Q)
3
3







BS ( x) 
x  x SBS  
kBT 
3kBT

3S

磁気秩序
転移温度
J (Q) S ( S  1)
T  Tc  
で解を持つ。
3kB

J Q  0,   0
2S  1
 2S  1  1
 x 
BS ( x) 
coth
x 
coth 
2S
 2S  2S
 2S 
1
 x
T  0 で BS x   1  exp  
S
 S
 J (Q) S 

  S  exp
 k BT 
Tc
T  Tc では       3
T
Tc
  1
T
実験とは合わない。
低エネルギーのスピン波励起を
考えていない。
T＜Tc：常磁性磁化率
外部磁場H0

Si // H 0 一様磁化
分子場　H eff  H 0 
J (0)
gB
2


C
g

B S ( S  1)
gB  ~H eff , ~  , C 
, ~ : 相互作用がないときの磁化率
T
3kB
(一様）磁化率
g B ~ H eff ~ J 0   ~
J 0 
   1 


  1 
 g 2 
H0
H0
 g B H 0 
B


自己無撞着（self-consistent)にを決める。・・・分子場近似
1 1
J 0
 
~
  gB 2

C
J 0S ( S  1)
, T0  
T  T0
3kB
Curie Weiss則
一般化された磁化率
 
 iqR
 iqR
i
仮想的な外場 H 0 Ri  H q e i  H q e
に対する応答
 
 
 
 
 iqR


i
q
S Ri  S q e i  S q e Ri
H eff
 
 
 
 iqR j



1

i
q
R j 
 S e
Ri  H 0 Ri 
J

S
e

 ij  q
q

g B j
 

 iqR
 iqR J q   iqR

i
q
i
 H q e i  H q e

S q e i  S q e Ri
g B



S q // H q
 

Sq
g B
q 

Hq
 
 

~
gBS Ri  Heff Ri
1 1
J q 
 
~
  gB 2
一般化された磁化率

Sq
gB
q 

Hq




 J q  S q
~
  1 

 gB H q



 ~
J q 
 
   1 
2 q
gB  



C
J q S (S  1)
, Tq  
T  Tq
3kB
C
J q  S (S  1)
q 
, Tq  
T  Tq
3kB
q (q  Q)
1

0
TQ
T
Q
反強磁性体
２部分格子（A, B sublattices)




M A  g B S A , M B  g B SB




T  TN では M B  M A , T  TN では磁場がなければ M B  M A



分子場：  H A  M A  AM B



 H B  M B  AM A
T  TN : 外部磁場 H 0 , M 

C
H 0  H A   C H 0  (  A)M 
T
T
M C
 1  (  A)  
H0 T
C

, T0  C   A
T  T0
 SgB H A  gB 2 S ( S  1)
3
 
T  TN : M A  gB SBS 
H A  H A , H A  ( A  ) M A
3kBT
 kBT 
TN  C A  
分子場係数はWeiss温度とNeel温度から評価できる。
T  TN での磁化率
磁場がないときは、スピン軸は異方性によって決まる磁化容易軸に平行。
MA  MB

T  0 で  //  0


１．平行磁化率
//
H0
MA

 SgB  M B  AM A  H 0  
 SgB  M A  AM B  H 0  


M

g

SB


M

g

SB
B
B
S
B
S


M B H0 A
k
T
kBT
B




２．垂直磁化率

 AM B
 部分格子磁化は分子場と外部磁場を合成した有効磁場に平行。
MA





MB

H0
H eff, A  M A  AM B  H 0
2 A M sin   H 0
 
M sin 
H0
1

  TN 
2A
垂直磁化率はTN以下で温度に依存しない。
反強磁性体の磁化過程（T=0)
１．磁場が容易軸に垂直
M
Hc  2 AM  2H E
磁化が飽和する臨界磁場
Hｃ
H
２．磁場が容易軸に平行
スピン・フロップ
異方性エネルギーとゼーマン・
エネルギーの競合
M
K
2
異方性エネルギー：  cos 
2
ゼーマン・エネルギー： 
 H 2
Hｆ
Hｃ
H
2
K
H f  K    2 AK  2 H E H A , H E  AM , H A 
M
Ⅴ－３異方的交換相互作用
シングル・イオンの異方性（結晶場＋スピン・軌道相互作用）



Hanis  2  xx S x 2   yy S y 2   zz S z 2  DS z 2  E S x 2  S y 2
   

En  E0


異方的相互作用
Hex   S1 J   S 2
例：双極子相互作用
 ,
g B 

2
Hdip
r3

1


D  2  zz   xx   yy 
2


2  xx   yy
E  
2
 zz   xx   yy
0 L n n L 0
n



   
 
S r S r
 S1  S 2  3 1 2 2

r




交換相互作用の異方性
異方的交換相互作用
 
 
 
摂動項 H   L1  S1  L2  S2  J (n1g2 , n1 g2 )S1  S2
 
J ( g1n2 , g1n2 )S1  S2
3次摂動
J anis 

E
2
J  g  22 J
反対称性交換相互作用（Dzyaloshinski-Moriya 相互作用） 2次摂動
HDM
 
 
 
 


g1 L1  S1 n1 J (n1 g 2 , g1 g 2 ) S1  S 2  J ( g1 g 2 , n1 g 2 ) S1  S 2 n1 L1  S1 g1
   
 1  2
E

E
 n1

n1
g1


g1 L1 n1  n1 L1 g1


  
 
S1, S1  S2  i S1  S2
HDM




 - n1 L1 g1

純虚数

  
 
S2 , S1  S2  i S2  S1

  
  



g L n J (n1 g 2 , g1 g 2 ) S1 , S1  S 2
g L n J ( g1n2 , g1 g 2 ) S 2 , S1  S 2
 2  1 1 1
 2 2 2
En1  E g1
En 2  Eg 2
 n1
n2


HDM

  
 D  S1  S 2





g1 L1 n1 J (n1 g 2 , g1 g 2 )
g 2 L2 n2 J ( g1n2 , g1 g 2 ) 
D  2i 


E

E
E

E
n1
g1
n2
g2
n2
 n1

Ｓ１とＳ２の中点で結晶の反転対称性があればＤ＝０
D

E
J  g 2J
スピン・キャンティング、弱強磁性

 
  
H  JS1  S2  D S1  S2

E  JS 2 cos  DS 2 sin 
D
tan     でエネルギー最小
J
弱強磁性（寄生強磁性）

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