魔方陣講義第１回魔方陣の定義と解の個数目次 • 魔方陣のサンプル • 魔方陣の定義 • 魔方陣の解の個数 • ３方陣の解 • ４方陣の解の個数は？魔方陣サンプル 1 12 24 13 30 31 32 8 17 23 26 5 34 27 15 21 10 4 3 28 16 22 9 33 35 11 20 14 29 2 6 25 19 18 7 36 魔方陣の定義 • 方陣に１からN*Nまでの連続する数字が入っている。 • すべての行の合計が同じ。 • すべての列の合計が同じ。 • 対角線の合計が同じ。 1 32 34 12 8 3 35 6 27 28 11 25 24 17 15 16 20 19 13 23 21 22 14 18 30 26 10 9 29 7 31 33 2 36 5 4 魔方陣の解の個数は？ • 異なる解をどのように定義するか。 • 逆に言うと同じ解をどのように定義するか。３方陣の解 8 1 6 8 3 4 2 9 4 2 7 6 3 5 7 1 5 9 7 5 3 9 5 1 4 9 2 6 7 2 6 1 8 4 3 8 4 3 8 4 9 2 6 1 8 6 7 2 9 5 1 3 5 7 7 5 3 1 5 9 2 7 6 8 1 6 2 9 4 8 3 4 ３方陣のすべての解は上の８つである。 8 1 6 8 3 4 2 9 4 2 7 6 3 5 7 1 5 9 7 5 3 9 5 1 4 9 2 6 7 2 6 1 8 4 3 8 4 3 8 4 9 2 6 1 8 6 7 2 9 5 1 3 5 7 7 5 3 1 5 9 2 7 6 8 1 6 2 9 4 8 3 4 しかし、上を８つの解と考えていいだろうか。よく見ると、対称変換や回転変換すればすべて重なる。そこで、回転変換や対称変換で同じになるものを同一解と見なす。結局、３方陣はたった１個の解しかない。４方陣の解の個数は？ • 魔方陣は条件が厳しいので、解は少ないだろうか。 • 現に３方陣は１個しか解がなかった。 • より難度の高い４方陣では少ないのだろうか。 7 14 4 9 7 12 6 9 7 14 11 2 7 12 13 2 7 13 4 10 12 1 15 6 14 1 15 4 12 1 8 13 14 1 8 11 16 1 14 3 13 8 10 3 11 8 10 5 6 15 10 3 4 15 10 5 9 8 11 6 2 11 5 16 2 13 3 16 9 4 5 16 9 6 3 16 2 12 5 15 7 12 5 10 7 16 9 2 7 16 9 2 7 10 13 4 7 16 9 2 16 1 14 3 12 1 8 13 13 1 8 12 16 1 6 11 10 1 8 15 9 8 11 6 5 14 11 4 4 14 11 5 2 15 12 5 6 13 12 3 2 13 4 15 10 3 6 15 10 3 6 15 9 8 3 14 11 4 5 14 7 10 6 11 7 16 2 9 7 10 4 13 7 16 2 9 7 10 11 6 16 1 13 4 10 1 15 8 16 1 11 6 10 1 15 8 16 1 4 13 9 8 12 5 13 6 12 3 9 8 14 3 11 4 14 5 2 15 14 3 2 15 3 14 4 11 5 14 2 15 5 12 6 13 3 12 9 8 5 12 7 16 9 2 7 12 2 13 7 14 2 11 7 12 9 6 7 14 9 4 10 1 8 15 14 1 11 8 12 1 13 8 14 1 4 15 12 1 6 15 4 11 14 5 9 6 16 3 9 4 16 5 2 13 16 3 2 11 16 5 13 6 3 12 4 15 5 10 6 15 3 10 11 8 5 10 13 8 3 10 ４方陣の解は、前のスライドを見ればわかるように実はたくさんある。前の例のどれをとっても対称変換や回転変換で一致するものはない。また、下のロゴを押して私が作成したプログラムを走らせてほしい。このプログラムはすべての解を作らせるプログラムではないが非常に多いことがわかる。続く